浙江高考數(shù)學 理二輪專題訓練：第3部分 專題一 第3講 拉分題巧妙解每分都要爭

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1、 第三講　拉分題——巧妙解，每分都要爭 高考是選拔性的考試，必然要具備選拔的功能，試卷中必然要有綜合考查數(shù)學知識、數(shù)學思想的能力型試題，即拉分題(亦即壓軸題)．對大部分考生來說，在解決好前兩類問題的前提下，如何從拿不下的題目(壓軸題)中分段得分，是考生高考數(shù)學能否取得圓滿成功的重要標志，是考生能否達到“名牌大學任我挑”的關(guān)鍵，對此可采用如下四招達到高分的目的： 第一招　缺 步 解 答 —————————————————————————————————————— 如遇到一個不會做的問題，將它們分解為一系列的步驟，或者是一個個小問題，先解決問題的一部分，能解決多少

2、就解決多少，能寫幾步就寫幾步．特別是那些解題層次明顯的題目，每一步演算到得分點時都可以得分，最后結(jié)論雖然未得出，但分數(shù)卻已過半．如： [例1]　(20xx·四川高考)(13分)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且橢圓C經(jīng)過點P. (1)求橢圓C的離心率； (2)設(shè)過點A(0,2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且＝＋，求點Q的軌跡方程． [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —————————————————————————————————————— ——————————————————

3、———————————————————— —————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評分細則] (1)由橢圓定義知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝ ＋ ＝2， 所以a＝.?2分 又由已知，c＝1， 所以橢圓C的離心率e＝＝＝.?4分 (2)由(1)知，橢圓C的方程為＋y2＝1. 設(shè)點Q的坐標為(x，y)． ①當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0,1)，(0，－1)兩點，此時點Q的坐標為.?6分 ②當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2. 因為M，N在直線l上，可設(shè)點M，N的坐標分別為(x1，kx1＋2

4、)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x. 又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2. 由＝＋，得 ＝＋， 即＝＋＝ .?、?8分 將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 (2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.?、? 由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，得k2>. 由②可知，x1＋x2＝，x2x2＝， 代入①中并化簡，得 x2＝.?、?10分 因為點Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝，代入③中并化簡，得10(y－2)2－3x2＝18. ?11分 由③及k2>，可知0<

5、;x2<，即x∈∪. 又滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈. 由題意，Q(x，y)在橢圓C內(nèi)，所以－1≤y≤1， 又由10(y－2)2＝18＋3x2有 (y－2)2∈且－1≤y≤1，則y∈. 所以點Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈.?13分 (1)本題第(1)問為已知橢圓標準方程求橢圓的離心率問題，屬于容易題． (2)本題的難點在于第(2)問中確定軌跡方程及方程中各變量的取值范圍，本題有一定的難度，要想拿到全分很難，這就應該學會缺步解答． 首先，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，若需要設(shè)直線方程，應考慮直線的斜率是否存在，因此當直

6、線l的斜率不存在時，求出點Q的坐標為.這是每位考生都應該能做到的． 其次，聯(lián)立直線方程與橢圓方程并設(shè)出M，N，Q的坐標，通過＝＋，得到＝＋＝，然后由x1＋x2及x1x2聯(lián)想一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將問題解決到x2＝是完全可以做到的，到此已經(jīng)可以得到10分． 另外，考慮到點Q在直線l上，將點Q坐標代入所設(shè)直線方程就能得到10(y－2)2－3x2＝18，到此便可以得到11分． 到此不能繼續(xù)往下解時，我們也已經(jīng)得到絕大部分分數(shù)了． 第二招　跳 步 解 答 ——————————————————————————————————————解題過程中卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的，這時，我們可以先承

7、認中間結(jié)論，往后推，看能否得到結(jié)論．若題目有兩問，第(1)問想不出來，可把第(1)問作“已知”，先做第(2)問，跳一步再解答，如： [例2]　(20xx·湖北高考)(14分)設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)． (1)求函數(shù)f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值； (2)證明：<nr<； (3)設(shè)x∈R，記[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[2]＝2，[π]＝4，＝－1.令S＝＋＋＋…＋，求[S]的值． (參考數(shù)據(jù)：80≈344.7,81≈350.5,124≈618.3,126≈631.7) [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —

8、————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評分細則] (1)因為f′(x)＝(r＋1)(1＋x)r－(r＋1)＝(r＋1)·[(1＋x)r－1]，令f′(x)＝0，解得x＝0.?2分 當－1<x<0時，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,0)內(nèi)是減函數(shù)； 當x>0時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)． 故函數(shù)f(x)在x

9、＝0處取得最小值f(0)＝0.?4分 (2)證明：由(1)知，當x∈(－1，＋∞)時，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，當且僅當x＝0時等號成立， 故當x>－1且x≠0時，有 (1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.　①?6分 在①中，令x＝(這時x>－1且x≠0)，則有r＋1>1＋. 上式兩邊同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即nr<.?、?8分 當n>1時，在①中令x＝－(這時x>－1且x≠0)，類似可得nr>.?、? 且當n＝1時，③也成立． 綜合②③得 <nr

10、<.?、?10分 (3)在④中，令r＝，n分別取值81,82,83，…，125，得 (81－80)<<(82－81)， (82－81)<<(83－82)， (83－82)<<(84－83)， …… (125－124)<<(126－125)， 將以上各式相加，并整理得 (125－80)<S<(126－81)．?12分 代入數(shù)據(jù)計算，可得(125－80)≈210.2， (126－81)≈210.9. 由[S]的定義，得[S]＝211.?14分 本題第(2)問難度較大，但我們可以跳過第(2)問，直接求解第(

11、3)問，這就是所謂的跳步解答．而本題在求解第(3)問時利用了第(2)問的結(jié)論，雖然沒有證出第(2)問，但第(3)問同樣可以得到相應的分數(shù)． 第三招　輔 助 解 答 —————————————————————————————————————— 一道題目的完整解答，既有主要的實質(zhì)性的步驟，也有次要的輔助性的步驟．實質(zhì)性的步驟未找到之前，找輔助性的步驟是明智之舉．如：準確作圖，把題目中的條件翻譯成數(shù)學表達式，根據(jù)題目的意思列出要用的公式等．羅列這些小步驟都是有分的，這些全是解題思路的重要體現(xiàn)，切不可以不寫，對計算能力要求高的，實行解到哪里算哪里的策略．書寫也是輔助解答，“書寫要工整，卷面能得分

12、”是說第一印象好會在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應．如： [例3]　(12分)如圖，動圓C1：x2＋y2＝t2,1<t<3與橢圓C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四點，點A1，A2分別為C2的左，右頂點． (1)當t為何值時，矩形ABCD的面積取得最大值？并求出其最大面積； (2)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程． [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —————————————————————————————————————— —————————————————————————————————————————————————————————————————

13、——————————— [解題規(guī)范與評分細則] (1)設(shè)A(x0，y0)，則矩形ABCD的面積S＝4|x0||y0|.?1分 由＋y＝1，得y＝1－，?3分 從而xy＝x＝－2＋. 當x＝，y＝時，Smax＝6.?5分 從而t＝時，矩形ABCD的面積最大，最大面積為6. (2)設(shè)點M(x，y)，由A(x0，y0)，B(x0，－y0)，A1(－3,0)，A2(3,0)，知直線AA1的方程為y＝(x＋3)，①?6分 直線A2B的方程為y＝(x－3)．②?7分 由①×②得y2＝(x2－9)．③?9分 又點A(x0，y0)在橢圓C上，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2

14、＝1(x<－3，y<0)．?11分 因此點M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0)．?12分 第(2)問要求交點M的軌跡方程，不易求解，考生可以利用圖形的對稱性設(shè)出A、B兩點的坐標，再由兩點式可寫出兩直線方程．這類根據(jù)圖形或題意寫出一些點的坐標、方程、公式或正確做出圖形等的方法，為輔助解答法，像這種情況，閱卷老師一般會酌情給分． 第四招　逆 向 解 答 —————————————————————————————————————— 對一個問題正面思考發(fā)生思維受阻時，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進展，順向推有困難就逆推，直接證有困

15、難就反證．如： [例4]　(12分)設(shè)實數(shù)數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn＋1＝an＋1Sn(n∈N*)． (1)若a1，S2，－2a2成等比數(shù)列，求S2和a3； (2)求證：對k≥3有0≤ak＋1≤ak≤. [嘗試解答]　(試一試，看看能得多少分) —————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————————————————————————————————————————— [解題規(guī)范與評分細則] (1)由題意得S＝－2S2， 由S2是等比中項知S2≠0，因此S2＝－2

16、.?2分 由S2＋a3＝S3＝a3S2，解得 a3＝＝＝.?4分 (2)證明：由題設(shè)條件有Sn＋an＋1＝an＋1Sn， 故Sn≠1，an＋1≠1且an＋1＝，Sn＝， 從而對k≥3，有 ak＝＝＝＝.?、? 因a－ak－1＋1＝2＋>0且a≥0，由①得ak≥0.?7分 要證ak≤，由①只要證≤， 即證3a≤4(a－ak－1＋1)， 即(ak－1－2)2≥0，此式明顯成立， 因此ak≤(k≥3)．?9分 最后證ak＋1≤ak，若不然ak＋1＝>ak， 又因ak≥0，故>1，即(ak－1)2<0，矛盾． 因此ak＋1≤ak(k≥3)．?11分 所以，對k≥3有0≤ak＋1≤ak≤.?12分 本題對分析問題的能力要求極高，對數(shù)學證明的靈活性要求也非常高．本題的一個誤區(qū)就是試圖求出數(shù)列的通項公式，在以考查不等式的證明為主的數(shù)列試題中，有很多試題是不需要求出其通項公式的(大部分題目也求不出通項公式)，而是根據(jù)給出的已知條件直接變換后進行推理論證，在解決與數(shù)列有關(guān)的不等式問題時，要樹立這個思想意識．本題在證明ak≤及ak＋1≤ak時，直接證明比較困難，但利用反證法，從問題的反面入手就容易多了．