四川省開江縣高中數(shù)學 第二章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列課件 新人教A版必修5

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1、2.4 等比數(shù)列等比數(shù)列 （1）請你觀察：上面數(shù)列有什么共同特點？上面數(shù)列有什么共同特點？從第從第2項起，每一項與它的前一項起，每一項與它的前一項的項的比比都等于都等于同一個常數(shù)同一個常數(shù)。1, 2, 4, 8, 16, ,263; 1111,;248 1, 1, 1, 1,;1.0198, 1.01982, 1.01983, .定義：定義：如果一個數(shù)列從第如果一個數(shù)列從第2 2項起，項起，每一項每一項與它的前一項與它的前一項 的的比比都等于都等于同一個常數(shù)同一個常數(shù)。那么這個數(shù)列就叫做那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列等比數(shù)列. .叫做等比數(shù)列的叫做等比數(shù)列的公比公比，公比通常用，公比通常用 q表示

2、表示1.nnaqa 這個常數(shù)這個常數(shù)即即(q0 ).當當 q1，a10，數(shù)列是遞增數(shù)列數(shù)列是遞增數(shù)列.或或 0q1，a11，a10，數(shù)列是遞減數(shù)列數(shù)列是遞減數(shù)列.或或 0q0 時時，qaann1說明：說明： (1) 因為等比數(shù)列每一項都可能作分母，因為等比數(shù)列每一項都可能作分母，所以每一項均不為所以每一項均不為0， 因此因此 q0 .(2) 當當q0時，時， 數(shù)列單調(diào)性不定數(shù)列單調(diào)性不定.當當 d = 0 時，數(shù)列是常數(shù)列；時，數(shù)列是常數(shù)列；當當 d 0 時，數(shù)列是遞增數(shù)列；時，數(shù)列是遞增數(shù)列；當當 d 0 時，數(shù)列是遞減數(shù)列時，數(shù)列是遞減數(shù)列.等差數(shù)列定義：等差數(shù)列定義：daann 1對 比

3、)(Rd 思考思考:(1) 等比數(shù)列中有為等比數(shù)列中有為0的項嗎？的項嗎？ (2) 公比為公比為1的數(shù)列是什么數(shù)列？的數(shù)列是什么數(shù)列？(3) 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列 存在嗎？存在嗎？(4) 常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？由此得到由此得到：分析分析1：根據(jù)等比數(shù)列的定義：從第二項起每一根據(jù)等比數(shù)列的定義：從第二項起每一項都等于它的前一項乘以公比項都等于它的前一項乘以公比 q ，所以，所以，qaa12qaa23，211)(qaqqaqaa34，3121)(qaqqa11 nnqaa問：問：若已知等比數(shù)列若已知等比數(shù)列an的首項的首項 a1 ，公比

4、，公比 q , 能確定這個數(shù)列嗎？能確定這個數(shù)列嗎？分析分析2：根據(jù)等比數(shù)列的定義：根據(jù)等比數(shù)列的定義：1 nnqaa)2(1 nqaann)(2 nqaq22 naq33 naq)(32 nqaq （當（當n=1時等式也成立）時等式也成立）11aqn 11 nnqaaqaa12）（ 1）（2）（3）（1n個等式相乘得：將上面1n分析分析2：根據(jù)等比數(shù)列的定義：根據(jù)等比數(shù)列的定義：qaa23qaa34qaann111nnqaa11 nnqaa3124123211nnnnnaaaaaq qqaaaaa 個例如：例如：1，2， 4，8， 263 . 首項首項 a1=1 ，公比，公比 q=2 ，.

5、)64(221 nann即即11 nnqaa通項公式通項公式 an=12n-1= 2n-1(n64)從函數(shù)的角度來看等比數(shù)列通項公式：從函數(shù)的角度來看等比數(shù)列通項公式：11 nnqaa.1nqqa 時，時，且，且當當10 qq，是一個指數(shù)函數(shù)是一個指數(shù)函數(shù)xqy ，的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積是一個不為是一個不為 01xqqay .1群孤立的點群孤立的點圖象上一圖象上一的圖象是函數(shù)的圖象是函數(shù)等比數(shù)列等比數(shù)列xnqqaya anOn1 2 3 4 5 6 710987654321等比數(shù)列圖象等比數(shù)列圖象是函數(shù)是函數(shù) 圖象上一群孤立的點圖象上一群孤立的點nna221 xy221 :2

6、21的圖象的圖象等比數(shù)列等比數(shù)列nna 想一想：想一想：如果在如果在a與與b中間插入一個數(shù)中間插入一個數(shù)G，使，使a, G, b成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么G應滿足什么條件？應滿足什么條件？)0(,2 ababGbGa成等比數(shù)列成等比數(shù)列成等比數(shù)列，得成等比數(shù)列，得，由由bGa，GbaG abG 2.,成等比數(shù)列成等比數(shù)列bGa結論：結論：即即.abG ，如如果果，反反過過來來)0( ababG即即abG 2)0( ab則則，GbaG 等比中項：等比中項：，的等比中項的等比中項與與叫做叫做成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么，如果如果baGbGa由此得由此得,在等比數(shù)列在等比數(shù)列a1 , a2

7、 , a3 , a4 , a5 , an , 中中,112 nnnaaa）（2 n11 nnnnaaaa）（2 n).0(2 ababG且且結論：結論：)2, 0(112 naaaaannnnn是是等等比比數(shù)數(shù)列列341218121.一一個個等等比比數(shù)數(shù)列列的的第第 項項與與第第 項項分分別別是是與與，求求它它的的第第 項項與與第第例例項項。1aq設設此此等等比比數(shù)數(shù)列列的的首首項項為為， 公公比比解解為為：，則則181243aa18123121qaqa即，解得233161qa.82331612qaa。與分別是項項與第答：這個數(shù)列它的第831621得，由11nnqaa，11mmqaa，mnmn

8、mnqqaqaaa1111.mnmnqaa（這是等比數(shù)列通項公式的推廣形式（這是等比數(shù)列通項公式的推廣形式 ）想一想：想一想：由一個等比數(shù)列由一個等比數(shù)列 an 中的任意兩項中的任意兩項 an ， am是否可以確定這個等比數(shù)列的通項公式？是否可以確定這個等比數(shù)列的通項公式？ 解法解法2：，181243aa121834aaq.23得：由mnmnqaa3131qaa2)23(12，316qaa12.823316341218121.一一個個等等比比數(shù)數(shù)列列的的第第 項項與與第第 項項分分別別是是與與，求求它它的的第第 項項與與第第例例項項。例例2. 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和為項和為 Sn

9、, )1(31 nnaS（1）求）求12,;aa（2）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列.（1）解解:1(1) ,3nnSa111(1) ,3Sa即即111(1) ,3aa11.2a 又又221(1) ,3Sa即即1221(1) ,3aaa21.4a例例2. 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項和為項和為 Sn , )1(31 nnaS（1）求）求12,;aa（2）求證：數(shù)列）求證：數(shù)列an是等比數(shù)列是等比數(shù)列.（2）證明證明:當當n2時，時，1nnnaSS 111(1)(1)33nnaa 11133nnaa 12133nnaa 11.2nnaa 數(shù)列數(shù)列an是首項為是首項為 ，公比為

10、，公比為 的等比數(shù)列的等比數(shù)列.12 12 當當n=1時，時，11.2a 解：解： 由由知：知：121 nna，1)21( n數(shù)列數(shù)列an是首項為是首項為 a1=1，公比為，公比為q= 的等比數(shù)列的等比數(shù)列.21又由又由 1nnbb122loglog nnaa12log nnaa即即21log2 1nnbb，1 )2( n所以數(shù)列所以數(shù)列bn是首項為是首項為 b1=1，公差為，公差為d=1的等差數(shù)列的等差數(shù)列. 本題揭示了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的一種代數(shù)變換本題揭示了等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的一種代數(shù)變換關系關系.不失一般性，設不失一般性，設c0，c1, 則：則：說說 明：明：naclogcna

11、若數(shù)列若數(shù)列an是等差數(shù)列，那么數(shù)列是等差數(shù)列，那么數(shù)列 是等比數(shù)列；是等比數(shù)列；反之反之,若若an是等比數(shù)列且是等比數(shù)列且an 0,則數(shù)列則數(shù)列 是等差數(shù)列是等差數(shù)列.易錯點評：審題不細心根據(jù)a7是a5與a9的等比中項求出a7 后易忽視對a7 符號的討論等比數(shù)列等比數(shù)列an 的判定方法：的判定方法：)0()1(1 qqqaaannn是常數(shù)且是常數(shù)且是等比數(shù)列是等比數(shù)列)20()2(112 naaaaannnnn，是等比數(shù)列是等比數(shù)列)0()3(的常數(shù)的常數(shù)為非為非、是等比數(shù)列是等比數(shù)列qccqaannn 等比數(shù)列常用性質(zhì)等比數(shù)列常用性質(zhì).，則若)1(qpnmaaaaqpnm.且公比為數(shù)列，組

12、成的數(shù)列仍然是等比，)3(2mmkmkkqaaa.數(shù)列比 等組成的數(shù)列仍然是，)2(232kkkkkSSSSS.仍為等比數(shù)列)常數(shù)0(與則數(shù)列，均為等比數(shù)列與若)4(mbmabmabannnnnn(前提條件：連續(xù)前提條件：連續(xù)k項的和不為項的和不為0).2727,2，求此四個數(shù)，求此四個數(shù)其和為其和為后三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其積為其積為，前三個數(shù)成等比數(shù)列前三個數(shù)成等比數(shù)列有四個數(shù)有四個數(shù)例例，設這四個數(shù)為設這四個數(shù)為解：解：aqaqa，273 aaqaqa.3633 qq ，后三個數(shù)為后三個數(shù)為，又又2793633 qqq.15931，故所求的四個數(shù)為故所求的四個數(shù)為，aaq

13、 2.3 a得得.3 q得得則則例例4.，設設這這四四個個數(shù)數(shù)為為：法法daada 2.2727,2，求此四個數(shù)，求此四個數(shù)其和為其和為后三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等差數(shù)列，其積為其積為，前三個數(shù)成等比數(shù)列前三個數(shù)成等比數(shù)列有四個數(shù)有四個數(shù)例例，ada2)( 則則，27 daada.9 a.999)9(2，前三個數(shù)為前三個數(shù)為dd ，又又279)9(9)9(2 dd，即即27)9(3 d，39 d.6 d.15931，故所求的四個數(shù)為故所求的四個數(shù)為例例4.61求這三個數(shù)求這三個數(shù)，的和為的和為且這三個數(shù)且這三個數(shù)比數(shù)列，比數(shù)列，這三個數(shù)，又可構成等這三個數(shù)，又可構成等如果適當排列如果適當排

14、列，三個實數(shù)構成等差數(shù)列三個實數(shù)構成等差數(shù)列例例則則，：由由已已知知可可設設這這三三個個數(shù)數(shù)為為解解：daada 6 daada，即即2 a.222dd ，這這三三個個數(shù)數(shù)為為：例例5.則則，為為等等比比中中項項若若 2)1(，)2)(2(22dd ，解解得得0 d.222，此此時時三三個個數(shù)數(shù)為為：則則，為為等等比比中中項項若若d 2)3(，)2(2)2(2dd ，或或解解得得06 dd.222248，或或，此此時時三三個個數(shù)數(shù)為為： 則則，為為等等比比中中項項若若d 2)2(，)2(2)2(2dd ，或或解解得得06 dd.222842，或或，此此時時三三個個數(shù)數(shù)為為： ：綜綜上上所所述述所所求求三三個個數(shù)數(shù)為為.222824，或或， .222dd ，這這三三個個數(shù)數(shù)為為：