黑龍江省虎林高級中學高三數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法及其應用不等式（第2課時）課時課件 新人教A版選修45

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1、 1.1.驗證第一個命題成立驗證第一個命題成立( (即即nn0 0第一個命題對應的第一個命題對應的n的值，如的值，如n0 01 1) ) (歸納奠基）歸納奠基） ； 2.2.假設當假設當n= =k時命題成立，證明當時命題成立，證明當n= =k1 1時命題也時命題也成立成立(歸納遞推）歸納遞推）. .數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法: 關于正整數(shù)關于正整數(shù)n的命題的命題( (相當于多米諾骨牌相當于多米諾骨牌),),我們可我們可以采用下面方法來證明其正確性：以采用下面方法來證明其正確性： 由由(1)(1)、(2)(2)知，對于一切知，對于一切nn0 0的自然數(shù)的自然數(shù)n都成立！都成立！用上假設，遞推才真用上假

2、設，遞推才真注意注意:遞推基礎不可少遞推基礎不可少,歸納假設要用到歸納假設要用到,結論寫明莫忘掉結論寫明莫忘掉. .,.,成立成立的正整數(shù)的正整數(shù)對一切不小于對一切不小于到不等式到不等式由貝努利不等式不難得由貝努利不等式不難得時時且且是實數(shù)是實數(shù)當當例如例如揮作用揮作用法證明不等式中可以發(fā)法證明不等式中可以發(fā)這在數(shù)值故計和放縮這在數(shù)值故計和放縮形式形式縮小為簡單的縮小為簡單的方方式把二項式的乘式把二項式的乘人們經常用貝努利不等人們經常用貝努利不等在數(shù)學研究中在數(shù)學研究中nxnxxxxxxnxxnn211110111 :,一般的形式一般的形式它們是貝努利不等式更它們是貝努利不等式更有類似不等式成

3、立有類似不等式成立仍仍時時改為實數(shù)改為實數(shù)整數(shù)整數(shù)把貝努利不等式中的正把貝努利不等式中的正事實上事實上n .,11101 xxx有有時時或者或者并滿足并滿足是實數(shù)是實數(shù)當當 .,11110 xxx有有時時并且滿足并且滿足是實數(shù)是實數(shù)當當 .,:nxxnxxxBernoullin 111013那么有那么有的自然數(shù)的自然數(shù)為大于為大于且且是實數(shù)是實數(shù)如果如果不等式不等式證明貝努利證明貝努利例例.,進行歸納進行歸納對對我們用數(shù)學歸納法只能我們用數(shù)學歸納法只能的自然數(shù)的自然數(shù)是大于是大于的任意實數(shù)的任意實數(shù)且不等于且不等于于于表示大表示大個字母個字母貝努利不等式中涉及兩貝努利不等式中涉及兩分析分析nn

4、x101 .,不等式成立得由于時當證明xxxxxn2121102122 .,kxxkknk 1122即有時不等式成立假設當 kkxxxkn 11111,時當 kxx 1121kxkxx 11 .kx .時不等式成立所以當1 kn .,貝努利不等式成立可知由21?的的理理由由中中嗎嗎你你能能說說出出證證明明中中每每一一步步練習練習53頁頁 3證證:(1)當當n=2時時,左邊左邊= ,右邊右邊= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 21124 21122 11,42 (2)假設假設n=k( )時命題成立時命題成立,即即 ,2kN k 2221111.23kkk 則當則當n=k+1時時,2222

5、211111123(1)(1)kkkkk 21111111().(1)(1)11kkkkkkkk kkkkk 即當即當n=k+1時時,命題成立命題成立.由由(1)、(2)原不等式對一切原不等式對一切 都成立都成立. ,2nN n 3.求證求證:2221111(,2).23nnN nnn 證證:(1)當當n=2時時,左邊左邊= ,右邊右邊= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. 21124 21122 11,42 (2)假設假設n=k( )時命題成立時命題成立,即即 ,2kN k 2221111.23kkk 則當則當n=k+1時時,2222211111123(1)(1)kkkkk 即當即當n=

6、k+1時時,命題成立命題成立.由由(1)、(2)原不等式對一切原不等式對一切 都成立都成立. ,2nN n 3.求證求證:2221111(,2).23nnN nnn 11(1)kkk k 111()1kkkk 1111.11kkkkk ., 1,:4212121naaaaaaaaannnnn 那么它們的和積的乘個正數(shù)為正整數(shù)如果證明例.,.,要要遞遞推推的的目目標標心心中中有有數(shù)數(shù)由由它它并并對對什什么么是是歸歸納納假假設設和和的的條條件件正正數(shù)數(shù)的的乘乘積積為為個個應應注注意意利利用用用用數(shù)數(shù)學學歸歸納納法法證證明明它它時時簡簡潔潔和和諧諧它它的的形形式式的的不不等等式式這這是是與與正正整整

7、數(shù)數(shù)密密切切相相關關分分析析1n .,命題成立有時當證明1111 an .,kaaaaaakknkn 212112則個正數(shù)的乘積即若命題成立時當假設.,111121121 kkkkaaaaaaaakkn足條件滿個正數(shù)已知時當.,.,命題成立其和為是則它們都都相等個正數(shù)若這111121 kaaaakkk.,).(,.,11111121121121 aaaaaaaaakkkk不妨設矛盾否則與的數(shù)也有小于的數(shù)則其中必有大于不全相等個正數(shù)若這.,kaaaaaaaaaakaakkkk 13211321211歸納假設可以得到由的乘積是個正數(shù)樣就得到這看著一個數(shù)我們把乘積為利用歸納假設. 11321 kaa

8、aaakk要證的目標是.,用用討論的作討論的作回味這樣回味這樣面的證明面的證明請結合下請結合下.就得到則 .,.,時命題成立當就是說這于是目標得證即得由110111121212121 knaaaaaaaa .,成立那么它們的和的乘積個正數(shù)如果對一切正整數(shù)可知由naaaaaaaaannnnn 212121121,12121 aaaa若有可以發(fā)現(xiàn)對比 .,泛地應用泛地應用貝努利不等式可以被廣貝努利不等式可以被廣函數(shù)范圍擴充到實數(shù)函數(shù)范圍擴充到實數(shù)隨著指數(shù)隨著指數(shù)結果的證明結果的證明我們不在這里給出上述我們不在這里給出上述.,.,時命題成立時命題成立來證明來證明充分利用這樣聯(lián)系充分利用這樣聯(lián)系時命題

9、之間的關系時命題之間的關系納假設與納假設與注意發(fā)現(xiàn)或設法創(chuàng)設歸注意發(fā)現(xiàn)或設法創(chuàng)設歸重要不等式重要不等式一些一些和和種方法種方法的各的各式式如前面學習的證明不等如前面學習的證明不等他條件及相關知識他條件及相關知識還要靈活利用問題的其還要靈活利用問題的其設設不僅要正確使用歸納假不僅要正確使用歸納假為完成這步證明為完成這步證明一步一步時命題成立這時命題成立這時命題成立推出時命題成立推出由由難點往往出現(xiàn)在難點往往出現(xiàn)在等式等式使用數(shù)學歸納法證明不使用數(shù)學歸納法證明不111 knknknkn .,它它們們起起了了什什么么作作用用了了哪哪些些式式子子變變形形證證出出遞遞推推關關系系做做為為了了利利用用歸歸納納假假設設以以及及體體會會其其中中的的證證明明過過程程回回顧顧例例探探究究41 ?),(,均均值值不不等等式式嗎嗎個個正正數(shù)數(shù)的的你你能能得得出出是是正正數(shù)數(shù)個個正正數(shù)數(shù)考考慮慮的的結結論論利利用用例例naaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnn 212121221142