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1、 精品資料
第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(A)
(時(shí)間：120分鐘 滿分：160分)
一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分)
1．下列命題中正確的有________．(填序號(hào))
①純虛數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集；
②復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù)的充要條件是z＝；
③復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)的充要條件是z＋＝0；
④i＋1的共軛復(fù)數(shù)是i－1.
2．復(fù)數(shù)z1＝2，z2＝2－i3分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)P、Q，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________．
3．已知復(fù)數(shù)z1＝x＋2i，z2＝－2＋i且|z1|<|z2|，則實(shí)數(shù)x的取值范
2、圍是________．
4．已知復(fù)數(shù)z＝1－i，則＝________.
5．已知z1＝3－4i，z2＝－7－2i，z1、z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為P1，P2，則對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為_(kāi)_______．
6．復(fù)數(shù)z＝的共軛復(fù)數(shù)＝________.
7．設(shè)＝＋ (x，y∈R)，則x＝________，
y＝________.
8．若(2－i)4i＝4－bi (其中i為虛數(shù)單位，b為實(shí)數(shù))，則b＝________.
9．已知z是純虛數(shù)，是實(shí)數(shù)，那么z＝________.
10．設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)．
(1)若z為實(shí)數(shù)，則m＝________；
(2)若z為純虛
3、數(shù)，則m＝________.
11．已知＝1＋i，其中m是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)－1＋mi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第________象限．
12．設(shè)f(n)＝()n＋()n(n∈Z)，則值域中元素有________個(gè)．
13．若復(fù)數(shù)z＝，則|＋3i|＝________.
14．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它們?cè)趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C.若＝2＋，則a＝________，b＝________.
二、解答題(本大題共6小題，共90分)
15．(14分)已知復(fù)數(shù)z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是
(1)虛數(shù)，(2)
4、純虛數(shù)．
16．(14分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|＝5，且(3＋4i)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．
17．(14分)復(fù)數(shù)z＝，若z2＋<0，求純虛數(shù)a.
18．(16分)已知復(fù)數(shù)z的模為2，求復(fù)數(shù)1＋i＋z的模的最大值、最小值．
19．(16分)已知z是虛數(shù)，證明：z＋為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|＝1.
20．(16分)復(fù)數(shù)z＝且|z|＝4，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，若復(fù)
5、數(shù)0，z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a、b的值．
第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入(A)
答案
1．②
2．3＋i
解析?。簔2－z1＝2－i3－()2＝2＋i＋1
＝3＋i.
3．(－1,1)
解析 ∵|z2|＝，∴x2＋4<5，
∴x2<1，∴－1
6、i)＝1＋i.∴＝1－i.
7. －
解析 由已知可得
＝＋，
所以＝＋，
即－i＝＋＋i.
所以 所以
8．－8
解析 4＋8i＝4－bi，∴b＝－8.
9．－2i
解析 設(shè)z＝y(tǒng)i (y∈R，且y≠0)，則
＝∈R，
∴2＋y＝0，即y＝－2，∴z＝－2i.
10．(1)1或2 (2)－
解析 (1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由題意知：m2－3m＋2＝0，
即m＝1或m＝2時(shí)，z是實(shí)數(shù)．
(2)由題意得
解得m＝－.∴當(dāng)m＝－時(shí)，z是純虛數(shù)．
11．二
解析 ∵m＝(1＋i)(
7、1－i)＝2，
∴－1＋mi＝－1＋2i，故其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限．
12．3
解析 f(n)＝in＋(－i)n，n取特殊值1,2,3,4，可得相應(yīng)的值．f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2.
13.
解析 ∵z＝＝＝－1＋i.
∴＝－1－i，∴|＋3i|＝|－1＋2i|＝.
14．－3?。?0
解析 ∵＝2＋
∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)
即 ∴.
15．解 由于m∈R，復(fù)數(shù)z可表示為
z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)當(dāng)m2－3m＋2≠0，
即m≠2且m≠1時(shí)，
8、z為虛數(shù)．
(2)當(dāng)，
即m＝－時(shí)，z為純虛數(shù)．
16．解 設(shè)z＝a＋bi (a，b∈R)．
因?yàn)閨z|＝5，所以a2＋b2＝25.
因?yàn)?3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)
＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i，
又(3＋4i)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第二、四象限的角平分線上，所以3a－4b＋4a＋3b＝0，
得b＝7a，
所以a＝，b＝，即z＝，
所以z＝(1＋7i)．
當(dāng)z＝1＋7i時(shí)，有|1＋7i－m|＝5，
即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，或m＝2.
當(dāng)z＝－(1＋7i)時(shí)，
同理可得m＝0，或m＝－2.
17．解 z＝
＝＝＝1－i.
∵a為
9、純虛數(shù)，∴設(shè)a＝mi (m≠0)，
則z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋
＝－＋i<0，
∴ ∴m＝4.∴a＝4i.
18．解 利用公式||z1|－|z2||
≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
∵|z|＝2，∴||z|－|1＋i||
≤|z＋1＋i|≤|z|＋|1＋i|.
∴0≤|z＋1＋i|≤2＋2，
∴|z＋1＋i|min＝0，|z＋1＋i|max＝4.
19．證明 設(shè)z＝x＋yi (x，y∈R且y≠0)，
則z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋
＝x＋＋i.
當(dāng)|z|＝1，即x2＋y2＝1時(shí)，z＋＝2x∈R.
當(dāng)z＋∈R，即y－＝0時(shí)，又y≠0，
∴x2＋y2＝1，即|z|＝1.
∴z＋為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|＝1.
20．解 z＝(a＋bi)
＝2ii(a＋bi)＝－2a－2bi.
由|z|＝4，得a2＋b2＝4. ①
∵復(fù)數(shù)0、z、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化簡(jiǎn)得|b|＝1. ②
又∵z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
∴－2a>0，－2b>0，∴a
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