高中數(shù)學(xué) 第三講 二維形式的柯西不等式課件 新人教A版選修45

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1、第三講 柯西不等式與排序不等式一 二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式 221212(x -x )(yy )(ac+bd)(ac+bd)2 21.1.在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中, ,取等號(hào)的條件可以取等號(hào)的條件可以寫成寫成 嗎嗎? ?提示：提示：不可以不可以. .當(dāng)當(dāng)b bd d=0=0時(shí)，柯西不等式成立，但時(shí)，柯西不等式成立，但 不成不成立立. .acbdacbd2 2設(shè)設(shè)x x，yRyR，且，且2x2x3y3y1313，則，則x x2 2y y2 2的最小值為的最小值為_._.【解析【解析】根據(jù)二維形式的柯西不等式可得：根據(jù)

2、二維形式的柯西不等式可得：(2x(2x3y)3y)2 2(2(22 23 32 2)(x)(x2 2y y2 2) )，又因?yàn)?，又因?yàn)?x2x3y3y1313，所以所以x x2 2y y2 213.13.答案：答案：13133.3.設(shè)設(shè)a=(-2,2),=(-2,2),b=6=6，則，則ab的最小值是的最小值是_，此時(shí)，此時(shí)b=_.=_.【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍bab, ,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k,k,使使a=k=kb時(shí)等號(hào)成立，時(shí)等號(hào)成立，所以所以所以所以ab的最小值為的最小值為此時(shí)此時(shí)答案：答案：2222612 2,a b12 212 2,a b12 2，323 2, 3

3、 2 .2 ba12 2(3 2, 3 2)1.1.對(duì)二維柯西不等式的向量形式的理解對(duì)二維柯西不等式的向量形式的理解(1)(1)柯西不等式的向量形式中，柯西不等式的向量形式中， 取等號(hào)的條件是取等號(hào)的條件是是零向量或者是零向量或者 共線，我們可以從向量的數(shù)量積角度來理共線，我們可以從向量的數(shù)量積角度來理解記憶解記憶. .| , (2)“(2)“二維二維”是對(duì)向量的個(gè)數(shù)來說的，在平面上一個(gè)向量有兩是對(duì)向量的個(gè)數(shù)來說的，在平面上一個(gè)向量有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因此個(gè)量：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因此“二維二維”就要有四個(gè)量，還可就要有四個(gè)量，還可以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種不等關(guān)系以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種

4、不等關(guān)系. .(3)(3)二維柯西不等式的代數(shù)形式與向量形式是一致的，只是表二維柯西不等式的代數(shù)形式與向量形式是一致的，只是表現(xiàn)形式不同現(xiàn)形式不同. .2.2.二維形式的柯西不等式的變式二維形式的柯西不等式的變式 22221abcdacbd . 22222abcdacbd . 22223abcdacbd.類型類型 一一 二維形式柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用二維形式柯西不等式代數(shù)形式的應(yīng)用 【典型例題【典型例題】1.1.已知已知3x3x2 22y2y2 266，則，則2x2xy y的最大值為的最大值為_._.2.2.已知已知 求證：求證：a a2 2+b+b2 2=1.=1.【解題探究【解題探究】1

5、.1.題題1 1中，結(jié)合已知條件與待求的式子，應(yīng)該怎樣建立關(guān)系使中，結(jié)合已知條件與待求的式子，應(yīng)該怎樣建立關(guān)系使用柯西不等式？用柯西不等式？2.2.題題2 2中的已知條件應(yīng)該如何利用？中的已知條件應(yīng)該如何利用？22a 1bb 1a1,探究提示：探究提示：1.1.把待求式子進(jìn)行平方得到把待求式子進(jìn)行平方得到(2x(2xy)y)2 2并結(jié)合已知條件進(jìn)行變并結(jié)合已知條件進(jìn)行變換，利用二維形式的柯西不等式找到不等關(guān)系，從而求得待換，利用二維形式的柯西不等式找到不等關(guān)系，從而求得待求式子的最大值求式子的最大值. .2 2題題2 2中的已知條件的形式與柯西不等式的形式相似，可以中的已知條件的形式與柯西不等

6、式的形式相似，可以考慮利用柯西不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過要證明是等式，考慮柯考慮利用柯西不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過要證明是等式，考慮柯西不等式等號(hào)成立的條件即可西不等式等號(hào)成立的條件即可. .【解析【解析】1. 1. 所以所以所以所以2x2xy y的最大值為的最大值為答案：答案：22212xy 3x () ( 2y)322222213x2y()() 32224111(3x2y )()611.3262xy11，11.112.2.由柯西不等式，得由柯西不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，上式取等號(hào)，時(shí)，上式取等號(hào)，所以所以于是于是a a2 2+b+b2 2=1.=1.222(a 1 bb 1 a )2222a(1

7、a )b(1b )1,22b1ba1a22ab1a1b ,2222a b(1a )(1b ),【拓展提升【拓展提升】利用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式的證題技利用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式的證題技巧巧 (1)(1)要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征要抓住柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征. .(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2, ,其中其中a,b,c,dRa,b,c,dR, ,或或 , ,其中其中a,b,c,dRa,b,c,dR+ +. .然后進(jìn)行整體換元、應(yīng)用然后進(jìn)行整體換元、應(yīng)用. .(2)(2)證題時(shí)往往需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形，這種變形要求具證題

8、時(shí)往往需要將數(shù)學(xué)表達(dá)式適當(dāng)變形，這種變形要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征有很高的技巧，必須善于分析題目的特征. .2abcdacbd【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知a,bRa,bR+ +, ,求證：求證：【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)閍,bRa,bR+ +, ,所以所以a+ba+b0,0,所以所以當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)即即a=ba=b時(shí)，等號(hào)成立時(shí)，等號(hào)成立. .即即114.abab22221111ab ()ab()() abab2211( ab)24.ab11ab,ba114.abab類型類型 二二 二維形式柯西不等式向量形式的應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式的應(yīng)用 【典型例題【典型例題】1.1.已

9、知已知a ab bc,c,若若 恒成立，則恒成立，則k k的最大值的最大值是是_._.2.2.已知已知 求函數(shù)求函數(shù) 的最大值，并的最大值，并說明等號(hào)成立的條件說明等號(hào)成立的條件. .11kabbcacx(0,)2， 2f x3cos x4 1 sin x【解題探究【解題探究】1.1.解決題解決題1 1時(shí)怎樣構(gòu)造向量時(shí)怎樣構(gòu)造向量, ,用向量形式的柯西不等式求解？用向量形式的柯西不等式求解？2.2.題題2 2中中 對(duì)利用柯西不等式有什么暗對(duì)利用柯西不等式有什么暗示？示？探究提示：探究提示：1.1.結(jié)合柯西不等式的向量形式可構(gòu)造如下向量結(jié)合柯西不等式的向量形式可構(gòu)造如下向量2.f(x)2.f(x

10、)可看作是可看作是m=(3,4)=(3,4)與與 的數(shù)量積的數(shù)量積. . 2f x3cos x4 1 sin x11()abbc .abbc，ab2(cos x, 1 sin x)n【解析【解析】1.1.設(shè)設(shè)由由abab得：得：即即所以所以k kmaxmax=4.=4.答案：答案：4 411(,),abbcaab, bc ,b 112abbc ,abbc114,abbcac2 2設(shè)設(shè)m=(3,4)=(3,4)， 則根據(jù)柯西不等式的向量則根據(jù)柯西不等式的向量形式可得：形式可得：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)上式取等號(hào)，此時(shí)，時(shí)上式取等號(hào)，此時(shí)， 而且而且解得解得所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 取最大值為取最大值

11、為2(cos x, 1 sin x)，n 2f x3cos x4 1 sin x222234cos x1 sin x5 2. 23 1 sin x 4cos x0，7sin x.57sin x.5 2f x3cos x4 1 sin x5 2.x(0,)2，【拓展提升【拓展提升】利用二維形式柯西不等式的向量形式的證明技利用二維形式柯西不等式的向量形式的證明技巧與方法巧與方法應(yīng)用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式證題時(shí)常需要構(gòu)造兩列應(yīng)用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式證題時(shí)常需要構(gòu)造兩列數(shù)數(shù). .同樣，向量形式的柯西不等式需要構(gòu)造兩個(gè)向量，通常我同樣，向量形式的柯西不等式需要構(gòu)造兩個(gè)向量，通常我們使構(gòu)造的

12、向量滿足待證不等式一側(cè)的形式，再證另一側(cè)們使構(gòu)造的向量滿足待證不等式一側(cè)的形式，再證另一側(cè). .同同時(shí)要注意向量模的計(jì)算公式時(shí)要注意向量模的計(jì)算公式 對(duì)數(shù)學(xué)式子的影響對(duì)數(shù)學(xué)式子的影響. .22xya【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值【解析【解析】由題可知函數(shù)的定義域滿足由題可知函數(shù)的定義域滿足即即xx1,51,5，令，令而而y 3 x1102xx10,102x0, 3, 2，x 1, 5x .y 3 x1102x3x125x| | | 222232( x1)( 5x)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)即即 時(shí)，取等號(hào)時(shí)，取等號(hào)所以所以y y的最大值為的最大值為11x1 5x 2 11 ，35x

13、2x1 ，47x112 11.【易錯(cuò)誤區(qū)【易錯(cuò)誤區(qū)】構(gòu)造柯西不等式的形式錯(cuò)誤而致誤構(gòu)造柯西不等式的形式錯(cuò)誤而致誤【典例【典例】(2013(2013沈陽高二檢測(cè)沈陽高二檢測(cè)) )若實(shí)數(shù)若實(shí)數(shù)x,yx,y滿足滿足則則x x2 2+2y+2y2 2的最小值為的最小值為_._.22111xy ，【解析【解析】由柯西不等式得由柯西不等式得 ，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，時(shí)等號(hào)成立，即即 時(shí)，時(shí)，x x2 2+2y+2y2 2有最小值為有最小值為答案：答案：2222222211x2yx2y1x2y()xy 2211(x2y)(12)32 2xy22x2y222x21y12，32 2.32 2.【誤區(qū)警示

14、【誤區(qū)警示】【防范措施【防范措施】1.1.關(guān)注形式特點(diǎn)關(guān)注形式特點(diǎn)利用二維形式的柯西不等式利用二維形式的柯西不等式(a(a2 2+b+b2 2)(c)(c2 2+d+d2 2)(ac+bd)(ac+bd)2 2 , ,取等取等號(hào)的條件是號(hào)的條件是ad=bcad=bc, ,因此在解題時(shí)因此在解題時(shí), ,對(duì)照柯西不等式對(duì)照柯西不等式, ,必須弄清必須弄清要求的問題中哪樣的數(shù)或代數(shù)式分別相當(dāng)于柯西不等式中的要求的問題中哪樣的數(shù)或代數(shù)式分別相當(dāng)于柯西不等式中的“a,b,c,da,b,c,d”,”,否則容易出錯(cuò)，如本例中對(duì)否則容易出錯(cuò)，如本例中對(duì)轉(zhuǎn)化時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)轉(zhuǎn)化時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)誤誤. .2.2.注重等號(hào)條件

15、注重等號(hào)條件在利用二維形式的柯西不等式解題時(shí)，一定要寫明等號(hào)成立在利用二維形式的柯西不等式解題時(shí)，一定要寫明等號(hào)成立的條件，否則題目的解題過程是不完善的，如本例中忽視的條件，否則題目的解題過程是不完善的，如本例中忽視處的等號(hào)成立的條件說明，會(huì)在解答題中扣分的處的等號(hào)成立的條件說明，會(huì)在解答題中扣分的. .【類題試解【類題試解】函數(shù)函數(shù) 的最大值為的最大值為_._.【解析【解析】由由 得得xx-2,1-2,1由題意知，由題意知，y0,y0,根據(jù)柯西不等式得根據(jù)柯西不等式得因?yàn)橐驗(yàn)樗运?y3,00,b0,a+b=2a0,b0,a+b=2，則，則 的最小值是的最小值是 ( )( )A. B.4

16、C. D.5A. B.4 C. D.5【解析【解析】選選C.C.由柯西不等式可知：由柯西不等式可知： 由由a+ba+b=2=2，可知，可知 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 即即b=2ab=2a時(shí)，時(shí)，解得解得 的最小值為的最小值為14ab729222221412ab ()a( b)() abab()(212( ab)9ab ，149ab2，21abba，24 14a,b33 ab，9.24 4函數(shù)函數(shù) 的最大值為的最大值為_【解析【解析】由由 非負(fù)且非負(fù)且所以所以答案：答案：yx3xx3x，22( x)( 3x)3，22x3x2x( 3x)2 36.()65.5.已知已知a,bRa,bR+ +, ,且且a+

17、ba+b=1,=1,則則 的最小值是的最小值是_._.【解析【解析】因?yàn)橐驗(yàn)閍,bRa,bR+ +且且a+ba+b=1,=1,所以所以 由柯西不等式得由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)答案：答案：112ab1111()(ab),2ab2ab21111()(ab)(ab)2ab2ab223(1)2.22ba2abab1，a21,b22.3226.6.已知已知x x，yRyR，且，且x xy y2.2.求證：求證：【證明【證明】當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)x=1,y=1.x=1,y=1.所以所以112.xy11111(xy)()xy2xy 2222111x( y) )() 2xy()(2111( xy)22xy ，yx,yxxy2112.xy