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1、
高考大題縱橫練(一)
內(nèi)容：高中全部?jī)?nèi)容
1． 在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知acos B－bsin B＝c.
(1)若B＝，求A；
(2)求sin A＋sin B的取值范圍．
解 (1)由已知條件及正弦定理，得
sin Acos B－sin2B＝sin C，
∵sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－sin2B＝sin(A＋B)，
即sin Acos B－sin2B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴cos Asin B＝－sin2B，
∵sin B≠0，∴cos A＝－sin B
2、＝－sin ＝－，
∵0，
∵A＋B<π，∴
3、號(hào)碼為x，第二次取出的球的號(hào)碼為y，求事件B＝“點(diǎn)(x，y)落在直線y＝x＋1上方”的概率．
解 (1)所有可能結(jié)果數(shù)為25.
列舉如下：
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)；
(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)；
(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)；
(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)；
(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)．
(2)取出球的號(hào)碼之和不小于6的是(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4
4、,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共15種，
所以P(A)＝＝.
(3)點(diǎn)(x，y)落在直線y＝x＋1上方的有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,5)，共6種，
所以P(B)＝.
3． 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，四條側(cè)棱長(zhǎng)均相等．
(1)求證：AB∥平面PCD；
(2)求證：平面PAC⊥平面ABCD.
證明 (1)在矩形ABCD中，AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD.
(2)如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接PO.
在矩形ABCD中，點(diǎn)
5、O為AC，BD的中點(diǎn)，
又PA＝PB＝PC＝PD，
故PO⊥AC，PO⊥BD，
又AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，
又PO?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD.
4． 某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素限制，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，若每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)p(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4≤x≤12)之間滿足關(guān)系：p＝0.1x2－3.2ln x＋3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元，但每產(chǎn)生1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元．(利潤(rùn)＝盈利－虧損)
(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得
6、的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù)；
(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？
解 (1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為：
y＝10[2(x－p)－p]＝10(2x－3p)＝20x－30p
＝20x－3x2＋96ln x－90(4≤x≤12)．
(2)由(1)知y′＝20－6x＋＝
＝＝.
令y′＝0，可得x＝6或x＝－.
從而當(dāng)4≤x<6時(shí)，y′>0，函數(shù)在[4,6)上為增函數(shù)，當(dāng)6
7、90＝96ln 6－78(萬(wàn)元)．
答 當(dāng)每臺(tái)機(jī)器日產(chǎn)量為6萬(wàn)元時(shí)，獲得利潤(rùn)最大，為(96ln 6－78)萬(wàn)元．
5． 已知數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，對(duì)任意的n∈N*有an＋1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1
＋an＋.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝(log3a1＋log3a2＋…＋log3an＋log3t)(n∈N*)，若{bn}為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
解 (1)方法一 設(shè){an}的公比為q，
則由題設(shè)，得
即
由②－①，得a1q2－a1q＝－a1＋a1q，
即2a1q2－7a1q＋3a1＝0，
8、
∵a1≠0，∴2q2－7q＋3＝0，
解得q＝(舍去)，或q＝3，
將q＝3代入①，得a1＝1.∴an＝3n－1.
方法二 設(shè){an}的公比為q，
則由已知，得a1qn＝＋a1qn－1＋，
即a1qn＝qn－＋，
比較系數(shù)，得
解得(舍去)，或
∴an＝3n－1.
(2)由(1)，得
bn＝(log330＋log331＋…＋log33n－1＋log3t)
＝[1＋2＋…＋(n－1)＋log3t]
＝[＋log3t]
＝＋log3t.
∵{bn}為等差數(shù)列，
∴bn＋1－bn等于一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，
而bn＋1－bn＝(＋log3t)－(＋log3t)
＝－l
9、og3t，
∴l(xiāng)og3t＝0，∴t＝1，此時(shí)bn＝.
6． 設(shè)點(diǎn)F，動(dòng)圓P經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且和直線y＝－相切，記動(dòng)圓的圓心P的軌跡為曲線
W.
(1)求曲線W的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)F作互相垂直的直線l1，l2分別交曲線W于A，B和C，D.求四邊形ACBD面積的最小值．
解 (1)過(guò)點(diǎn)P作PN垂直于直線y＝－于點(diǎn)N，依題意得|PF|＝|PN|，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以F為焦點(diǎn)，直線y＝－為準(zhǔn)線的拋物線，即曲線W的方程是x2＝6y.
(2)如圖所示，依題意，直線l1，l2的斜率存在且不為0，設(shè)直線l1的方程為y＝kx＋，由l1⊥l2
得l2的方程為y＝－x＋.
將y＝kx＋代入x2＝6y，化簡(jiǎn)得x2－6kx－9＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6k，x1x2＝－9，
∴|AB|＝
＝＝6(k2＋1)．
同理可得|CD|＝6，
∴四邊形ACBD的面積
S＝|AB||CD|＝18(k2＋1)
＝18≥72.
當(dāng)且僅當(dāng)k2＝，即k＝1時(shí)，Smin＝72，
故四邊形ACBD面積的最小值是72.
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