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第二章 平面向量(A)
(時間:120分鐘 滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.與向量a=(1,)的夾角為30的單位向量是( )
A.(,)或(1,) B.(,)
C.(0,1) D.(0,1)或(,)
2.設(shè)向量a=(1,0),b=(,),則下列結(jié)論中正確的是( )
A.|a|=|b| B.a(chǎn)b=
C.a(chǎn)-b與b垂直 D.a(chǎn)∥b
3.已知三個力f1=(-2,-1),
2、f2=(-3,2),f3=(4,-3)同時作用于某物體上一點,為使物體保持平衡,現(xiàn)加上一個力f4,則f4等于( )
A.(-1,-2) B.(1,-2)
C.(-1,2) D.(1,2)
4.已知正方形ABCD的邊長為1,=a,=b,=c,則a+b+c的模等于( )
A.0 B.2+ C. D.2
5.若a與b滿足|a|=|b|=1,〈a,b〉=60,則aa+ab等于( )
A. B. C.1+ D.2
6.若向量a=(1,
3、1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c等于( )
A.-a+b B.a(chǎn)-b
C.a(chǎn)-b D.-a+b
7.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足條件(8a-b)c=30,則x等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
8.向量=(4,-3),向量=(2,-4),則△ABC的形狀為( )
A.等腰非直角三角形 B.等邊三角形
C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形
9.設(shè)點A(1,2)、B(3,5),將向
4、量按向量a=(-1,-1)平移后得到為( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,7)
10.若a=(λ,2),b=(-3,5),且a與b的夾角是鈍角,則λ的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
11.在菱形ABCD中,若AC=2,則等于( )
A.2 B.-2
C.||cos A D.與菱形的邊長有關(guān)
12.
5、如圖所示,已知正六邊形P1P2P3P4P5P6,下列向量的數(shù)量積中最大的是( )
A. B.
C. D.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=________.
14.已知向量a和向量b的夾角為30,|a|=2,|b|=,則向量a和向量b的數(shù)量積ab=______.
15.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),則實數(shù)k的值為________.
16.如圖所
6、示,半圓的直徑AB=2,O為圓心,C是半圓上不同于A,B的任意一點,若P為半徑OC上的動點,則(+)的最小值是________.
三、解答題(本大題共6小題,共70分)
17.(10分)已知a,b,c在同一平面內(nèi),且a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c;
(2)若|b|=,且(a+2b)⊥(2a-b),求a與b的夾角.
18.(12分)已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為60,c=5a+3b,d=3a+kb,當(dāng)實數(shù)k為何值時,
(1)c∥d;(2)c⊥d.
1
7、9.(12分)已知|a|=1,ab=,(a-b)(a+b)=,求:
(1)a與b的夾角;
(2)a-b與a+b的夾角的余弦值.
20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長;
(2)設(shè)實數(shù)t滿足(-t)=0,求t的值.
21.(12分)已知正方形ABCD,E、F分別是CD、AD的中點,BE、CF交于點P.求證:
(1)BE⊥CF;
8、
(2)AP=AB.
22.(12分)已知向量、、滿足條件++=0,||=||=||=1.
求證:△P1P2P3是正三角形.
第二章 平面向量(A) 答案
1.D 2.C
3.D [根據(jù)力的平衡原理有f1+f2+f3+f4=0,
∴f4=-(f1+f2+f3)=(1,2).]
4.D [|a+b+c|=|++|=|2|=2||=2.]
5.B [由題意得aa+ab=|a|2+|a||b|cos 60=1+=,故選B.]
6.B [令c=λa+μb,則 ∴
∴c=a-b.]
9、
7.C [∵a=(1,1),b=(2,5),
∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).
又∵(8a-b)c=30,
∴(6,3)(3,x)=18+3x=30.
∴x=4.]
8.C [∵=(4,-3),=(2,-4),
∴=-=(-2,-1),
∴=(2,1)(-2,4)=0,
∴∠C=90,且||=,||=2,||≠|(zhì)|.
∴△ABC是直角非等腰三角形.]
9.B [∵=(3,5)-(1,2)=(2,3),平移向量后得,==(2,3).]
10.A [ab=-3λ+10<0,∴λ>.
當(dāng)a與b共線時,=,∴λ=.
此時,a與b同向,∴λ>.]
11.B
10、 [
如圖,設(shè)對角線AC與BD交于點O,∴=+.
=(+)
=-2+0=-2,故選B.]
12.A [根據(jù)正六邊形的幾何性質(zhì).
〈,〉=,〈,〉=,
〈,〉=,〈,〉=.
∴<0,=0,
=||||cos
=||2,
=||2||cos
=||2.
比較可知A選項的數(shù)量積最大.]
13.-1
解析 ∵a=(2,-1),b=(-1,m),
∴a+b=(1,m-1).
∵(a+b)∥c,c=(-1,2),
∴2-(-1)(m-1)=0.
∴m=-1.
14.3
解析 ab=|a||b|cos 30=2cos 30=3.
15.6
解析 由(2a+
11、3b)(ka-4b)=2ka2-12b2
=2k-12=0,
∴k=6.
16.-
解析 因為點O是A,B的中點,所以+=2,設(shè)||=x,則||=1-x(0≤x≤1).
所以(+)=2=-2x(1-x)=2(x-)2-.
∴當(dāng)x=時,(+)取到最小值-.
17.解 (1)∵c∥a,∴設(shè)c=λa,則c=(λ,2λ).
又|c|=2,∴λ=2,∴c=(2,4)或(-2,-4).
(2)∵⊥(2a-b),∴(a+2b)(2a-b)=0.
∵|a|=,|b|=,∴ab=-.
∴cos θ==-1,∴θ=180.
18.解 由題意得ab=|a||b|cos 60=23=3.
(
12、1)當(dāng)c∥d,c=λd,則5a+3b=λ(3a+kb).
∴3λ=5,且kλ=3,∴k=.
(2)當(dāng)c⊥d時,cd=0,則(5a+3b)(3a+kb)=0.
∴15a2+3kb2+(9+5k)ab=0,∴k=-.
19.解 (1)∵(a-b)(a+b)=|a|2-|b|2=1-|b|2=,
∴|b|2=,∴|b|=,
設(shè)a與b的夾角為θ,
則cos θ===.
∴θ=45.
(2)∵|a|=1,|b|=,
∴|a-b|2=a2-2ab+b2=1-2+=.
∴|a-b|=,
又|a+b|2=a2+2ab+b2=1+2+=.
∴|a+b|=,
設(shè)a-b與a+b的夾角為α
13、,則
cos α===.
即a-b與a+b的夾角的余弦值為.
20.解 (1)=(3,5),=(-1,1),
求兩條對角線的長即求|+|與|-|的大小.
由+=(2,6),得|+|=2,
由-=(4,4),得|-|=4.
(2)=(-2,-1),
∵(-t)=-t2,
易求=-11,2=5,
∴由(-t)=0得t=-.
21.證明
如圖建立直角坐標系xOy,其中A為原點,不妨設(shè)AB=2,
則A(0,0),B(2,0),C(2,2),
E(1,2),F(xiàn)(0,1).
(1)=-=(1,2)-(2,0)
=(-1,2),
=-=(0,1)-(2,2)
=(-
14、2,-1),
∵=(-1)(-2)+2(-1)=0,
∴⊥,即BE⊥CF.
(2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1),
∵∥,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.
同理由∥,得y=-2x+4,代入x=2y-2.
解得x=,∴y=,即P.
∴2=2+2=4=2,
∴||=||,即AP=AB.
22.證明 ∵++=0,
∴+=-,
∴(+)2=(-)2,
∴||2+||2+2=||2,
∴=-,
cos∠P1OP2==-,
∴∠P1OP2=120.
同理,∠P1OP3=∠P2OP3=120,
即、、中任意兩個向量的夾角為120,
故△P1P2P3是正三角形.
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