數(shù)學專業(yè)畢業(yè)論文 定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明（HU修改）

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1、定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明 梅求兵（061114216） （孝感學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院 湖北 孝感 432000） 摘要：一些高指數(shù)的不等式，如果借助算術—幾何均值不等式或者通過分解因式再進行放縮的話，一般都要分與進行討論證明，往往證明起來很麻煩，若借助數(shù)學分析中的定積分來進行證明的話，會大大簡化其證明工序，也很簡單，靈活的選取合適的初等函數(shù)進行定積分，再求和會得到意想不到的效果。 關鍵詞：高指數(shù)；不等式；算術—幾何均值；定積分；數(shù)列 1　引言 文[1]中給出了一個不等式： 　　　　　　　 ?。ǎ　? 　 　 （1） 田寅生對（1）進行了指數(shù)推廣，其

2、結(jié)果是 命題1【2】　設且，，，則有 （2） 文[2]的證明方法是借助于算術—幾何均值不等式，分與進行討論證明，讀者不難看出，不僅過程繁瑣，而且對其證明思路難以把握。文[3] 中利用微分中值定理給出了它的另一種證法。 文[4]借助定積分的方法，給出了一種很自然的證明【4】： 命題1的證明【4】 當，時，對于，有，即 ， 兩邊取積分，得 　　　　　　　　　，　　　　　?。?） 即得 　　 　 （4） 對（3）兩邊分別求和，即得 　　　　　　　　　　　 ?。?） 命題1得證。 該

3、證明方法簡單自然，幾何意義直觀。不等式（3）的幾何意義是：如圖1，以為邊的曲邊梯形的面積介于兩個矩形的面積之間，根據(jù)定積分的幾何意義，即知上面不等式中三部分分別代表了它們的面積。 （圖1） 在文[5]中，又把（1）式推廣為： 命題2【５】　已知為等差數(shù)列且，公差，則 　 （6） 其證明方法與文[1]本質(zhì)上是一樣的。本文將借鑒[4]中方法，即利用定積分的幾何直觀方法，把有關結(jié)果作進一步的推廣。 ２　主要結(jié)果 下面借鑒文[4]中定積分的的方法，把命題2推廣為 定理1 設為等差數(shù)列且，公差，，，，則

4、 （7） 為證明定理1，先證明下面的引理 引理1　設為等差數(shù)列且，公差，，，，則 （8） 證明　因為數(shù)列是等差數(shù)列，且，所以該數(shù)列是一個單調(diào)遞增的正數(shù)列，又因為，不妨令，則有 即 　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　 　 ?。?） 對（9）兩端在上取積分，有 （10） 即 （11） 由（11），即得 定理1的證明　由引理1可得

5、 （12） 對（12）式的兩邊同時求和，得 即 故有 同理，由 （13） 對式（13）的兩邊同時求和，可得到 故定理1得證。 引理1的證明中幾何意義十分明顯，參見下面的圖2。 （圖2） 如果注意到函數(shù)（）是下凸函數(shù)，利用關于下凸函數(shù)圖像的下列兩條幾何性質(zhì)： 性質(zhì)1　任意兩點間的弧段總在這兩點連線的上方； 性質(zhì)2　曲線總在它的任一切線的上方。 那么可以對引理1中的不

6、等式（8）進一步精細化，得到 定理2　設為等差數(shù)列且，公差，，，，則 （14） 證明　因為（）是下凸函數(shù)，由上述兩條性質(zhì)，得 　 即得 　　　?。?5） 對（15）兩端在上積分，得（14）成立。 定理2證明的幾何意義，可參考下面圖3。 （圖3） 推論1　當，時，有 該結(jié)果顯然比（4）式更為精細。 ３　應用例子 例1【１】 試求的整數(shù)部分． 解　由（1）式，得 于是可以判斷，故。 例2【１】 試求的值，式中 ． 解　由命題1，可得 所以。 例3 設，求不超過的最大整數(shù)． 解

7、　對本問題，如果運用命題1或命題2將無法計算，我們運用定理1便會迎刃而解，（），令數(shù)列的通項公式為，，， 由定理1，可得 即 所以。 例4 設，求的近似值（絕對誤差不超過）． 解　記數(shù)列是以為首項，公差的等差數(shù)列，那，這里，由定理1，得 即 由絕對誤差不超過0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s可以取14.454到14.512任何一個數(shù)即可，不妨取s=14.49。 4　其它應用 在文[6]中，作者給出了二次根式的一個不等式： 命題3【６】　 設,則 　　　　　　　　　　　　　　　?。?6） 當且僅當x=0或y=0時，（1

8、）的等號成立。 原證比較簡短，但我們更關心的是不等式（16）是如何得到的，換言之，這類不等式具有什么樣的幾何意義？ 考慮函數(shù)與，，則由，得 即 　　　　　?。?7） 由于不等式（16）與（17）等價，而不等式（17）具有鮮明的幾何意義，它的左右兩端分別代表兩個曲邊梯形的面積 （如圖4） （圖4） 事實上，許多重要不等式都具有類似的幾何意義，如不等式 （）　 （18） 就可以利用

9、 （19） 來認識其幾何意義。 由此可知，通過對一些簡單的不等式積分，可能獲得另一個不是十分明顯的不等式。 下面例子選自《高等數(shù)學附冊·學習輔導與習題選解》一書，我們將用利用定積分的幾何直觀方法進行新的證明，并改進其結(jié)果。 命題4【7】　設，證明 （20） 文獻[7]關于不等式（20）的證明思路是： 而，故有，因此 由此可知（20）式左側(cè)的不等式成立，至于（20）式右側(cè)的不等式，那是顯然的。 另證　因為（）是下凸函數(shù)，函數(shù)在點的切線方程為，根據(jù)下凸函數(shù)的幾何性質(zhì)，有 　　

10、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?1）　 當，時，有，將（21）中的換成，得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?2）　 再對（22）兩端在上積分，立得結(jié)論成立。 下面改進不等式（20）兩端的常數(shù)，將得到如下更加精細的結(jié)果： 推論2　設，則 證明　考慮函數(shù)在點的切線方程為，而函數(shù)的兩個端點、的連線方程為，根據(jù)下凸函數(shù)的幾何性質(zhì)，有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（23） 將（23）中的換成，得 （24） 再對（24）兩端在上積分，得 再

11、結(jié)合命題4所證，故得 。 參考文獻： [1] 徐利治，王興華. 數(shù)學分析的方法及例題選講[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984 [2] 田寅生. 一個不等式的指數(shù)推廣及應用[J]. 中學數(shù)學月刊，2003（9） [3] 劉玉璉等. 數(shù)學分析講義練習題選解(第一版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1996 [4] 胡付高. 一個不等式的簡證及其幾何直觀[J]. 中學數(shù)學,2004（2） [5] 田寅生. 一個不等式的推廣、加強及應用[J]. 數(shù)學通報, 2004（2） [6] 趙思林. 關于二次根式的一個不等式及應用[J]. 中學數(shù)學, 2007（9） [7] 同濟大學應用數(shù)學系. 高等數(shù)學附冊, 學習輔導與習題選解[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983另加若干參考文獻