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1、
“2道”拉分題專練卷(一)
1．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋(2－a)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)a>0，證明：當(dāng)0<x<時，f>f；
(3)若函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′(x0)<0.
解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－2ax＋(2－a)＝－.
①若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝，且當(dāng)x∈時，f′(x)>0；當(dāng)x>時，f′(x)<0，所
2、以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
(2)證明：設(shè)函數(shù)g(x)＝f－f，則
g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，
g′(x)＝＋－2a＝.
當(dāng)0<x<時，g′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0，
故當(dāng)0<x<時，f>f.
(3)證明：由(1)可得，當(dāng)a≤0時，函數(shù)y＝f(x)的圖像與x軸至多有一個交點(diǎn)，故a>0，從而f(x)的最大值為f，且f>0.
不妨設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，0<x1<x2，
則0<x1<<x2.
由(2)得f ＝f>f(x1)
3、＝0.
從而x2>－x1，于是x0＝>.
由(1)知，f′(x0)<0.
2．在平面直角坐標(biāo)系中，已知焦距為4的橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，過F作垂直于x軸的直線與橢圓相交于R、S兩點(diǎn)，若線段RS的長為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)Q(9，m)是直線x＝9上的點(diǎn)，直線QA、QB與橢圓C分別交于點(diǎn)M、N，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
解：(1)依題意，橢圓過點(diǎn)，
故解得
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)由題意知，直線QA的方程為y＝(x＋3)，代入橢圓方程，
得(80＋m2)x2＋6m2x＋9m2－720＝0，
設(shè)M(x1，y1)，則－3x1＝?x1＝，
所以y1＝(x1＋3)＝＝，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
同理，直線QB的方程為y＝(x－3)，代入橢圓方程，得(20＋m2)x2－6m2x＋9m2－180＝0，
設(shè)N(x2，y2)，則3x2＝?x2＝，
所以y2＝(x2－3)＝＝－，
故點(diǎn)N的坐標(biāo)為.
①若＝?m2＝40，直線MN的方程為x＝1，與x軸交于點(diǎn)(1,0)；
②若m2≠40，直線MN的方程為y＋＝，
令y＝0，解得x＝1.
綜上所述，直線MN必過x軸上的定點(diǎn)(1,0)．
浙江高考數(shù)學(xué) 理科二輪專題訓(xùn)練：“2道”拉分題專練卷一含答案
