2018年高考真題——數(shù)學（理）（全國卷II）+Word版含解析【KS5U+高考】

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1、歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚，qq：2355394501 絕密★啟用前 2018年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 理科數(shù)學 注意事項： 1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。 2．作答時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。 3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)復數(shù)除法法則化簡復數(shù)，即得結果. 詳解：選D. 點睛：本題考查復數(shù)除法法

2、則，考查學生基本運算能力. 2. 已知集合，則中元素的個數(shù)為 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點個數(shù). 詳解： ， 當時，； 當時，； 當時，； 所以共有9個，選A. 點睛：本題考查集合與元素關系，點與圓位置關系，考查學生對概念理解與識別. 3. 函數(shù)的圖像大致為 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，確定函數(shù)圖像. 詳解：為奇函數(shù)，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此選B. 點睛：有關函數(shù)圖象

3、識別問題的常見題型及解題思路（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復． 4. 已知向量，滿足，，則 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結果. 詳解：因為 所以選B. 點睛：向量加減乘： 5. 雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：根據(jù)離心率得a,c關系，進而得a,b關系，再

4、根據(jù)雙曲線方程求漸近線方程，得結果. 詳解： 因為漸近線方程為，所以漸近線方程為，選A. 點睛：已知雙曲線方程求漸近線方程：. 6. 在中，，，，則 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先根據(jù)二倍角余弦公式求cosC,再根據(jù)余弦定理求AB. 詳解：因為 所以，選A. 點睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結合已知條件靈活轉化邊和角之間的關系，從而達到解決問題的目的. 7. 為計算，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)程序框

5、圖可知先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此累加量為隔項. 詳解：由得程序框圖先對奇數(shù)項累加，偶數(shù)項累加，最后再相減.因此在空白框中應填入，選B. 點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)結構、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題，是求和還是求項. 8. 我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是

6、A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先確定不超過30的素數(shù)，再確定兩個不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率. 詳解：不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C. 點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法： (1)列舉法. (2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法. (3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過

7、列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化. (4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目. 9. 在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補關系求結果. 詳解：以D為坐標原點，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標系，則,所以, 因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C. 點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關

8、”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”. 10. 若在是減函數(shù)，則的最大值是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：先確定三角函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，再根據(jù)集合包含關系確定的最大值 詳解：因為， 所以由得 因此，從而的最大值為，選A. 點睛：函數(shù)的性質(zhì)： (1). (2)周期 (3)由 求對稱軸， (4)由求增區(qū)間; 由求減區(qū)間. 11. 已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足．若，則 A. B. 0 C. 2 D. 50 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及

9、對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應函數(shù)值求結果. 詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且， 所以, 因此， 因為，所以， ，從而，選C. 點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解． 12. 已知，是橢圓的左，右焦點，是的左頂點，點在過且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：先根據(jù)條件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c關系，即得離心率. 詳解：因為為等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,

10、 由斜率為得，， 由正弦定理得, 所以，選D. 點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據(jù)的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標的范圍等. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。 13. 曲線在點處的切線方程為__________． 【答案】 【解析】分析：先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，最后根據(jù)點斜式求切線方程. 詳解： 點睛：求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P

11、處的切線，必以點P為切點. 14. 若滿足約束條件 則的最大值為__________． 【答案】9 【解析】分析：先作可行域，再平移直線，確定目標函數(shù)最大值的取法. 詳解：作可行域，則直線過點A(5,4)時取最大值9. 點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得. 15. 已知，，則__________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)條件解出再根據(jù)兩角和正弦公式化簡求結果.

12、 詳解：因為，， 所以， 因此 點睛：三角函數(shù)求值的三種類型 (1)給角求值：關鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉化為特殊角的三角函數(shù). (2)給值求值：關鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異. ①一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應用； ②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的. (3)給值求角：實質(zhì)是轉化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角. 16. 已知圓錐的頂點為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45，若的面積為，則該圓錐的側面積為__________． 【答案】 【解析】分析：

13、先根據(jù)三角形面積公式求出母線長，再根據(jù)母線與底面所成角得底面半徑，最后根據(jù)圓錐側面積公式求結果. 因為與圓錐底面所成角為45，所以底面半徑為 因此圓錐的側面積為 點睛：本題考查線面角，圓錐的側面積，三角形面積等知識點，考查學生空間想象與運算能力 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。 （一）必考題：共60分。 17. 記為等差數(shù)列的前項和，已知，． （1）求的通項公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）an=2n–9，（2）Sn=n2

14、–8n，最小值為–16． 【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結果，（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值. 詳解：（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2． 所以{an}的通項公式為an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16． 點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件. 18. 下圖是某地區(qū)2000年至2

15、016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖． 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型①：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型②：． （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由． 【答案】（1）利用模型①預測值為226.1，利用模型②預測值為256.5，（2）利用模型②得到的預測值更可靠． 【解析】分析：（1）兩個回歸直線方程中無參數(shù)，

16、所以分別求自變量為2018時所對應的函數(shù)值，就得結果，（2）根據(jù)折線圖知2000到2009，與2010到2016是兩個有明顯區(qū)別的直線，且2010到2016的增幅明顯高于2000到2009，也高于模型1的增幅，因此所以用模型2更能較好得到2018的預測. 詳解：（1）利用模型①，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =–30.4+13.519=226.1（億元）． 利用模型②，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =99+17.59=256.5（億元）． （2）利用模型②得到的預測值更可靠． 理由如下： （i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對

17、應的點沒有隨機散布在直線y=–30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型①不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢．2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型②得到的預測值更可靠． （ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型①得到的預測值226.1億元的

18、增幅明顯偏低，而利用模型②得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型②得到的預測值更可靠． 以上給出了2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分． 點睛：若已知回歸直線方程，則可以直接將數(shù)值代入求得特定要求下的預測值；若回歸直線方程有待定參數(shù)，則根據(jù)回歸直線方程恒過點求參數(shù). 19. 設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，． （1）求的方程； （2）求過點，且與的準線相切的圓的方程． 【答案】(1) y=x–1,(2)或． 【解析】分析：(1)根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）先求AB中

19、垂線方程，即得圓心坐標關系，再根據(jù)圓心到準線距離等于半徑得等量關系，解方程組可得圓心坐標以及半徑，最后寫出圓的標準方程. 詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）． 設A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得． ，故． 所以． 由題設知，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程為y=x–1． （2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為 ，即． 設所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則 解得或 因此所求圓的方程為 或． 點睛：確定圓的方程方法 (1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而

20、寫出方程． (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心和半徑有關，則設圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關于的方程組，從而求出的值； ②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值． 20. 如圖，在三棱錐中，，，為的中點． （1）證明：平面； （2）若點在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】分析：(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得PO垂直AC，再通過計算，根據(jù)勾股定理得PO垂直O(jiān)B，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結論，(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據(jù)方程組解出平

21、面PAM一個法向量，利用向量數(shù)量積求出兩個法向量夾角，根據(jù)二面角與法向量夾角相等或互補關系列方程，解得M坐標，再利用向量數(shù)量積求得向量PC與平面PAM法向量夾角，最后根據(jù)線面角與向量夾角互余得結果. 詳解：（1）因為，為的中點，所以，且. 連結.因為，所以為等腰直角三角形， 且，. 由知. 由知平面. （2）如圖，以為坐標原點，的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系. 由已知得取平面的法向量. 設，則. 設平面的法向量為. 由得，可取， 所以.由已知得. 所以.解得（舍去），. 所以.又，所以. 所以與平面所成角的正弦值為. 點睛：利用法向量求解空間線面角的關鍵

22、在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當?shù)目臻g直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”. 21. 已知函數(shù)． （1）若，證明：當時，； （2）若在只有一個零點，求． 【答案】（1）見解析（2） 詳解：（1）當時，等價于． 設函數(shù)，則． 當時，，所以在單調(diào)遞減． 而，故當時，，即． （2）設函數(shù)． 在只有一個零點當且僅當在只有一個零點． （i）當時，，沒有零點； （ii）當時，． 當時，；當時，． 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增． 故是在的最小值． ①若，即，在沒有零點； ②若，即

23、，在只有一個零點； ③若，即，由于，所以在有一個零點， 由（1）知，當時，，所以． 故在有一個零點，因此在有兩個零點． 綜上，在只有一個零點時，． 點睛：利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點存在的判定定理構建不等式求解. (2)分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域(最值)問題求解. (3)轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解. （二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。 22. [選修4－4：坐標系與參數(shù)方程] 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

24、（1）求和的直角坐標方程； （2）若曲線截直線所得線段的中點坐標為，求的斜率． 【答案】（1）當時，的直角坐標方程為，當時，的直角坐標方程為．（2） 【解析】分析：(1)根據(jù)同角三角函數(shù)關系將曲線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，根據(jù)代入消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標方程，此時要注意分 與兩種情況.(2)將直線參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，根據(jù)參數(shù)幾何意義得之間關系，求得，即得的斜率． 詳解：（1）曲線的直角坐標方程為． 當時，的直角坐標方程為， 當時，的直角坐標方程為． （2）將的參數(shù)方程代入的直角坐標方程，整理得關于的方程 ．① 因為曲線截直線所得線段的中點在內(nèi)，所以①

25、有兩個解，設為，，則． 又由①得，故，于是直線的斜率． 點睛：直線的參數(shù)方程的標準形式的應用 過點M0(x0，y0)，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程是.(t是參數(shù)，t可正、可負、可為0) 若M1，M2是l上的兩點，其對應參數(shù)分別為t1，t2，則 (1)M1，M2兩點的坐標分別是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若線段M1M2的中點M所對應的參數(shù)為t，則t＝，中點M到定點M0的距離|MM0|＝|t|＝. (4)若M0為線段M1M2的中點，則t1＋t2＝0. 23. [選修4

26、－5：不等式選講] 設函數(shù)． （1）當時，求不等式的解集； （2）若，求的取值范圍． 【答案】（1）,(2) 【解析】分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍． 詳解：（1）當時， 可得的解集為． （2）等價于． 而，且當時等號成立．故等價于． 由可得或，所以的取值范圍是． 點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．  河北、山東、甘肅、陜西、內(nèi)蒙古、北京、天津 資源投稿 qq：2355394501