高中數學蘇教版選修12習題：第3章 數系的擴充與復數的引入 章末檢測A

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1、 精品資料 第3章　數系的擴充與復數的引入(A) (時間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．下列命題中正確的有________．(填序號) ①純虛數集相對復數集的補集是虛數集； ②復數z是實數的充要條件是z＝； ③復數z是純虛數的充要條件是z＋＝0； ④i＋1的共軛復數是i－1. 2．復數z1＝2，z2＝2－i3分別對應復平面內的點P、Q，則向量對應的復數是________． 3．已知復數z1＝x＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，則實數x的取值范

2、圍是________． 4．已知復數z＝1－i，則＝________. 5．已知z1＝3－4i，z2＝－7－2i，z1、z2對應點分別為P1，P2，則對應復數為________． 6．復數z＝的共軛復數＝________. 7．設＝＋ (x，y∈R)，則x＝________， y＝________. 8．若(2－i)4i＝4－bi (其中i為虛數單位，b為實數)，則b＝________. 9．已知z是純虛數，是實數，那么z＝________. 10．設m∈R，復數z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)． (1)若z為實數，則m＝________； (2)若z為純虛

3、數，則m＝________. 11．已知＝1＋i，其中m是實數，i是虛數單位，則在復平面內復數－1＋mi對應的點在第________象限． 12．設f(n)＝()n＋()n(n∈Z)，則值域中元素有________個． 13．若復數z＝，則|＋3i|＝________. 14．已知復數z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它們在復平面上所對應的點分別為A、B、C.若＝2＋，則a＝________，b＝________. 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)已知復數z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，當實數m取什么值時，復數z是 (1)虛數，(2)

4、純虛數． 16．(14分)設復數z滿足|z|＝5，且(3＋4i)z在復平面內的對應點在第二、四象限的角平分線上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值． 17．(14分)復數z＝，若z2＋<0，求純虛數a. 18．(16分)已知復數z的模為2，求復數1＋i＋z的模的最大值、最小值． 19．(16分)已知z是虛數，證明：z＋為實數的充要條件是|z|＝1. 20．(16分)復數z＝且|z|＝4，z對應的點在第一象限，若復

5、數0，z，對應的點是正三角形的三個頂點，求實數a、b的值． 第3章　數系的擴充與復數的引入(A) 答案 1．② 2．3＋i 解析　：z2－z1＝2－i3－()2＝2＋i＋1 ＝3＋i. 3．(－1,1) 解析　∵|z2|＝，∴x2＋4<5， ∴x2<1，∴－1

6、i)＝1＋i.∴＝1－i. 7.?。? 解析　由已知可得 ＝＋， 所以＝＋， 即－i＝＋＋i. 所以　所以 8．－8 解析　4＋8i＝4－bi，∴b＝－8. 9．－2i 解析　設z＝y(tǒng)i (y∈R，且y≠0)，則 ＝∈R， ∴2＋y＝0，即y＝－2，∴z＝－2i. 10．(1)1或2　(2)－ 解析　(1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i) ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i. 由題意知：m2－3m＋2＝0， 即m＝1或m＝2時，z是實數． (2)由題意得 解得m＝－.∴當m＝－時，z是純虛數． 11．二 解析　∵m＝(1＋i)(

7、1－i)＝2， ∴－1＋mi＝－1＋2i，故其對應的點在第二象限． 12．3 解析　f(n)＝in＋(－i)n，n取特殊值1,2,3,4，可得相應的值．f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2. 13. 解析　∵z＝＝＝－1＋i. ∴＝－1－i，∴|＋3i|＝|－1＋2i|＝. 14．－3?。?0 解析　∵＝2＋ ∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi) 即　∴. 15．解　由于m∈R，復數z可表示為 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i) ＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i， (1)當m2－3m＋2≠0， 即m≠2且m≠1時，

8、z為虛數． (2)當， 即m＝－時，z為純虛數． 16．解　設z＝a＋bi (a，b∈R)． 因為|z|＝5，所以a2＋b2＝25. 因為(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi) ＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i， 又(3＋4i)z在復平面內的對應點在第二、四象限的角平分線上，所以3a－4b＋4a＋3b＝0， 得b＝7a， 所以a＝，b＝，即z＝， 所以z＝(1＋7i)． 當z＝1＋7i時，有|1＋7i－m|＝5， 即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，或m＝2. 當z＝－(1＋7i)時， 同理可得m＝0，或m＝－2. 17．解　z＝ ＝＝＝1－i. ∵a為

9、純虛數，∴設a＝mi (m≠0)， 則z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋ ＝－＋i<0， ∴　∴m＝4.∴a＝4i. 18．解　利用公式||z1|－|z2|| ≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|. ∵|z|＝2，∴||z|－|1＋i|| ≤|z＋1＋i|≤|z|＋|1＋i|. ∴0≤|z＋1＋i|≤2＋2， ∴|z＋1＋i|min＝0，|z＋1＋i|max＝4. 19．證明　設z＝x＋yi (x，y∈R且y≠0)， 則z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋ ＝x＋＋i. 當|z|＝1，即x2＋y2＝1時，z＋＝2x∈R. 當z＋∈R，即y－＝0時，又y≠0， ∴x2＋y2＝1，即|z|＝1. ∴z＋為實數的充要條件是|z|＝1. 20．解　z＝(a＋bi) ＝2ii(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4. ① ∵復數0、z、對應的點構成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化簡得|b|＝1. ② 又∵z對應的點在第一象限， ∴－2a>0，－2b>0，∴a