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1、
“4道”保分題專練卷(一)
1．已知△ABC為銳角三角形，向量m＝(3cos2A，sin A)，n＝(1，－sin A)，且m⊥n.
(1)求A的大??；
(2)當(dāng)＝pm，＝qn(p>0，q>0)，且滿足p＋q＝6時，求△ABC面積的最大值．
解：(1)∵m⊥n，∴3cos2A－sin2A＝0.
∴3cos2A－1＋cos2A＝0，
∴cos2A＝.
又∵△ABC為銳角三角形，
∴cos A＝，
∴A＝.
(2)由(1)可得m＝，n＝.
∴||＝p，||＝q.
∴S△ABC＝||||sin A＝pq.
又∵p＋q＝6，且p>0，q>0，
∴≤，
即≤3
2、.
∴pq≤9.
故△ABC的面積的最大值為9＝.
2．某工廠有120名工人，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]分組，其頻率分布直方圖如圖所示．工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，引進了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每名工人都要參加A、B兩項培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進行結(jié)業(yè)考試．已知各年齡段兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示．假設(shè)兩項培訓(xùn)是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響．
年齡分組
A項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)
B項培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)
[20,30)
30
18
[30,40)
36
24
[40,50)
12
9
[50
3、,60]
4
3
(1)若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求各年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)；
(2)隨機從年齡段[20,30)和[30,40)內(nèi)各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：(1)由頻率分布直方圖知，在年齡段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]內(nèi)的人數(shù)的頻率分別為0.35,0.4,0.15,0.1.
∵0.3540＝14,0.440＝16,0.1540＝6,0.140＝4，
∴在年齡段[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]內(nèi)應(yīng)抽取的人數(shù)分別為14,16,
4、6,4.
(2)∵在年齡段[20,30)內(nèi)的人數(shù)為1200.35＝42(人)，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為＝；B項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為＝，∴此人A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為＝.
∵在年齡段[30,40)內(nèi)的人數(shù)為1200.4＝48(人)，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為＝；B項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為＝，∴此人A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為＝.
由題設(shè)知，X的可能取值為0,1,2，
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＋＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
X
0
1
5、
2
P
X的數(shù)學(xué)期望為
E(X)＝0＋1＋2＝.
3．設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和是Sn，若{an}和{}都是等差數(shù)列，且公差相等．
(1)求{an}的通項公式；
(2)若a1，a2，a5恰為等比數(shù)列{bn}的前三項，記cn＝，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求Tn.
解：(1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋，
即＝ ，
由是等差數(shù)列，得到
則d＝ 且d＝2a1＞0，
所以d＝，
a1＝＝，
an＝＋(n－1)＝.
(2)由b1＝a1＝，b2＝a2＝，b3＝a5＝，得等比數(shù)列{bn}的公比q＝3，
所以bn＝3n－1，
所以cn＝＝＝－，
6、Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
4.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，＝λ (λ∈R)．
(1)當(dāng)λ＝時，求證：AB1⊥平面A1BD;
(2)當(dāng)二面角AA1DB的大小為時，求實數(shù)λ的值．
解：(1)證明：取BC的中點O，連接AO.
因為在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC⊥平面CBB1C1，且△ABC為正三角形，所以AO⊥BC，AO⊥平面CBB1C1.
以O(shè)為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，
則A(0,0，)，B1(1,2,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，B(1,0,0)．所以＝(1,2，－)， ＝(1,1，)，＝(2，－1,0)．
因為＝1＋2－3＝0，＝2－2＝0，
所以AB1⊥DA1，AB1⊥DB，又DA1∩DB＝D，
所以AB1⊥平面A1BD.
(2)由(1)得D(－1,2λ，0)，所以＝(1,2－2λ，)，＝(2，－2λ，0)，＝(1，－2λ，)．
設(shè)平面A1BD的一個法向量為n1＝(x，y，z)，平面AA1D的一個法向量為n2＝(s，t，u)，
由得平面A1BD的一個法向量為n1＝.
同理可求得平面AA1D的一個法向量為n2＝(，0，－1)，
由|cos〈n1，n2〉|＝＝，解得λ＝，
故λ的值為.
浙江高考數(shù)學(xué) 理科二輪專題訓(xùn)練：“4道”保分題專練卷一含答案
