浙江高考數(shù)學 理二輪專題訓練：第1部分 專題二 第3講 平面向量選擇、填空題型

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1、 考 點 考 情 平面向量的概念及線性運算 　1.對平面向量的概念及線性運算主要考查線性運算法則及其幾何意義以及兩個向量共線的條件，或以向量為載體求參數(shù)的值，如遼寧T3等． 2.對平面向量的基本定理及坐標運算的考查主要側(cè)重以下兩點： (1)以平面向量的基本定理為基石，利用一組基底表示相關向量；(2)利用坐標運算解決平行、垂直問題，如山東T15等． 3.數(shù)量積的運算是每年必考的內(nèi)容，主要涉及：(1)向量數(shù)量積的運算；(2)求向量的模；(3)求向量的夾角，如浙江T17等. 平面向量基本定理及坐標表示 平面向量的數(shù)量積 平面向量的應用 1．(20

2、xx·遼寧高考)已知點A(1,3)，B(4，－1)，則與向量同方向的單位向量為(　　) A.　　　　　　　 　B. C. D. 解析：選A　由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此與同方向的單位向量是＝. 2．(20xx·湖北高考)已知點A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：選A?。?2,1)，＝(5,5)，向量＝(2,1)在＝(5,5)上的投影為||cos〈，〉＝||·＝＝＝. 3．(20xx·浙江高考)設e1，e2為單位向量，非零

3、向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夾角為，則的最大值等于________． 解析：因為＝＝＝＝＝≤2，當且僅當＝－時取得等號，故的最大值為2. 答案：2 4．(20xx·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． 解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ＋＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝. 答案： 5．(20xx·江蘇高考)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點

4、，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析：＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 答案： 1．平面向量的兩個重要定理 (1)向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線當且僅當存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa. (2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 2．兩個非零向量平行、垂直的充要條件 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： (1)a∥b?a＝λb

5、(λ≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. 3．平面向量的三個性質(zhì) (1)若a＝(x，y)，則|a|＝＝ . (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝ . (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cos θ＝＝ . 熱點一 平面向量的概念及線性運算 [例1]　(1)(20xx·廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc； ③給定單

6、位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μc； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是(　　) A．1　　　 　B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 (2)(20xx·合肥模擬)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，BC的中點，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. [自主解答]　(1)顯然①②正確；對于③，當μ＜|a|sina，b時，不存在符合題意的單位向量c和實數(shù)λ，③錯；對于④，當λ＝μ＝1，|a|＞2時，易知④錯． (

7、2)依題意得＝＋＋＝＋－＝＋，＝＋＝＋；又＝λ＋μ，于是有＝λ＋μ＝＋；又與不共線，因此有由此解得λ＝－，μ＝－2λ，所以λ＋μ＝－λ＝. [答案]　(1)B　(2) 平面向量的線性運算應注意三點 (1)三角形法則和平行四邊形法則的運用條件． (2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． (3) ＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若A、B、C三點共線，則λ＋μ＝1. 1．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，P為矩形內(nèi)一點，且AP＝.若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，則λ＋μ的最大值為(　　) A.

8、 B. C. D. 解析：選B　據(jù)已知||2＝(λ＋μ)2?2＝λ2＋3μ2，整理變形可得(λ＋μ)2－2λμ＝，由均值不等式，可得(λ＋μ)2－22≤，解得λ＋μ≤. 2．在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分線AD交邊BC于D，已知AB＝3，且＝＋λ (λ∈R)，則AD的長為(　　) A．1 B. C．2 D．3 解析：選C　如圖所示，因為B，D，C三點共線， 所以λ＋＝1，即λ＝. 在AB上取一點E使＝，在AC上取一點F使＝，由＝＋＝＋， 可知四邊形AEDF為平行四邊形，又∠BAD＝∠CAD＝30°，所以?AEDF為菱形．因為＝，AB＝

9、3，所以菱形的邊長為2.在△ADF中，＝，所以AD＝sin 120°·＝2. 熱點二 平面向量的數(shù)量積 [例2]　(1)(20xx·濟南模擬)△ABC的外接圓半徑為1，圓心為O，且3＋4＋5＝0，則·的值為(　　) A．－　 　　　　　　　 　B. C．－ D. (2)(20xx·重慶高考)在平面上，⊥，||＝||＝1，＝＋.若||<，則||的取值范圍是(　　) A. B. C. D. (3)(20xx·浙江高考)設△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足P0B＝AB，且對于邊AB上任一點P，恒

10、有·≥·，則(　　) A．∠ABC＝90° B．∠BAC＝90° C．AB＝AC D．AC＝BC [自主解答]　(1)由已知得4＝－3－5?|4|2＝(－3－5)2，即16＝34＋30·，解得·＝－；同理3＝－4－5，兩邊平方得·＝－，因此·＝·(－)＝·－·＝－. (2)∵1⊥2，∴1·2＝(1－)·(2－)＝1·2－1·－·2＋2＝0， ∴1·2－1·－·2＝－2. ∵＝1＋2，

11、∴－＝1－＋2－， ∴＝1＋2－. ∵|1|＝|2|＝1， ∴2＝1＋1＋2＋2(1·2－1·－2·)＝2＋2＋2(－2)＝2－2. ∵||<，∴0≤|2|<，∴0≤2－2<， ∴<2≤2，即||∈. (3)設AB＝4，以AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則A(－2,0)，B(2,0)．又P0是邊AB上一定點，P0B＝AB，所以P0(1,0)．設C(a，b)，P(x,0)，∴＝(2－x,0)，＝(a－x，b)．∴＝(1,0)，＝(a－1，b)．·≥·恒成立?(2－x)·(

12、a－x)≥a－1恒成立，即x2－(2＋a)x＋a＋1≥0恒成立．∴Δ＝(2＋a)2－4(a＋1)＝a2≤0恒成立．∴a＝0.即點C在線段AB的中垂線上，∴AC＝BC. [答案]　(1)A　(2)D　(3)D 在本例(1)中，若＋＋＝0，則∠BAC的大小是多少？ 解：由已知可得＋＝，由向量加法的平行四邊形法則可知，四邊形OACB是四條邊均為外接圓半徑R的平行四邊形，故△OAC為等邊三角形，∠OAC＝2∠BAC＝60°，所以∠BAC＝30°.　　　　　 解決數(shù)量積運算應注意三點 (1)a·b＝0未必有a＝0或b＝0. (2)|a·b

13、|≤|a|·|b|. (3)a·(b·c)與(a·b)·c不一定相等． 3.如圖所示，P為△AOB所在平面內(nèi)一點，向量＝a，＝b，且P在線段AB的垂直平分線上，向量＝c.若|a|＝3，|b|＝2，則c·(a－b)的值為(　　) A．5 B．3 C. D. 解析：選C　設AB中點為D，c＝＝＋，所以c·(a－b)＝(＋)·＝·＋·＝·＝(a＋b)·(a－b)＝(|a|2－|b|2)＝. 4．設G為△ABC的重心，若△ABC所在平面內(nèi)一點P滿足＋2＋2

14、＝0，則的值等于________． 解析：取BC的中點D，由已知＋2＋2＝0得＝2(＋)＝4，說明P，A，D三點共線，即點P在BC邊中線的延長線上，且||＝4||. 如圖所示，故||＝||，||＝||，因此＝×＝2. 答案：2 5．向量a，b，c，d滿足：|a|＝1，|b|＝，b在a方向上的投影為，(a－c)·(b－c)＝0，|d－c|＝1，則|d|的最大值為________． 解析：由投影公式可得＝b·a＝，∴|b＋a|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝4，|b＋a|＝2.由(a－c)·(b－c)＝a·b－c·

15、;(a＋b)＋c2＝0，整理得＋|c|2＝|c|·|a＋b|·cos θ≤2|c|(θ＝〈c，a＋b〉)，解不等式＋|c|2－2|c|≤0，得|c|≤1＋，即|c|的最大值為1＋.又|d－c|＝1，即d終點的軌跡是以c的終點為圓心、1為半徑的圓，故|d|的最大值為|c|max＋1＝2＋. 答案：2＋ 熱點三 平面向量的綜合應用 [例3]　(1)(20xx·安徽高考)在平面直角坐標系中，O是坐標原點，兩定點A，B滿足||＝||＝·＝2，則點集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．2 B．

16、2 C．4 D．4 (2)已知點R(－3,0)，點P在y軸上，點Q在x軸的正半軸上，點M(x，y)在直線PQ上，且2＋3＝0，·＝0，則4x＋2y－3的最小值為(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 [自主解答]　(1)由||＝||＝·＝2，可得∠AOB＝，又A，B是兩定點，可設A(，1)，B(0,2)，P(x，y)， 由＝λ＋μ，可得? 因為|λ|＋|μ|≤1，所以＋≤1，當，時，由可行域可得S0＝×2×＝，所以由對稱性可知點P所表示的區(qū)域面積S＝4S0＝4. (2)由2＋3＝0，得P，Q.由·＝0，得

17、83;＝0，即y2＝4x，所以4x＋2y－3＝y(tǒng)2＋2y－3＝(y＋1)2－4，因此，當y＝－1時，4x＋2y－3取得最小值，最小值為－4. [答案]　(1)D　(2)A 兩類平面向量綜合問題的解決方法 (1)用向量解決平面幾何問題，主要是通過建立平面直角坐標系將問題坐標化，然后利用平面向量的坐標運算求解有關問題． (2)在平面向量與平面解析幾何的綜合問題中，應先根據(jù)平面向量知識把向量表述的解析幾何問題的幾何意義弄明白，再根據(jù)這個幾何意義用代數(shù)的方法研究解決． 6．對任意兩個非零的平面向量α和β，定義α°β＝.若兩個非零的平面向量a，b滿足a與b的夾角θ∈，且a°b和b°

18、a都在集合中，則a°b＝(　　) A. B. C．1 D. 解析：選D　根據(jù)新定義，得a°b＝＝＝cos θ，b°a＝＝＝cos θ.又因為a°b和b°a都在集合中，設a°b＝，b°a＝(n1，n2∈Z)，那么(a°b)·(b°a)＝cos2θ＝，又θ∈，所以0<n1n2<2，所以n1，n2的值均為1，故a°b＝＝. 7．關于實數(shù)x的方程ax2＋bx＋c＝0，其中a，b，c都是非零平面向量，且a，b不共線，則該方程的解的情況是(　　) A．至多有一個解 B．至少有一個解 C．至多有兩個解 D．可能有無數(shù)個解 解析：選A　由已知，關于x的方程ax2＋bx＋c＝0(其中a，b，c都是非零平面向量)可化為c＝－x2a－xb，因為a，b不共線且為非零平面向量，由平面向量基本定理，可知存在唯一實數(shù)對(m，n)，使得c＝ma＋nb， 所以即，整理得m＝－n2. 顯然，當n≠0且m＝－n2時，方程組有唯一一組解，即原方程有一個解；當n＝0或m≠－n2時，方程組無解，即原方程無解． 綜上，該方程至多有一個解.