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1、
保溫訓(xùn)練卷(二)
一、選擇題
1．若函數(shù)f(x)＝則f(f(10))＝( )
A．10 B．2
C．1 D．0
解析：選B f(10)＝lg 10＝1，f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.
2．在24的展開式中，x的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有 ( )
A．3項 B．4項
C．5項 D．6項
解析：選C Tr＋1＝C·24－r·r＝C·x12－r，且0≤r≤24，r∈N，所以當(dāng)r＝0,6,12,18,24時，x的冪指數(shù)是整數(shù)．
3．已知實數(shù)a>1，命題p：函數(shù)y＝log(x2＋2x＋a)的定義域
2、為R，命題q：x2<1是x<a的充分不必要條件，則( )
A．“p或q”為真命題 B．“p且q”為假命題
C．“非p且q”為真命題 D．“非p或非q”為真命題
解析：選A 當(dāng)a>1時，y＝log(x2＋2x＋a)的真數(shù)恒大于零，故定義域是R，p是真命題；當(dāng)a>1時，x2<1的解集是x<a的解集的真子集，故x2<1是x<a的充分不必要條件，q是真命題．所以“p或q”為真命題．
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋ln x，則( )
A．x＝為f(x)的極大值點
B．x＝為f(x)的極小值點
C．x＝2為f(x)的極大值點
D．x＝2為f(x)
3、的極小值點
解析：選D f′(x)＝－＋＝，所以f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，所以x＝2為函數(shù)f(x)的極小值點．
5．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6成等比數(shù)列，則其公比為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d.因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2，化簡得d2＝－2a1d，因為d≠0，所以d＝－2a1，a2＝－a1，a3＝－3a1，公比q＝＝＝3.
6．函數(shù)f(x)＝sin xco
4、s x－cos2x＋的一個對稱中心的坐標是( )
A. B.
C．(π，0) D.
解析：選B ∵f(x)＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，∴f(x)的圖像的對稱中心為(k∈Z)．
7．已知雙曲線x2＋my2＝－1的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)m的值是( )
A．4 B.
C．－ D．－4
解析：選D 由題意知m<0,2×1＝2×2× ?－＝?m＝－4.
8．若兩個函數(shù)的圖像經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出如下四個函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x
5、)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2 (2x)，則“同形”函數(shù)是( )
A．f2(x)與f4(x) B．f1(x)與f3(x)
C．f1(x)與f4(x) D．f3(x)與f4(x)
解析：選A ∵f2(x)＝log2(x＋2)的圖像可由f(x)＝log2x向左平移2個單位得到，f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，它的圖像可由f(x)＝log2x向上平移1個單位得到，故f2(x)與f4(x)為“同形”函數(shù)．
二、填空題
9．已知＋1<0，則函數(shù)f(x)＝x＋的最小值是________．
解析：由＋1<0得2<x
6、<4，則f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝3時等號成立)，故函數(shù)f(x)的最小值是5.
答案：5
10．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜想第n個不等式為________．
解析：1>，1＋＋>，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>，…，可猜想第n個不等式為1＋＋＋…＋>.
答案：1＋＋＋…＋>
11．直線l1與l2相交于點A，動點B，C分別在直線l1與l2上且異于點A，若與的夾角為60°，||＝2，則△ABC的外接圓的面積為____
7、____．
解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，由正弦定理可知＝＝2R，其中R為△ABC外接圓的半徑，由此得R＝2，故所求面積S＝πR2＝4π.
答案：4π
三、解答題
12．設(shè)A，B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗．每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效．若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的只數(shù)多，就稱該試驗組為甲類組．設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為.
(1)求一個試驗組為甲類組的概率；
(2)觀察三個試驗組，用X表示這三個試驗組中甲類組的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)
8、學(xué)期望．
解：(1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2；Bi表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.依題意，有
P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，
P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.
故所求的概率為P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.
(2)由題意知X的可能值為0,1,2,3，故有
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2&
9、#215;＝，
P(X＝3)＝3＝.
從而，X的分布列為
X
0
1
2
3
P
數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O為AC的中點．
(1)證明：A1O⊥平面ABC；
(2)求直線A1C與平面A1AB所成的角的正弦值；
(3)在BC1上是否存在一點E，使得OE∥平面A1AB？若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由．
解：(1)證明：∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O
10、為AC的中點，∴A1O⊥AC.
∵側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，交線為AC，A1O?平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC.
(2)連接OB，如圖，以O(shè)為原點，分別以O(shè)B、OC、OA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則由題可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0，0，)，A(0，－1,0)．
∴＝(0,1，－)．
令平面A1AB的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝n·＝0，而＝(0,1，)，＝(1,1,0)，可求得一個法向量n＝(3，－3，)，
∴|cos〈，n〉|＝＝＝，故直線A1C與平面A1AB所成角的正弦值為.
(3)存在點E，且
11、E為線段BC1的中點．
連接B1C交BC1于點M，連接AB1、OM，則M為B1C的中點，從而OM是△CAB1的一條中位線，即OM∥AB1，又AB1?平面A1AB，OM?平面A1AB，∴OM∥平面A1AB，故BC1的中點M即為所求的E點．
14．橢圓C：＋＝1(a>b>0)的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，滿足PF1⊥F1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若直線l過圓M：x2＋y2＋4x－2y＝0的圓心，交橢圓C于A，B兩點，且點A，B關(guān)于點M對稱，求直線l的方程．
解：(1)因為點P在橢圓C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a
12、＝3.
在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝＝2，
故橢圓的半焦距c＝，從而b2＝a2－c2＝4，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)．
已知圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5，
所以圓心M的坐標為(－2,1)．
易知垂直于x軸且過點M的直線l不滿足條件，從而可設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)＋1，
代入橢圓C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0，因為點A，B關(guān)于點M對稱，所以＝－＝－2，解得k＝.
所以直線l的方程為y＝(x＋2)＋1，
即8x－9y＋25＝0.
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