數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文 定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明（HU修改）

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1、定積分中的幾何直觀方法與不等式的證明 梅求兵（061114216） （孝感學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 湖北 孝感 432000） 摘要：一些高指數(shù)的不等式，如果借助算術(shù)—幾何均值不等式或者通過(guò)分解因式再進(jìn)行放縮的話，一般都要分與進(jìn)行討論證明，往往證明起來(lái)很麻煩，若借助數(shù)學(xué)分析中的定積分來(lái)進(jìn)行證明的話，會(huì)大大簡(jiǎn)化其證明工序，也很簡(jiǎn)單，靈活的選取合適的初等函數(shù)進(jìn)行定積分，再求和會(huì)得到意想不到的效果。 關(guān)鍵詞：高指數(shù)；不等式；算術(shù)—幾何均值；定積分；數(shù)列 1　引言 文[1]中給出了一個(gè)不等式： 　　　　　　　 　（）　　 　 　 （1） 田寅生對(duì)（1）進(jìn)行了指數(shù)推廣，其

2、結(jié)果是 命題1【2】　設(shè)且，，，則有 （2） 文[2]的證明方法是借助于算術(shù)—幾何均值不等式，分與進(jìn)行討論證明，讀者不難看出，不僅過(guò)程繁瑣，而且對(duì)其證明思路難以把握。文[3] 中利用微分中值定理給出了它的另一種證法。 文[4]借助定積分的方法，給出了一種很自然的證明【4】： 命題1的證明【4】 當(dāng)，時(shí)，對(duì)于，有，即 ， 兩邊取積分，得 　　　　　　　　　，　　　　　?。?） 即得 　　 　 （4） 對(duì)（3）兩邊分別求和，即得 　　　　　　　　　　　 ?。?） 命題1得證。 該

3、證明方法簡(jiǎn)單自然，幾何意義直觀。不等式（3）的幾何意義是：如圖1，以為邊的曲邊梯形的面積介于兩個(gè)矩形的面積之間，根據(jù)定積分的幾何意義，即知上面不等式中三部分分別代表了它們的面積。 （圖1） 在文[5]中，又把（1）式推廣為： 命題2【５】　已知為等差數(shù)列且，公差，則 　 （6） 其證明方法與文[1]本質(zhì)上是一樣的。本文將借鑒[4]中方法，即利用定積分的幾何直觀方法，把有關(guān)結(jié)果作進(jìn)一步的推廣。 ２　主要結(jié)果 下面借鑒文[4]中定積分的的方法，把命題2推廣為 定理1 設(shè)為等差數(shù)列且，公差，，，，則

4、 （7） 為證明定理1，先證明下面的引理 引理1　設(shè)為等差數(shù)列且，公差，，，，則 （8） 證明　因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，所以該數(shù)列是一個(gè)單調(diào)遞增的正數(shù)列，又因?yàn)椋环亮?，則有 即 　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　 　 ?。?） 對(duì)（9）兩端在上取積分，有 （10） 即 （11） 由（11），即得 定理1的證明　由引理1可得

5、 （12） 對(duì)（12）式的兩邊同時(shí)求和，得 即 故有 同理，由 （13） 對(duì)式（13）的兩邊同時(shí)求和，可得到 故定理1得證。 引理1的證明中幾何意義十分明顯，參見(jiàn)下面的圖2。 （圖2） 如果注意到函數(shù)（）是下凸函數(shù)，利用關(guān)于下凸函數(shù)圖像的下列兩條幾何性質(zhì)： 性質(zhì)1　任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線的上方； 性質(zhì)2　曲線總在它的任一切線的上方。 那么可以對(duì)引理1中的不

6、等式（8）進(jìn)一步精細(xì)化，得到 定理2　設(shè)為等差數(shù)列且，公差，，，，則 （14） 證明　因?yàn)椋ǎ┦窍峦购瘮?shù)，由上述兩條性質(zhì)，得 　 即得 　　　?。?5） 對(duì)（15）兩端在上積分，得（14）成立。 定理2證明的幾何意義，可參考下面圖3。 （圖3） 推論1　當(dāng)，時(shí)，有 該結(jié)果顯然比（4）式更為精細(xì)。 ３　應(yīng)用例子 例1【１】 試求的整數(shù)部分． 解　由（1）式，得 于是可以判斷，故。 例2【１】 試求的值，式中 ． 解　由命題1，可得 所以。 例3 設(shè)，求不超過(guò)的最大整數(shù)． 解

7、　對(duì)本問(wèn)題，如果運(yùn)用命題1或命題2將無(wú)法計(jì)算，我們運(yùn)用定理1便會(huì)迎刃而解，（），令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，， 由定理1，可得 即 所以。 例4 設(shè)，求的近似值（絕對(duì)誤差不超過(guò)）． 解　記數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，那，這里，由定理1，得 即 由絕對(duì)誤差不超過(guò)0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s可以取14.454到14.512任何一個(gè)數(shù)即可，不妨取s=14.49。 4　其它應(yīng)用 在文[6]中，作者給出了二次根式的一個(gè)不等式： 命題3【６】　 設(shè),則 　　　　　　　　　　　　　　　?。?6） 當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0時(shí)，（1

8、）的等號(hào)成立。 原證比較簡(jiǎn)短，但我們更關(guān)心的是不等式（16）是如何得到的，換言之，這類不等式具有什么樣的幾何意義？ 考慮函數(shù)與，，則由，得 即 　　　　　?。?7） 由于不等式（16）與（17）等價(jià)，而不等式（17）具有鮮明的幾何意義，它的左右兩端分別代表兩個(gè)曲邊梯形的面積 （如圖4） （圖4） 事實(shí)上，許多重要不等式都具有類似的幾何意義，如不等式 （）　 （18） 就可以利用

9、 （19） 來(lái)認(rèn)識(shí)其幾何意義。 由此可知，通過(guò)對(duì)一些簡(jiǎn)單的不等式積分，可能獲得另一個(gè)不是十分明顯的不等式。 下面例子選自《高等數(shù)學(xué)附冊(cè)·學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》一書(shū)，我們將用利用定積分的幾何直觀方法進(jìn)行新的證明，并改進(jìn)其結(jié)果。 命題4【7】　設(shè)，證明 （20） 文獻(xiàn)[7]關(guān)于不等式（20）的證明思路是： 而，故有，因此 由此可知（20）式左側(cè)的不等式成立，至于（20）式右側(cè)的不等式，那是顯然的。 另證　因?yàn)椋ǎ┦窍峦购瘮?shù)，函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，根據(jù)下凸函數(shù)的幾何性質(zhì)，有 　　

10、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?1）　 當(dāng)，時(shí)，有，將（21）中的換成，得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（22）　 再對(duì)（22）兩端在上積分，立得結(jié)論成立。 下面改進(jìn)不等式（20）兩端的常數(shù)，將得到如下更加精細(xì)的結(jié)果： 推論2　設(shè)，則 證明　考慮函數(shù)在點(diǎn)的切線方程為，而函數(shù)的兩個(gè)端點(diǎn)、的連線方程為，根據(jù)下凸函數(shù)的幾何性質(zhì)，有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　?。?3） 將（23）中的換成，得 （24） 再對(duì)（24）兩端在上積分，得 再

11、結(jié)合命題4所證，故得 。 參考文獻(xiàn)： [1] 徐利治，王興華. 數(shù)學(xué)分析的方法及例題選講[M]. 北京: 高等教育出版社, 1984 [2] 田寅生. 一個(gè)不等式的指數(shù)推廣及應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2003（9） [3] 劉玉璉等. 數(shù)學(xué)分析講義練習(xí)題選解(第一版) [M]. 北京: 高等教育出版社, 1996 [4] 胡付高. 一個(gè)不等式的簡(jiǎn)證及其幾何直觀[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué),2004（2） [5] 田寅生. 一個(gè)不等式的推廣、加強(qiáng)及應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào), 2004（2） [6] 趙思林. 關(guān)于二次根式的一個(gè)不等式及應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué), 2007（9） [7] 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)附冊(cè), 學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983另加若干參考文獻(xiàn)