浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練:第1部分 專題二 第3講 平面向量選擇、填空題型

上傳人:仙*** 文檔編號:43227612 上傳時間:2021-11-30 格式:DOC 頁數(shù):9 大小:654.50KB
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1、 考 點(diǎn) 考 情 平面向量的概念及線性運(yùn)算  1.對平面向量的概念及線性運(yùn)算主要考查線性運(yùn)算法則及其幾何意義以及兩個向量共線的條件,或以向量為載體求參數(shù)的值,如遼寧T3等. 2.對平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算的考查主要側(cè)重以下兩點(diǎn): (1)以平面向量的基本定理為基石,利用一組基底表示相關(guān)向量;(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題,如山東T15等. 3.數(shù)量積的運(yùn)算是每年必考的內(nèi)容,主要涉及:(1)向量數(shù)量積的運(yùn)算;(2)求向量的模;(3)求向量的夾角,如浙江T17等. 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 平面向量的數(shù)量積 平面向量的應(yīng)用 1.(20

2、xx·遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為(  ) A.         B. C. D. 解析:選A 由已知,得=(3,-4),所以||=5,因此與同方向的單位向量是=. 2.(20xx·湖北高考)已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影為(  ) A. B. C.- D.- 解析:選A?。?2,1),=(5,5),向量=(2,1)在=(5,5)上的投影為||cos〈,〉=||·===. 3.(20xx·浙江高考)設(shè)e1,e2為單位向量,非零

3、向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夾角為,則的最大值等于________. 解析:因?yàn)椋剑剑剑剑健?,當(dāng)且僅當(dāng)=-時取得等號,故的最大值為2. 答案:2 4.(20xx·山東高考)已知向量與的夾角為120°,且||=3,||=2.若=λ +,且⊥,則實(shí)數(shù)λ的值為________. 解析:=-,由于⊥,所以·=0,即(λ+)·(-)=-λ++(λ-1)·=-9λ+4+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=. 答案: 5.(20xx·江蘇高考)設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn)

4、,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2 (λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為________. 解析:=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=. 答案: 1.平面向量的兩個重要定理 (1)向量共線定理:向量a(a≠0)與b共線當(dāng)且僅當(dāng)存在唯一一個實(shí)數(shù)λ,使b=λa. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一組基底. 2.兩個非零向量平行、垂直的充要條件 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則: (1)a∥b?a=λb

5、(λ≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 3.平面向量的三個性質(zhì) (1)若a=(x,y),則|a|== . (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則||= . (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為a與b的夾角,則cos θ== . 熱點(diǎn)一 平面向量的概念及線性運(yùn)算 [例1] (1)(20xx·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解,有如下四個命題: ①給定向量b,總存在向量c,使a=b+c; ②給定向量b和c,總存在實(shí)數(shù)λ和μ,使a=λb+μc; ③給定單

6、位向量b和正數(shù)μ,總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ,使a=λb+μc; ④給定正數(shù)λ和μ,總存在單位向量b和單位向量c,使a=λb+μc. 上述命題中的向量b,c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線,則真命題的個數(shù)是(  ) A.1     B.2     C.3     D.4 (2)(20xx·合肥模擬)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ=________. [自主解答] (1)顯然①②正確;對于③,當(dāng)μ<|a|sina,b時,不存在符合題意的單位向量c和實(shí)數(shù)λ,③錯;對于④,當(dāng)λ=μ=1,|a|>2時,易知④錯. (

7、2)依題意得=++=+-=+,=+=+;又=λ+μ,于是有=λ+μ=+;又與不共線,因此有由此解得λ=-,μ=-2λ,所以λ+μ=-λ=. [答案] (1)B (2) 平面向量的線性運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn) (1)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用條件. (2)證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時,才能得出三點(diǎn)共線. (3) =λ+μ(λ,μ為實(shí)數(shù)),若A、B、C三點(diǎn)共線,則λ+μ=1. 1.在矩形ABCD中,AB=1,AD=,P為矩形內(nèi)一點(diǎn),且AP=.若=λ+μ (λ,μ∈R),則λ+μ的最大值為(  ) A.

8、 B. C. D. 解析:選B 據(jù)已知||2=(λ+μ)2?2=λ2+3μ2,整理變形可得(λ+μ)2-2λμ=,由均值不等式,可得(λ+μ)2-22≤,解得λ+μ≤. 2.在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分線AD交邊BC于D,已知AB=3,且=+λ (λ∈R),則AD的長為(  ) A.1 B. C.2 D.3 解析:選C 如圖所示,因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線, 所以λ+=1,即λ=. 在AB上取一點(diǎn)E使=,在AC上取一點(diǎn)F使=,由=+=+, 可知四邊形AEDF為平行四邊形,又∠BAD=∠CAD=30°,所以?AEDF為菱形.因?yàn)椋?,AB=

9、3,所以菱形的邊長為2.在△ADF中,=,所以AD=sin 120°·=2. 熱點(diǎn)二 平面向量的數(shù)量積 [例2] (1)(20xx·濟(jì)南模擬)△ABC的外接圓半徑為1,圓心為O,且3+4+5=0,則·的值為(  ) A.-           B. C.- D. (2)(20xx·重慶高考)在平面上,⊥,||=||=1,=+.若||<,則||的取值范圍是(  ) A. B. C. D. (3)(20xx·浙江高考)設(shè)△ABC,P0是邊AB上一定點(diǎn),滿足P0B=AB,且對于邊AB上任一點(diǎn)P,恒

10、有·≥·,則(  ) A.∠ABC=90° B.∠BAC=90° C.AB=AC D.AC=BC [自主解答] (1)由已知得4=-3-5?|4|2=(-3-5)2,即16=34+30·,解得·=-;同理3=-4-5,兩邊平方得·=-,因此·=·(-)=·-·=-. (2)∵1⊥2,∴1·2=(1-)·(2-)=1·2-1·-·2+2=0, ∴1·2-1·-·2=-2. ∵=1+2,

11、∴-=1-+2-, ∴=1+2-. ∵|1|=|2|=1, ∴2=1+1+2+2(1·2-1·-2·)=2+2+2(-2)=2-2. ∵||<,∴0≤|2|<,∴0≤2-2<, ∴<2≤2,即||∈. (3)設(shè)AB=4,以AB所在直線為x軸,線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-2,0),B(2,0).又P0是邊AB上一定點(diǎn),P0B=AB,所以P0(1,0).設(shè)C(a,b),P(x,0),∴=(2-x,0),=(a-x,b).∴=(1,0),=(a-1,b).·≥·恒成立?(2-x)·(

12、a-x)≥a-1恒成立,即x2-(2+a)x+a+1≥0恒成立.∴Δ=(2+a)2-4(a+1)=a2≤0恒成立.∴a=0.即點(diǎn)C在線段AB的中垂線上,∴AC=BC. [答案] (1)A (2)D (3)D 在本例(1)中,若++=0,則∠BAC的大小是多少? 解:由已知可得+=,由向量加法的平行四邊形法則可知,四邊形OACB是四條邊均為外接圓半徑R的平行四邊形,故△OAC為等邊三角形,∠OAC=2∠BAC=60°,所以∠BAC=30°.      解決數(shù)量積運(yùn)算應(yīng)注意三點(diǎn) (1)a·b=0未必有a=0或b=0. (2)|a·b

13、|≤|a|·|b|. (3)a·(b·c)與(a·b)·c不一定相等. 3.如圖所示,P為△AOB所在平面內(nèi)一點(diǎn),向量=a,=b,且P在線段AB的垂直平分線上,向量=c.若|a|=3,|b|=2,則c·(a-b)的值為(  ) A.5 B.3 C. D. 解析:選C 設(shè)AB中點(diǎn)為D,c==+,所以c·(a-b)=(+)·=·+·=·=(a+b)·(a-b)=(|a|2-|b|2)=. 4.設(shè)G為△ABC的重心,若△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足+2+2

14、=0,則的值等于________. 解析:取BC的中點(diǎn)D,由已知+2+2=0得=2(+)=4,說明P,A,D三點(diǎn)共線,即點(diǎn)P在BC邊中線的延長線上,且||=4||. 如圖所示,故||=||,||=||,因此=×=2. 答案:2 5.向量a,b,c,d滿足:|a|=1,|b|=,b在a方向上的投影為,(a-c)·(b-c)=0,|d-c|=1,則|d|的最大值為________. 解析:由投影公式可得=b·a=,∴|b+a|2=|a|2+|b|2+2a·b=4,|b+a|=2.由(a-c)·(b-c)=a·b-c·

15、;(a+b)+c2=0,整理得+|c|2=|c|·|a+b|·cos θ≤2|c|(θ=〈c,a+b〉),解不等式+|c|2-2|c|≤0,得|c|≤1+,即|c|的最大值為1+.又|d-c|=1,即d終點(diǎn)的軌跡是以c的終點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓,故|d|的最大值為|c|max+1=2+. 答案:2+ 熱點(diǎn)三 平面向量的綜合應(yīng)用 [例3] (1)(20xx·安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),兩定點(diǎn)A,B滿足||=||=·=2,則點(diǎn)集{P|=λ+μ,|λ|+|μ|≤1,λ,μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(  ) A.2 B.

16、2 C.4 D.4 (2)已知點(diǎn)R(-3,0),點(diǎn)P在y軸上,點(diǎn)Q在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(x,y)在直線PQ上,且2+3=0,·=0,則4x+2y-3的最小值為(  ) A.-4 B.-3 C.3 D.4 [自主解答] (1)由||=||=·=2,可得∠AOB=,又A,B是兩定點(diǎn),可設(shè)A(,1),B(0,2),P(x,y), 由=λ+μ,可得? 因?yàn)閨λ|+|μ|≤1,所以+≤1,當(dāng),時,由可行域可得S0=×2×=,所以由對稱性可知點(diǎn)P所表示的區(qū)域面積S=4S0=4. (2)由2+3=0,得P,Q.由·=0,得

17、83;=0,即y2=4x,所以4x+2y-3=y(tǒng)2+2y-3=(y+1)2-4,因此,當(dāng)y=-1時,4x+2y-3取得最小值,最小值為-4. [答案] (1)D (2)A 兩類平面向量綜合問題的解決方法 (1)用向量解決平面幾何問題,主要是通過建立平面直角坐標(biāo)系將問題坐標(biāo)化,然后利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解有關(guān)問題. (2)在平面向量與平面解析幾何的綜合問題中,應(yīng)先根據(jù)平面向量知識把向量表述的解析幾何問題的幾何意義弄明白,再根據(jù)這個幾何意義用代數(shù)的方法研究解決. 6.對任意兩個非零的平面向量α和β,定義α°β=.若兩個非零的平面向量a,b滿足a與b的夾角θ∈,且a°b和b°

18、a都在集合中,則a°b=(  ) A. B. C.1 D. 解析:選D 根據(jù)新定義,得a°b===cos θ,b°a===cos θ.又因?yàn)閍°b和b°a都在集合中,設(shè)a°b=,b°a=(n1,n2∈Z),那么(a°b)·(b°a)=cos2θ=,又θ∈,所以0<n1n2<2,所以n1,n2的值均為1,故a°b==. 7.關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程ax2+bx+c=0,其中a,b,c都是非零平面向量,且a,b不共線,則該方程的解的情況是(  ) A.至多有一個解 B.至少有一個解 C.至多有兩個解 D.可能有無數(shù)個解 解析:選A 由已知,關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(其中a,b,c都是非零平面向量)可化為c=-x2a-xb,因?yàn)閍,b不共線且為非零平面向量,由平面向量基本定理,可知存在唯一實(shí)數(shù)對(m,n),使得c=ma+nb, 所以即,整理得m=-n2. 顯然,當(dāng)n≠0且m=-n2時,方程組有唯一一組解,即原方程有一個解;當(dāng)n=0或m≠-n2時,方程組無解,即原方程無解. 綜上,該方程至多有一個解.

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