高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第4章學(xué)案16

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1、 精品資料第4章三角函數(shù)與三角恒等變換學(xué)案16任意角、弧度及任意角的三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解任意角的概念.2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.3.理解任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義自主梳理1任意角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線OA繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置OB所成的圖形旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角的_，射線的端點(diǎn)O叫做角的_，旋轉(zhuǎn)終止位置的射線OB叫做角的_，按_時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按_時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角若一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)_角(1)象限角使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就說這

2、個(gè)角是_角(2)象限界角(即終邊在坐標(biāo)軸上的角)終邊在x軸上的角表示為_；終邊在y軸上的角表示為_；終邊落在坐標(biāo)軸上的角可表示為_(3)終邊相同的角所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合_或_，前者用角度制表示，后者用弧度制表示(4)弧度制把長度等于_長的弧所對(duì)的_叫1弧度的角以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做_，它的單位符號(hào)是_，讀作_，通常略去不寫(5)度與弧度的換算關(guān)系360_ rad；180_ rad；1_ rad；1 rad_57.30.(6)弧長公式與扇形面積公式l_，即弧長等于_S扇_.2三角函數(shù)的定義設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，|OP|r

3、，我們規(guī)定：比值叫做的正弦，記作sin ，即sin ；比值叫做的余弦，記作cos ，即cos ；比值_(x0)叫做的正切，記作tan ，即tan .(1)三角函數(shù)值的符號(hào)各象限的三角函數(shù)值的符號(hào)如下圖所示，三角函數(shù)正值歌：一全正，二正弦，三正切，四余弦(2)三角函數(shù)線下圖中有向線段MP，OM，AT分別表示_，_和_自我檢測1“”是“cos 2”的_條件2與2010終邊相同的最小正角為_，最大負(fù)角為_3(2010山東青島高三教學(xué)質(zhì)量檢測)已知sin 0，則角是第_象限角4若n360，m360(m，nZ)，則，終邊關(guān)于直線_對(duì)稱5已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角的最小正值為_探究點(diǎn)一角的概念例1(

4、1)如果角是第三象限角，那么，角的終邊落在第幾象限；(2)寫出終邊落在直線yx上的角的集合；(3)若168k360 (kZ)，求在0，360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角變式遷移1若是第二象限的角，試分別確定2，的終邊所在位置探究點(diǎn)二弧長與扇形面積例2已知一個(gè)扇形的圓心角是，00)，當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？變式遷移2(1)已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？探究點(diǎn)三三角函數(shù)的定義例3已知角的終邊在直線3x4y0上，求sin ，cos ，tan 的值變式遷移3已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P

5、(4a,3a) (a0)，求sin ，cos ，tan 的值1角的度量由原來的角度制改換為弧度制，要養(yǎng)成用弧度表示角的習(xí)慣，象限角的判斷，終邊相同的角的表示，弧度、弧長公式和扇形面積公式的運(yùn)用是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的基礎(chǔ)2三角函數(shù)都是以角為自變量(用弧度表示)，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，是從實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射，注意兩種定義法，即坐標(biāo)法和單位圓法(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1點(diǎn)P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓x2y21逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q，則Q的坐標(biāo)為_2(2011汕頭模擬)若角和角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角可以用表示為_3已知點(diǎn)P落在角的終邊上，且0,2)，則的值為_4已知為第三象限

6、的角，則在第_象限5(2011南京模擬)已知點(diǎn)P(sin cos ，tan )在第一象限，且0,2，則的取值范圍是_6若1弧度的圓心角所對(duì)弦長等于2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長等于_7(2011淮安模擬)已知角的終邊落在直線y3x上，則_.8閱讀下列命題：若點(diǎn)P(a,2a) (a0)為角終邊上一點(diǎn)，則sin ；同時(shí)滿足sin ，cos 的角有且只有一個(gè)；設(shè)tan 且0 (為象限角)，則在第一象限其中正確命題為_(將正確命題的序號(hào)填在橫線上)二、解答題(共42分)9(14分)已知扇形OAB的圓心角為120，半徑長為6，(1)求的弧長；(2)求弓形OAB的面積10(14分)在單位圓中畫出適合下列條件的

7、角的終邊的范圍，并由此寫出角的集合：(1)sin ；(2)cos .11(14分)已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，) (x0)，且cos x.求sin 的值答案 自主梳理1始邊頂點(diǎn)終邊逆順零(1)第幾象限(2)|k，kZ(3)|k360，kZ|2k，kZ(4)半徑圓心角弧度制rad弧度(5)2(6)|r弧所對(duì)的圓心角(弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積lr|r22.(2)的正弦線的余弦線的正切線自我檢測1充分而不必要2.2101503.三4.x軸5.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)一般地，角與終邊關(guān)于x軸對(duì)稱；角與終邊關(guān)于y軸對(duì)稱；角與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2)利用終邊相同的角的集合S|2k，kZ判斷一個(gè)角所在的象限

8、時(shí)，只需把這個(gè)角寫成0,2)范圍內(nèi)的一角與2的整數(shù)倍，然后判斷角的象限(3)利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法為先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對(duì)集合參數(shù)k賦值來求得所需角解(1)2k2k (kZ)，2k2k(kZ)，即2k2k (kZ)角終邊在第二象限又由各邊都加上，得2k22k (kZ)是第四象限角同理可知，是第一象限角(2)在(0，)內(nèi)終邊在直線yx上的角是，終邊在直線yx上的角的集合為.(3)168k360 (kZ)，56k120 (kZ)056k120360，k0,1,2時(shí)，0，360)故在0，360)內(nèi)終邊與角的終邊相同的角是56，176，296.變

9、式遷移1解是第二象限的角，k36090k360180 (kZ)(1)2k36018022k360360 (kZ)，2的終邊在第三或第四象限，或角的終邊在y軸的非正半軸上(2)k18045k18090 (kZ)，當(dāng)k2n (nZ)時(shí)，n36045n36090；當(dāng)k2n1 (nZ)時(shí)，n3602252，舍去，.(2)扇形的周長為40，即R2R40，SlRR2R2R2100.當(dāng)且僅當(dāng)R2R，即R10，2時(shí)扇形面積取得最大值，最大值為100.例3解題導(dǎo)引某角的三角函數(shù)值只與該角終邊所在位置有關(guān)，當(dāng)終邊確定時(shí)三角函數(shù)值就相應(yīng)確定了但若終邊落在某條直線上時(shí)，這時(shí)終邊實(shí)際上有兩個(gè)，因此對(duì)應(yīng)的函數(shù)值有兩組，要

10、分別求解解角的終邊在直線3x4y0上，在角的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，3t) (t0)，則x4t，y3t，r5|t|，當(dāng)t0時(shí)，r5t，sin ，cos ，tan ；當(dāng)t0時(shí)，sin ，cos ，tan ；t0，則r5a，角在第二象限，sin ，cos ，tan .若a0，cos 0，P在第四象限，.4二或四解析是第三象限角，180k360270k360(kZ)90k180135k180(kZ)當(dāng)k2m (mZ)時(shí)可得90m360135m360，故的終邊在第二象限當(dāng)k2m1 (mZ)時(shí)可得270m360315m360，故的終邊在第四象限綜上，可知是第二或第四象限的角5.解析由已知得2k2k或2k

11、2k，kZ.02，當(dāng)k0時(shí)，或.6.解析設(shè)圓的半徑為r，rsin 1.r.弧長lr.72或2解析角終邊落在直線y3x上，為第二或第四象限角當(dāng)為第二象限時(shí)，2.若為第四象限時(shí)，2.8解析中，當(dāng)在第三象限時(shí)，sin ，故錯(cuò)中，同時(shí)滿足sin ，cos 的角為2k (kZ)，不只有一個(gè)，故錯(cuò)正確可能在第一象限或第四象限，故錯(cuò)綜上選.9解(1)120，r6，的弧長為lr64.(4分)(2)S扇形OABlr4612，(8分)SABOr2sin 629，(12分)S弓形OABS扇形OABSABO129.(14分)10解(1)作直線y交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連結(jié)OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角的集合為.(7分)(2)作直線x交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角終邊的范圍故滿足條件的角的集合為.(14分)11解P(x，) (x0)，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r.(2分)又cos x，cos x.x0，x，r2.(6分)當(dāng)x時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，由三角函數(shù)的定義，有sin ，sin ；(10分)當(dāng)x時(shí)，同樣可求得sin .(14分)