廣西欽州市靈山縣第二中學高中數(shù)學 雙曲線的幾何性質課件 新人教A版選修21

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1、oF2F1M1、范圍：、范圍： ，byax22221axa，x 或或將方程化為將方程化為 ，by022因為因為0122ax所以所以，ax122于是于是22ax 即即2、對稱性：、對稱性： 1）幾何法）幾何法觀察雙曲線的形狀，可以發(fā)現(xiàn)觀察雙曲線的形狀，可以發(fā)現(xiàn)雙曲線既是雙曲線既是 A 軸對稱圖形軸對稱圖形 又是又是 A中心對稱圖形中心對稱圖形 2）代數(shù)法）代數(shù)法1）將方程的）將方程的x用一用一x代替，方程不變，代替，方程不變，雙曲線關于雙曲線關于 對稱對稱2）將方程的）將方程的y用一用一y代替，方程不變，代替，方程不變，雙曲線關于雙曲線關于 對稱對稱 3）將方程的）將方程的x和和y分別用一分別用

2、一x和一和一y代替，代替，方程不變，雙曲線關于方程不變，雙曲線關于 對稱對稱y軸軸 x軸軸 原點原點 是雙曲線的對稱軸，是雙曲線的對稱軸， 是對稱中心是對稱中心坐稱軸坐稱軸原點原點實軸長：實軸長： A3、頂點：、頂點： 令令，y 0得得a，x因此，雙曲線和因此，雙曲線和x軸有兩個交點軸有兩個交點a2雙曲線的實軸：雙曲線的實軸： A雙曲線的虛軸：雙曲線的虛軸： A 虛軸長：虛軸長： A雙曲線和雙曲線和y軸有兩個虛交點軸有兩個虛交點、bB), 0(1)0(2，bBb221AA21BB、aA) 0 ,(1)0(2a，A實半軸長：實半軸長： A虛半軸長：虛半軸長： Aab 實軸與虛軸等長的雙曲線實軸與

3、虛軸等長的雙曲線叫叫等軸雙曲線等軸雙曲線(2a=2b)特殊特殊:)0(22mmyx1A2A1B2Bxyoxaby xaby4、漸近線、漸近線22221byxaxyab 兩兩條條直直線線叫叫做做雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線雙曲線的漸近線方程雙曲線的漸近線方程對于雙曲線對于雙曲線 ， 把方程右邊的把方程右邊的“1”換成換成“0”，得雙曲線漸近線，得雙曲線漸近線方程為方程為)0,0(12222babyax.002222xabybyaxbyax 或或或或思考：對于雙曲線思考：對于雙曲線 的漸近線有怎樣的結論呢？的漸近線有怎樣的結論呢？)0, 0(12222 babxay.002222xbaybxayb

4、xay 或或或或 222aac5、離心率：、離心率： 因為因為ca0，所以離心率的取值范圍是：，所以離心率的取值范圍是： 。1）離心率：）離心率：雙曲線的焦距與實軸的比雙曲線的焦距與實軸的比ace1e 122ac2）雙曲線的離心率對雙曲線的形狀的影響）雙曲線的離心率對雙曲線的形狀的影響 ab12 e所以所以e越大，越大， 也越大，也越大， ab即漸近線即漸近線 的斜率絕對值越大的斜率絕對值越大 xaby結論：雙曲線的離心率越結論：雙曲線的離心率越 ，大大 它的開口就越它的開口就越 。 開闊開闊 aac22注意：焦點在注意：焦點在y軸上的雙曲線的軸上的雙曲線的幾何性質可以類似得出，雙曲線幾何性質

5、可以類似得出，雙曲線的幾何性質與坐標系的選擇無關，的幾何性質與坐標系的選擇無關，即不隨坐標系的改變而改變即不隨坐標系的改變而改變ace 222bac二四個參數(shù)中，知二可求、在ecba 等軸雙曲線的離心率等軸雙曲線的離心率e= ?2的雙曲線是等軸雙曲線離心率2e例例1：求下列雙曲線：求下列雙曲線 的實半軸長和虛半軸長、的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程。焦點坐標、離心率、漸近線方程。 14416922 xy422 xy1）2）練習：課本練習：課本P126/1、2 例例2 雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，它線的一部分繞其虛軸

6、旋轉所成的曲面，它的最小半徑為的最小半徑為12m,上口半徑為上口半徑為13m,下口下口半徑為半徑為25m,高高55m.選擇適當?shù)淖鴺讼?，選擇適當?shù)淖鴺讼担蟪龃穗p曲線的方程求出此雙曲線的方程(精確到精確到1m). AA0 xCCBBy131225解：如圖，建立直角坐標系解：如圖，建立直角坐標系xOy,使使小圓的直徑小圓的直徑AA在在x軸上，圓心與原軸上，圓心與原點重合。這時，上下口的直徑點重合。這時，上下口的直徑CC,BB都平行于都平行于x軸，且軸，且CC =132, BB 252).55,25(),13(),0, 0( 12222yByCbabyax的坐標為則點的坐標為令點設雙曲線的方程為2

7、222222225(55)1 (1)12,131.(2)12ybB Cyb因因為為點點在在雙雙曲曲線線上上，所所以以CxyOAACBB131225把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表 ： ?y?x222bac222baca，xabyba，xax ，a是實長半軸長，b是虛短半軸長，c是半焦距a是長半軸長，b是短半軸長，c是半焦距平面內(nèi)與兩個F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2）的點的軌跡平面內(nèi)與兩個F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2）的點的軌跡范圍a、b、c的意義a、b、c關系標準方程圖形定義雙曲線橢圓分類)0( 12222b

8、abyax) 00( 12222，babyaxRy把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表把橢圓與雙曲線的性質分析、歸納，完成下表（續(xù)上表） ，aA)0 ,(1)0 ,(2aA),0(1bB), 0(2bB) 0 ,(1aA )0 ,(2aAace ace ，cF)0 ,(1)0 ,(2cF，cF)0 ,(1)0,(2cFxaby，無關于x軸和y軸對稱，也關于原點對稱關于x軸和y軸對稱，也關于原點對稱漸近線對稱性雙曲線橢圓分類頂點 離心率 焦點坐標 得程（負值舍去），代入方得由方程),1 (125),2(by 1)55125(12252222bb219275181500(3)bb化化簡簡得得用

9、計算器解方程用計算器解方程(3)，得，得b25162514422yx程為所以，所求雙曲線的方CxyOAACBB131225例例5 點點M（x,y）與定點）與定點F（5,0）的距離）的距離和它到定直線：和它到定直線： 的距離的比是常的距離的比是常數(shù)數(shù) , 求點求點M的軌跡的軌跡.l165x 54y0d,45516:dMFMPMxlMd的軌跡就是集合點的距離，根據(jù)題意，到直線是點解：設.45516)5(2xyx由此得,14416922yx 簡，得將上式兩邊平方，并化191622yx即所以，點所以，點M的軌跡是實軸、虛軸長分別為的軌跡是實軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線。的雙曲線。MxyOHFd例5

10、點M(x,y)與定點F(5,0)的距離和它到直線的距離的比是常數(shù) ,求點M的軌跡.16:5l x 54 22222222222210000210nxyyxmmnxymnxyxyabxyab 共漸近線的雙曲線系：漸近線方程為：即的雙曲線方程可設為：時表示焦點在 軸上的雙曲線；時表示焦點在 軸上的雙曲線；與雙曲線有相同的漸近線的雙曲線方程可設為：3 “共焦點共焦點”的雙曲線的雙曲線（1）與橢圓）與橢圓 有共同焦點的雙曲線方程表有共同焦點的雙曲線方程表 示為示為22221(0)xyabab2222221().xybaab（2）與雙曲線）與雙曲線 有共同焦點的雙曲線方有共同焦點的雙曲線方程表示為程表示

11、為22221(0,0)xyabab2222221()xybaab 222213 2 391629213213 2 2164xyyxxy 求下列雙曲線的標準方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點，；漸近線方程為：且過點，（3）與雙曲線有相同焦點，且過典點例題，型； 2210916xy 解： 設所求雙曲線方程為912916則，2219164xy故所求雙曲線方程為 220332xyyx 漸近線方程可化為22094xy 設所求雙曲線方程為8114294則，解得22222194188xyxy故所求雙曲線方程為即22191644xy即14解得 222213 2 391629213213 2 2164xy

12、yxxy 求下列雙曲線的標準方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點，；漸近線方典程為：且過點，（3）與雙曲線有相同焦點，且過點例題，型； 32 5 0解： 焦點為， ，221 02020 xymmm設所求雙曲線方程為184120mm則810m 解得或（舍）221128xy故所求雙曲線方程為221492454xye例 求與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線方程。. 191622yx可得, 91625, 42ba求得455a由05），焦點為（5c得2524492c解：由. 1916, 91625, 4455, 1505. 5,252449222222222yxbaaayaxcc可得求得然后由設共焦

13、點的雙曲線為），焦點為（得解：由另解另解22185xy例例: :求求以以橢橢圓圓的的焦焦點點為為頂頂點點，而而以以橢橢圓圓的的頂頂點點為為焦焦點點的的雙雙曲曲線線的的方方程程。2222222222213 08522 00510,022 3,242.3,22,835135xyxxyabaabcacbcaxy解解：依依據(jù)據(jù)題題意意有有的的焦焦點點為為， 。橢橢圓圓的的頂頂點點為為， 和和，由由題題意意可可知知該該雙雙曲曲線線的的焦焦點點在在 軸軸上上，所所以以設設雙雙曲曲線線的的方方程程為為則則所所以以所所以以所所求求雙雙曲曲線線方方程程為為例例 ：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線 的右焦點

14、的右焦點F2,傾斜角為傾斜角為 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點，求兩點，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一法一: :設直線設直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯(lián)立得與雙曲線方程聯(lián)立得A、B的坐標為的坐標為92 3( 3, 2 3),( ,)55 由兩點間的距離公式得|AB|=1635例例 ：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線 的右焦點的右焦點F2,傾斜角為傾斜角為 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點，求兩點，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二法二: :設直線設直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯(lián)立消與雙曲線方程聯(lián)立消y得得5x2+6x-27=0由兩點間的距離公式得由兩點間的距離公式得222212121212212121|()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx 設設A、B的坐標為的坐標為(x1,y1) 、(x2,y2),則則1212627,55xxxx 22| 8 3AF