《浙江高考數(shù)學理二輪專題訓練:第1部分 專題二 第1講 三角函數(shù)的圖像與性質選擇、填空題型》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《浙江高考數(shù)學理二輪專題訓練:第1部分 專題二 第1講 三角函數(shù)的圖像與性質選擇、填空題型(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
考 點
考 情
三角函數(shù)的圖像
1.對三角函數(shù)圖像的考查主要是平移、伸縮變換,或由圖像確定函數(shù)的解析式,如2013年四川T5,山東T5等.
2.三角函數(shù)的性質是考查的重點,可以單獨命題,也可與三角變換交匯,綜合考查三角函數(shù)的單調性、周期性、最值等.另外由性質確定函數(shù)的解析式也是高考考查的重點,如2013年江西T11,新課標全國卷ⅠT15等.
三角函數(shù)的性質
求函數(shù)的解析式
求三角函數(shù)的值域或最值
1.(2013山東高考)將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖像沿x軸向左平移個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖像,則φ
2、的一個可能取值為( )
A. B.
C.0 D.-
解析:選B 把函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖像向左平移個單位后,得到的圖像的解析式是y=sin,該函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是+φ=kπ+,k∈Z,根據(jù)選項檢驗可知φ的一個可能取值為.
2.(2013四川高考)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)<的部分圖像如圖所示,則ω,φ的值分別是( )
A.2,- B.2,-
C.4,- D.4,
解析:選A 因為-=,所以ω=2.又因為2+φ=+2kπ(k∈Z),且-<φ<,所以φ=-.
3.(2013江西高考)函數(shù)y=sin 2x+2sin2x的最
3、小正周期T為________.
解析:y=sin 2x+2 sin2x=sin 2x-cos 2x+=2sin+,所以該函數(shù)的最小正周期為T==π.
答案:π
4.(2013新課標全國卷Ⅰ)設當x=θ時,函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos θ=________.
解析:f(x)=sin x-2cos x= =sin (x-φ),其中sin φ=,cos φ=,當x-φ=2kπ+(k∈Z)時函數(shù)f(x)取到最大值,即θ=2kπ++φ(k∈Z)時函數(shù)f(x)取到最大值,所以cos θ=-sin φ=-.
答案:-
1.六組誘導公式
公式一
sin(2kπ
4、+α)=sin α(k∈Z),cos(2kπ+α)=cos α(k∈Z),tan(2kπ+α)=tan α(k∈Z)
公式二
sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,
tan(π+α)=tan α
公式三
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,
tan(-α)=-tan α
公式四
sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,
tan(π-α)=-tan α
公式五
sin=cos α,cos=sin α
公式六
sin=cos α,cos=-sin α
2.三種函數(shù)的圖像和性質
函數(shù)
y=sin
5、 x
y=cos x
y=tan x
圖像
單調性
在,(k∈Z)上單調
遞增;在,
(k∈Z)上單調遞減
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調遞減
在,
(k∈Z)上單調遞增
對稱性
對稱中心:(kπ,0)(k∈Z);
對稱軸:x=+kπ(k∈Z)
對稱中心:
(k∈Z);
對稱軸:x=kπ(k∈Z)
對稱中心:
(k∈Z)
3.三角函數(shù)的兩種常見圖像變換
(1)y=sin xy=sin(x+φ) y=sin(ωx+φ)
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
(2)y=si
6、n x y=sin ωx
y=sin(ωx+φ) y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
熱點一
三角函數(shù)的概念、基本關系式和誘導公式
[例1] (1)已知角α的終邊上一點的坐標為,則角α的最小正值為( )
A. B.
C. D.
(2)若3cos+cos(π+θ)=0,則cos2θ+sin 2θ的值是________.
[自主解答] (1)∵sin>0,cos<0,
∴α為第四象限角.
又tan α===-,
∴α的最小正值為.
(2)∵3cos+cos(π+θ)=0,
∴3sin θ-cos θ=0,從而tan θ
7、=.
∴cos2θ+sin 2θ=====.
[答案] (1)C (2)
——————————————————(規(guī)律總結)——————————————
應用三角函數(shù)的概念和誘導公式應注意兩點
(1)當角的終邊所在的位置不是唯一確定的時候要注意分情況解決,機械地使用三角函數(shù)的定義就會出現(xiàn)錯誤.
(2)使用三角函數(shù)誘導公式常見的錯誤有兩個:一個是函數(shù)名稱,一個是函數(shù)值的符號.
1.已知角α的終邊過點P(-8m,-6sin 30),且cos α=-,則m的值為________.
解析:由點P(-8m,-6sin 30)在角α的終邊上且cos α=-,知角α的終邊在第三象
8、限,則m>0,又cos α=
=-,所以m=.
答案:
2.已知角α的頂點與原點重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊上一點P(-4,3),則的值為________.
解析:原式==tan α.根據(jù)三角函數(shù)的定義,得tan α==-,所以原式=-.
答案:-
熱點二
y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖像與解析式
[例2] (1)(2013濟南模擬)已知函數(shù)f(x)=Msin(ωx+φ)(M,ω,φ是常數(shù),M>0,ω>0,0≤φ≤π)的部分圖像如圖所示,其中A,B兩點之間的距離為5,那么f(-1)=( )
A.-2 B.-1
C.2
9、 D.-1或2
(2)(2013海口模擬)將函數(shù)y=sin ωx(ω>0)的圖像向左平移個單位,平移后的圖像如圖所示,則平移后的圖像所對應的函數(shù)解析式為( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
[自主解答] (1)由圖可知M=2.因為A,B兩點分別是函數(shù)圖像上相鄰的最高點和最低點,設A(x1,2),B(x2,-2),因為|AB|=5,所以=5,解得|x2-x1|=3.因為A,B兩點的橫坐標之差的絕對值為最小正周期的一半,即=3,T=6,所以=6,解得ω=.因為f(0)=1,所以2sin φ=1,解得sin φ=.因為0≤φ≤π,所以φ=或φ=.結合圖
10、像,經檢驗,φ=不合題意,舍去,故φ=.所以f(x)=2sin.故f(-1)=2sin=2sin=2.
(2)函數(shù)y=sin ωx(ω>0)的圖像向左平移個單位后對應的函數(shù)解析式為y=sin ω=sin,又因為f=-1,由圖可得+=,解得ω=2,所以平移后的圖像對應的函數(shù)解析式為y=sin.
[答案] (1)C (2)C
——————————————————規(guī)律總結——————————————
根據(jù)三角函數(shù)圖像確定解析式應注意的問題
在利用圖像求三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的有關參數(shù)時,注意直接從圖中觀察振幅、周期,即可求出A、ω,然后根據(jù)圖像過某一特殊點求φ,若是利用零點值
11、來求,則要注意是ωx+φ=kπ(k∈Z),根據(jù)點在單調區(qū)間上的關系來確定一個k的值,此時要利用數(shù)形結合,否則就易步入命題人所設置的陷阱.
3.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+θ)的圖像如圖所示,f=-,則f=( )
A.- B.-
C. D.
解析:選A 由圖知,T=2=,所以f=f=f=-.
4.已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),該函數(shù)的部分圖像如圖所示,△EFG是邊長為2的等邊三角形,則f(1)的值為( )
A.- B.-
C. D.-
解析:選D 由函數(shù)是奇函數(shù),且0<φ<π可得φ=.由圖像可得函數(shù)的最
12、小正周期為4,ω=.由△EFG的高為,可得A=.所以f(x)=cos,所以f(1)=cos π=-.
熱點三
三角函數(shù)的奇偶性與對稱性
[例3] (1)定義行列式運算=a1a4-a2a3.將函數(shù)f(x)=的圖像向左平移n(n>0)個單位,所得圖像對應的函數(shù)為偶函數(shù),則n的最小值為( )
A. B.
C. D.
(2)(2013皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)的圖像關于直線x=對稱,且f=0,則ω的最小值為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
[自主解答] (1)由定義知f(x)=cos x-sin x=2cos,將其圖
13、像向左平移n個單位后得到y(tǒng)=2cos的圖像,要使該函數(shù)為偶函數(shù),應有+n=kπ(k∈Z),即n=kπ-(k∈Z),因此,當k=1時,n取得最小值.
(2)由題意知ω+φ=k1π,ω+φ=k2π+,其中k1,k2∈Z,兩式相減可得ω=4(k2-k1)+2,又ω>0,易知ω的最小值為2.
[答案] (1)C (2)A
在本例(1)中,把“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”,如何選擇?
解析:選B 若平移后所得圖像對應的函數(shù)為奇函數(shù),則+n=+kπ,即n=+kπ,k∈Z.
∴n的最小值為.
——————————————————規(guī)律總結——————————————
1.奇偶性
14、的三個規(guī)律
(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=kπ(k∈Z),是偶函數(shù)?φ=kπ+(k∈Z);
(2)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=kπ+(k∈Z),是偶函數(shù)?φ=kπ(k∈Z);
(3)函數(shù)y=Atan(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=kπ(k∈Z).
2.對稱性的三個規(guī)律
(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像的對稱軸由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得;
(2)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖像的對稱軸由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得;
(3)函數(shù)y=Atan(ω
15、x+φ)的圖像的對稱中心由ωx+φ=(k∈Z)解得.
5.若函數(shù)y=cos(ω∈N*)的一個對稱中心是,則ω的最小值為( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:選B ∵cos=0,∴+=+kπ(k∈Z),∴ω=2+6k,又ω∈N*,∴ω的最小值為2.
6.若函數(shù)f(x)=Asin(A>0)滿足f(1)=0,則( )
A.f(x-2)一定是奇函數(shù)
B.f(x+1)一定是偶函數(shù)
C.f(x+3)一定是偶函數(shù)
D.f(x-3)一定是奇函數(shù)
解析:選D 由于函數(shù)周期為=4,又由f(1)=0可知(1,0)為函數(shù)f(x)圖像的一個對稱中心,且f(x-3)的
16、圖像是由函數(shù)f(x)的圖像向右平移3個單位所得,故函數(shù)f(x-3)圖像的一個對稱中心為(4,0),又函數(shù)周期為4,故(0,0)也是函數(shù)f(x-3)圖像的一個對稱中心,即圖像關于原點對稱,故函數(shù)f(x-3)為奇函數(shù).
熱點四
三角函數(shù)的周期性、單調性與最值
[例4] (1)(2013沈陽模擬)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0,ω>0)的圖像在上單調遞增,則ω的最大值是( )
A. B.
C.1 D.2
(2)設a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2滿足f=f(0),則函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值分別為____
17、____,________.
[自主解答] (1)因為A>0,ω>0,所以f(x)=Asin(ωx+ωπ)的遞增區(qū)間滿足2kπ-≤ωx+ωπ≤2kπ+(k∈Z),即-π≤x≤-π(k∈Z),所以?(k∈Z),解得即ω≤1,所以ω的最大值為1.
(2)f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x=sin 2x-.
由f=f(0),得+=-1,
解得a=2.
因此f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,由x∈,可得2x-∈.
當x∈時,2x-∈,f(x)為增函數(shù);
當x∈時,2x-∈,f(x)為減函數(shù),
所以f(x)在上的最大值為f=2.
又f=,f=,
故
18、f(x)在上的最小值為f=.
[答案] (1)C (2)2
在本例(2)中,求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調遞減區(qū)間.
解:∵f(x)=2sin,∴f(x)的最小正周期為T==π.
由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得+kπ≤x≤+kπ,(k∈Z),
∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為,(k∈Z).
—————————————————規(guī)律總結——————————————
三角函數(shù)的單調性、周期性及最值的求法
(1)三角函數(shù)單調性的求法:
求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A、ω、φ為常數(shù),A≠0,ω>0)的單調區(qū)間的
19、一般思路是令ωx+φ=z,則y=Asin z(或y=Acos z),然后由復合函數(shù)的單調性求得.
(2)三角函數(shù)周期性的求法:
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=.應特別注意y=|Asin(ωx+φ)|的周期為T=.
(3)三角函數(shù)值域的求法:
在求最值(或值域)時,一般要先確定函數(shù)的定義域,然后結合正弦函數(shù)性質可得函數(shù)f(x)的最值.
7.設函數(shù)f(x)=cos(x∈R),則f(x)( )
A.在區(qū)間上是增函數(shù)
B.在區(qū)間上是增函數(shù)
C.在區(qū)間上是增函數(shù)
D.在區(qū)間上是減函數(shù)
解析:選A 依題意,f(-x)=f(x),函數(shù)f(x)是偶函數(shù),注意到函數(shù)f(x)在上是減函數(shù),因此f(x)在上是增函數(shù).