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1、專題一 函數與導數專題八 數學思想與方法 函數思想是指用函數的觀點、方法去分析問題、轉化問題和解決問題函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象、概括與提煉，如與方程、數列、不等式、平面解析幾何等內容相關的非函數問題，都往往可利用函數思想，轉化為函數問題，通過對函數的研究，使問題得以解決 方程思想是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程或方程組去分析問題和解決問題如含參數方程的討論、方程與曲線的相互轉化等都要利用到方程思想 函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現是研究變量與函數、相等與不等過程中的基本數學思想 22222cos0_log 2
2、8424_1_ _2_xxxaaf tttf tmxmxmxx已知關于 的方程有唯一解，則 的值為已知，對于值域內的所有實數 ，不等式恒成立，一、函例1則的取值數思想及應用范圍為 22222cos.00.00201 2 832.22202212.fxxxaxfxfxfxfxyfxxfatf tm xxxxa R令，因為，所以為偶數從而的圖象關于 軸對稱，而題設方程有唯一解，從而此解必為所以因為，所以，原不等式轉化為恒成立當時，不等式不成立，所以解析：212232130.21023021.xxg mm xxmg mmgg 令，問題轉化為在，上恒大于則解得或， 1”2xmm通過構建函數，然后利用函
3、數的性質，解決有關方程或不等式問題，這就是函數思想首先明確本題是求 的取值范圍，這里注意另一個變量 ，不等式的左邊恰是 的一次函數，因此依據一次函數的特性得到解決，在多個字母變量的問題中，選準 主元往往是解題的關鍵，同時利用函數思想將恒成立問題轉化為函數問【點評】題求解1,02212lxCAByxABCllC過點的直線 與中心在原點，焦點在 軸上且離心率為的橢圓 相交于 、 兩點，直線過線段的中點，同時橢圓 上存在一點二、方程與右焦點關于直線 對稱，試求直線 與橢圓思想及例用2應的方程22222222212221.22cabeaaabcbxyb由，得，從而，解設橢圓的方程為方法 ：析：，112
4、2222222112222221212121212120000000000()()2222()2()0.2().211()221121.ABABA xyB xyxybxybyyxxxxyyxxyyxABxykyxyyxyxxkylyx ，在橢圓上，則，兩式相減得，即設線段的中點為，則又，在直線上，所以，于是，故，所以直線 的方程為222222,0()11.11221,112 1299.1688161991.blxyyxxbybyxbbbbbaxCyxyl 設右焦點關于直線 的對稱點為，則，解得由點在橢圓上，得，則，故所以所求橢圓 的方程為，直線 的方程為22222222222222122121
5、212221222.2211242204121122.12cabeaaabcbxyblyk xlCkxk xkbkxxkyyk xk xkk xxkk 由，得，從而，設橢圓的方程為，直線 的方程為將直線 的方程代入橢圓 的方程，得，方則故法2：12122221()2221201.122111200,0011.xxyyyxABkkkkkkklyF clFCkxyklyx 又直線過線段的中點，則，解得或若，則直線 的方程為，焦點關于直線 的對稱點就是 點本身，不可能在橢圓上，所以舍去，從而，故即，以下同直線 的方程方法為，12ABAB本題解法 ，將 、 兩點坐標代入圓錐曲線方程，兩式相減得關于直線
6、斜率的等式，再利用對稱點所連線段被對稱軸垂直平分來列方程組求解；解法 ，用韋【點評】達定理 2ln e()ln2e12xfxaaaxF xf xG xxxm R已知函數為常數 是實數集 上的奇函三、函數與方程思想的綜合數.求 的值；試探究函數與的交點例應3用的個數 22212lnlnln1110120.()1ln2ln2.xxxxxxxxxf xeaeaeaeaeaaeaeaa eeaaxRf xxF xG xxxexmxxfxfxxexmx 是奇函數，則恒成立，所以，所以，亦即恒成立，由知，函數與的交點個數等價于方程的根的個數令析故：，解 12111111max222121(0e0(0ee)
7、0e)1ee.eelnxfxxxfxfxxfxfxxfxfefxxmfxfx因為，當， 時，所以在 ， 上為增函數；當，時，所以在 ，上為減函數；當時，而，函數、在同一坐標系的大致圖象如圖所示，2222222221e1e11ee111e1eeee121mememmeemmeemememe綜上，當時，兩函數有 個所以當，即時，方程有一個根；當，即時，方程有兩個根；當，即時，方程無實交點；當，根兩函數有 個交點；當時，兩函數無交點本題是函數與方程、不等式的綜合題，涉及函數的奇偶性、單調性、導數、最值等知識點，問題分析求解須理解函數的性質，充分運用函數與方程思想，通過構造函數，將恒成立問題和方程問題
8、轉化為函數的單調性、最值問【點評】題研究 1211221ln ()()2 1()22011)f xxa x axf xf xxxA xf xB xf xkakaaR設函數討論的單調性；若有兩個極值點 和 ，記過點，的直線的斜率為 ，問：是否存在 ，使得？若存在，求出 的值，若不存在，請說湖選南備題明理由 22222(0)111.14.200.(0)2000(0)0.(0)1 f xaxaxfxxxxg xxaxaafxf xag xfxf x 的定義域為 ，令，其判別式當時，故在 ，上單調遞增當 時， ，的兩根都小于 ，在 ，上，故在 ，上單解析調遞增 22121122121220044.22
9、0000.(0) ()()ag xaaaaxxxxfxxxxfxxxfxf xxxxx當 時， ，的兩根為，當 時， ；當 時， ；當 時，故分別在 ， ，上單調遞增，在，上單調遞減 12121212121212121212121212121212.lnln11.11.2.212.axxf xf xxxaxxx xf xf xlnxlnxkaxxx xxxlnxlnxx xkaxxlnxlnxakaxx 由知， 因為，所以，又由知，于是若存在 ，使得，則 121222222222lnln.12ln0(1) *1122ln(0)1112ln12ln10*.1xxxxxxxxh ttttxxxkx
10、aa 即亦即 再由知，函數在 ，上單調遞增，而 ，所以這與式矛盾故不存在 ，使得 ()001(0)()f xyf xxf xf xyf x函數思想與方程思想是密切相關的，如函數問題 例如：求函數的零點 可以轉化為方程問題來解決；同時方程和不等式問題也可以轉化為函數問題加以解決，如解方程，就是求函數與 軸的交點，即零點；解不等式或，就是求函數值為正 或負所對應的區(qū)間2函數與方程的轉化常見問題：(1)函數與其圖象可視為方程與曲線的關系(2)方程中的參變量有時可視為其中某個量的函數,從而利用函數特性研究(3)解方程或不等式時可視其結構聯想到相關函數圖象或性質給予解決(4)數列的相關問題可視為函數問題或轉化為方程和不等式解決
湖南省高中數學（第2輪）總復習 專題8第25講 函數與方程思想課件 理 新人教版
