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1、第第46講線面平行與面面平行講線面平行與面面平行考試要求1.空間中線面平行、面面平行的判定定理、性質(zhì)定理及有關(guān)性質(zhì)(B級要求)；2.運(yùn)用線面平行、面面平行的判定及性質(zhì)定理證明一些空間圖形的平行關(guān)系的簡單命題(B級要求).1.(必修2P41練習(xí)2改編)若直線ab，且b平面，則直線a與平面的位置關(guān)系為_.答案a平面或a平面診診 斷斷 自自 測測2.(教材改編)下列命題中不正確的有_(填序號).若a，b是兩條直線，且ab，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；若直線a和平面滿足a，那么a與內(nèi)的任何直線平行；平行于同一條直線的兩個平面平行；若直線a，b和平面滿足ab，a，b，則b.解析中a可以在過b的平面內(nèi)；
2、中a與內(nèi)的直線可能異面；中兩平面可相交；中由直線與平面平行的判定定理知b，正確.答案3.設(shè)l，m為直線，為平面，且l，m，則“l(fā)m”是“”的_條件.解析當(dāng)平面與平面平行時，兩個平面內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)，故“l(fā)m”是“”的必要條件；當(dāng)兩個平面內(nèi)的直線沒有交點(diǎn)時，兩個平面可以相交，lm是的必要不充分條件.答案必要不充分4.(必修2P45習(xí)題9改編)已知，是三個不重合的平面，那么與的位置關(guān)系為_.答案平行5.(教材改編)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_.解析連接BD，設(shè)BDACO，連接EO，在BDD1中，O為BD的中點(diǎn)，所以EO為BDD1的中
3、位線，則BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理知知 識識 梳梳 理理文字語言圖形語言符號語言判定定理如 果 平 面 外 一 條 直 線 和_的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行(簡記為“線線平行線面平行”)la，a，l，l這個平面內(nèi)性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和_平行(簡記為“線面平行線線平行”)l，l，b，lb交線2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條_都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行面面平
4、行”)a，b，abP，a，b，相交直線性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面_，那么所得的兩條_平行，a，b，ab相交交線考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)(1)求證：AP平面BEF；(2)求證：GH平面PAD.證明(1)連接EC，四邊形ABCE是平行四邊形，O為AC的中點(diǎn).又F是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)OAP，F(xiàn)O平面BEF，AP平面BEF，AP平面BEF.(2)連接FH，OH，F(xiàn)，H分別是PC，CD的中點(diǎn)，F(xiàn)HPD，F(xiàn)H平面PAD.又O是BE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，OHAD，OH平面PAD.又FHOHH，F(xiàn)H、OH平面OHF，平面OHF平面PAD.又GH平面OHF，GH平面PAD.(1)證明：GHE
5、F；(2)若EB2，求四邊形GEFH的面積.(1)證明因為BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可證EFBC，因此GHEF.(2)解如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O，BD交EF于點(diǎn)K，連接OP，GK.因為PAPC，O是AC的中點(diǎn)，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO底面ABCD.又因為平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因為平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，從而GKEF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB8，EB2得EBABKBDB14，規(guī)律方法判斷或證
6、明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(，a，a，aa).【訓(xùn)練1】 如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CDAB.求證：四邊形EFGH是矩形.證明CD平面EFGH，CD平面BCD，而平面EFGH平面BCDEF，CDEF.同理HGCD，EFHG.同理HEGF，四邊形EFGH為平行四邊形.CDEF，HEAB，HEF為異面直線CD和AB所成的角.又CDAB，HEEF.平行四邊形EFGH為矩形.考點(diǎn)二平面與平面平行的
7、判定與性質(zhì)【例2】 (2018鎮(zhèn)江模擬)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.證明(1)G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，GH是A1B1C1的中位線，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，EFBC.EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四邊形A1EBG是平行四邊形，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG，A1E平面BCHG.A1EEFE，A1E，EF平面EFA1，
8、平面EFA1平面BCHG.規(guī)律方法證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.【訓(xùn)練2】 如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證：平面BDC1平面AB1D1.證明在正方體ABCDA1B1C1D1中，AD1BC1，AD1平面BDC1，BC1平面BDC1，所以AD1平面BDC1.同理可證B1D1平面BDC1.又因為AD1B1D1D1，AD1，B
9、1D1都在平面AB1D1內(nèi)，所以平面AB1D1平面BDC1.考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用A1E平面ADC1.證明如下：由AD平面BCC1B1，得ADBC.在正三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn).在正三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BCC1B1是矩形，且D，E分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，所以B1BDE，B1BDE.又B1BAA1，且B1BAA1，所以DEAA1，且DEAA1.所以四邊形ADEA1為平行四邊形，所以EA1AD.又EA1平面ADC1，AD平面ADC1，所以A1E平面ADC1.【例32】 (一題多解)(2018鹽城模擬)如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，問在棱AB上
10、是否存在一點(diǎn)E，使DE平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由.解法一存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn)時，DE平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，則DFB1C1，又DF平面DEF，B1C1平面DEF，B1C1平面DEF，AB的中點(diǎn)為E，連接EF，ED，則EFAB1，AB1平面DEF，B1C1，AB1平面AB1C1，B1C1AB1B1，平面DEF平面AB1C1.而DE平面DEF，DE平面AB1C1.法二假設(shè)在棱AB上存在點(diǎn)E，使得DE平面AB1C1，如圖，取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，EF，ED，則DFB1C1，又DF平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，DF平面AB1C1，又DE平面AB1C1，DEDFD，平面DEF平面AB1C1，EF平面DEF，EF平面AB1C1，又EF平面ABB1，平面ABB1平面AB1C1AB1，EFAB1，點(diǎn)F是BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn).即當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時，DE平面AB1C1.規(guī)律方法(1)“探索”在于由未知到已知，由變化到確定.找平行關(guān)系時多借助中點(diǎn)、中位線、平行四邊形等圖形或關(guān)系的平行性質(zhì).題目的本質(zhì)仍是線與面的平行關(guān)系.(2)利用線面平行的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.
數(shù)學(xué)第八章 立體幾何初步 第46講 線面平行與面面平行
