第六章第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用

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1、第六章 第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用 第六章 數(shù)列 第一部分 五年高考體題薈萃 第二節(jié) 數(shù)列的應(yīng)用 2009年高考題 一、選擇題 1.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， A. B. C. D. 【解析】由得，，則， ，選C. 答案 C 2.（2009遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列{ }的前n 項(xiàng)和為 ，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.3 【解析】設(shè)公比為q ,

2、則＝1＋q3＝3 T q3＝2 于是 【答案】B 3.（2009寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】4，2，成等差數(shù)列，,選C. 【答案】 C 4.（2009湖北卷文）設(shè)記不超過的最大整數(shù)為[],令{}=-[]，則{}，[], A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

3、 【答案】B 【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構(gòu)成等比數(shù)列. 5.（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： 他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，則由

4、可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C. 6..（2009安徽卷理）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B 【解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，選B 7.（2009江西卷理）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為 A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】由于以3 為周期,故 故選A 8.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項(xiàng)＝1，是和

5、的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設(shè)公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝10 二、填空題 9.（2009浙江文）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則 ． 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系． 答案 15 解析 對(duì)于 10.（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的

6、前項(xiàng)積為，則， ， ，成等比數(shù)列． 【命題意圖】此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力 答案： 解析 對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列． 11.（2009北京理）已知數(shù)列滿足：則________；=_________. 答案 1，0 解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí).屬于創(chuàng)新題型. 依題意，得，. ∴應(yīng)填1，0. 12..（2009江蘇卷）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 答案

7、 -9 解析 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -9 13.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,,則. 解析 設(shè)等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 答案:13. 【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算. 14.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________。 答案 4 5 32 解析 （1）若為偶數(shù)，則為偶, 故 ①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)， 故 ②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 故得m=4。 （2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為

8、偶數(shù) ，所以=1可得m=5 15.（2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列{}前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_______ 解析由+-=0得到。 答案10 16.（2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 解析:由可得的公差d=2,首項(xiàng)=2,故易得2n. 答案:2n 17.(2009陜西卷理)設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則 . 答案：1 18.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列{}的公比, 已知=1，，則{}的前4項(xiàng)和= 解析 由得：，

9、即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。 答案 19.(2009湖南卷理)將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個(gè)全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個(gè)三角形的頂點(diǎn)各放置一個(gè)數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)不少于3時(shí)）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點(diǎn)A ,B ,C處的三個(gè)數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點(diǎn)上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當(dāng)n=3時(shí)，如圖所示分別設(shè)各頂點(diǎn)的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 即 進(jìn)一步可求得。由上知中

10、有三個(gè)數(shù)，中 有6個(gè)數(shù)，中共有10個(gè)數(shù)相加 ，中有15個(gè)數(shù)相加….，若中有個(gè)數(shù)相加，可得中有個(gè)數(shù)相加，且由 可得所以 = 20.（2009重慶卷理）設(shè)，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式= ． 解析 由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則 答案 2n+1 三、解答題 21.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分） 已知點(diǎn)（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的首項(xiàng)為，且前項(xiàng)和滿足－=+（）. （1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列{前項(xiàng)和為，問>的最小正整數(shù)是多少? 解（1）

11、, ,, . 又?jǐn)?shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ； 又公比，所以 ； 又,, ； 數(shù)列構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ； ()； （2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112. 22.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）在數(shù)列中， （I）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 （II）求數(shù)列的前項(xiàng)和 分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式: () （II）由（I）知, = 而,又是一個(gè)典型的錯(cuò)位相減法模型， 易得 = 評(píng)析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國(guó)(一)試題將數(shù)列題前置,考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列

12、結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法基本技能,重視兩綱的導(dǎo)向作用。也可看出命題人在有意識(shí)降低難度和求變的良苦用心。 23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的 ，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于. （Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由； （Ⅱ）證明：，且； （Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列. 【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分 分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題. （Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有

13、性質(zhì)P. （Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個(gè)屬于A， 由于，∴，故. 從而，∴. ∵， ∴，故. 由A具有性質(zhì)P可知. 又∵， ∴， 從而， ∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，有，即， ∵，∴，∴， 由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，∴， ∴，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列. 24.（2009江蘇卷）設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。

14、（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得? (2) （方法一）=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù) （方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)， 故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 25（2009江蘇卷）對(duì)于正整數(shù)≥2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。 （1）求和； （2）求證：對(duì)任意正整數(shù)≥2，有. 【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。 26

15、.（2009山東卷理)等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為， 已知對(duì)任意的 ，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時(shí)，記 證明：對(duì)任意的 ，不等式成立 解:因?yàn)閷?duì)任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,又因?yàn)閧}為等比數(shù)列,所以,公比為, （2）當(dāng)b=2時(shí)，, 則,所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. ① 當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,因?yàn)?所以不等式成立. ② 假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即成立.則當(dāng)時(shí),左邊= 所以當(dāng)時(shí),不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

16、【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知求的基本題型,并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式. 27.（2009廣東卷理）知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）證明：. 解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去） ，即，∴ （2）證明：∵ ∴ 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又， 則有，即. 28（2009安徽卷理）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對(duì)一

17、切都是奇數(shù)； （II）若對(duì)一切都有，求的取值范圍. 解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13分。 解：（I）已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)， 則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何，都是奇數(shù)。 （II）（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或。 另一方面，若則；若，則 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法， 綜合所述，對(duì)一切都有的充要條件是或。 （方法二）由得于是或。 因?yàn)樗运械木笥?，因此與同號(hào)。 根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號(hào)。

18、 因此，對(duì)一切都有的充要條件是或。 29.（2009江西卷理）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有 （1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng) （2）證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有 解：（1）由得 將代入化簡(jiǎn)得 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而 即 可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件. (2) 由題設(shè)的值僅與有關(guān),記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對(duì)， 恒成立. 又 , 注意到,解上式得 取,即有

19、 . 30. (2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和（n為正整數(shù)）。 （Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。 解（I）在中，令n=1，可得，即 當(dāng)時(shí)，， . . 又?jǐn)?shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列. 于是. (II)由（I）得，所以 由①-②得 于是確定的大小關(guān)系等價(jià)于比較的大小 由 可猜想當(dāng)證明如下： 證法1：（1）當(dāng)n=3時(shí)，由上驗(yàn)算顯示成

20、立。 （2）假設(shè)時(shí) 所以當(dāng)時(shí)猜想也成立 綜合（1）（2）可知 ，對(duì)一切的正整數(shù)，都有 證法2：當(dāng)時(shí) 綜上所述，當(dāng)，當(dāng)時(shí) 31.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有； 解（I）當(dāng)時(shí)， 又

21、 ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴， …………………………………3分 （II）不存在正整數(shù)，使得成立。 證明：由（I）知 ∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ ∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 ∴不存在正整數(shù)，使得成立。 …………………………………8分 （III）由得

22、 又， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 32.（2009湖南卷文）對(duì)于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對(duì)任意的，恒有 , 則稱數(shù)列為數(shù)列. （Ⅰ）首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由; （Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和.給出下列兩組判斷： A組：①數(shù)列是B-數(shù)列, ②數(shù)列不是B-數(shù)列; B組：③數(shù)列是B-數(shù)列, ④數(shù)列不是B-數(shù)列. 請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)

23、命題. 判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。 解: （Ⅰ）設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為,則.于是 == 所以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 . （Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題. 事實(shí)上設(shè)=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， . 由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。 命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。 事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對(duì)任意的，有 , 即.于是

24、 , 所以數(shù)列是B-數(shù)列。 （注：按題中要求組成其它命題解答時(shí)，仿上述解法） (Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對(duì)任意的有 . 因?yàn)? . 記，則有 . 因此. 故數(shù)列是B-數(shù)列. 33. (2009陜西卷理) 已知數(shù)列滿足， . 猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； （Ⅱ)證明：。 證明（1）由 由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： （1）當(dāng)n=1時(shí)，已證命題成立 （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即 易知，那么 = 即 也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立 （2）當(dāng)n

25、=1時(shí)，，結(jié)論成立 當(dāng)時(shí)，易知 34.（2009四川卷文）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個(gè)正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （III）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有； 解（I）當(dāng)時(shí)， 又 ∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， ∴， …………………………………3分 （II）不存在正整數(shù)，使得

26、成立。 證明：由（I）知 ∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) ∴ ∴對(duì)于一切的正整數(shù)n，都有 ∴不存在正整數(shù)，使得成立。 …………………………………8分 （III）由得 又， 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， …………………………………14分 35.（2009天津卷理）已知等差數(shù)列{}

27、的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設(shè)=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值； (II) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n； (Ⅲ) 若正數(shù)n滿足2nq，設(shè)的兩個(gè)不同的排列， ， 證明。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。 （Ⅰ）解：由題設(shè)，可得 所以， （Ⅱ）證明：由題設(shè)可得則 ①

28、 ② ① 式減去②式，得 ① 式加上②式，得 ③ ② 式兩邊同乘q，得 所以， (Ⅲ)證明： 因?yàn)樗? （1） 若，取i=n （2） 若，取i滿足且 由（1）,(2)及題設(shè)知，且 ① 當(dāng)時(shí)，得 即，…， 又所以 因此 ② 當(dāng)同理可得，因此 綜上， 36.（2

29、009四川卷理）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有； （III）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為。已知正實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。 本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。 解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是 ……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 = 又 當(dāng) 當(dāng) （Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成

30、立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè) 則 > 對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立 只對(duì)滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。 另一方面，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有 事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè) 則 < 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè) 則 < 對(duì)一切的正整數(shù)n，都有 綜上所述，正實(shí)數(shù)的最小值為4………………………….14分 37.（2009年上海卷理）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。 （1） 若，是否存在，有說明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,,并說明理由；

31、 （3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。 [解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分 整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分 （2）若，即， （*） （?。┤魟t。 當(dāng){}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 ．．．．．．7分 （ⅱ）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得，（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，，矛盾。

32、綜上所述，只有當(dāng){}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．．．．10分 【解法二】設(shè) 則 （i） 若d=0，則 （ii） 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾 綜上所述，有， 10分 （3） 設(shè). ， . 13分 取 15分 由二項(xiàng)展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sN時(shí)，命題成立. 說明：第（3）題若學(xué)生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分） 若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+……+am+p為偶數(shù)，但3k為

33、奇數(shù) 故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。 當(dāng)p=1時(shí)，則am+1=bk,即4m+5=3k， 而3k=(4-1)k = 當(dāng)ｋ為偶數(shù)時(shí)，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 當(dāng)p=3時(shí)，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已證可知，當(dāng)k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時(shí)，存在m, 4m+9=3k成立 2分 當(dāng)p=5時(shí)，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍

34、數(shù)，所以，當(dāng)p=5時(shí)，所要求的m不存在 故不是所有奇數(shù)都成立. 2分 38.(2009重慶卷理）設(shè)個(gè)不全相等的正數(shù)依次圍成一個(gè)圓圈． （Ⅰ）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，求通項(xiàng)； （Ⅱ）若每個(gè)數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項(xiàng)，求證：； 解：（I）因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 從而當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，由是公比為d的等比數(shù)列得 因此 （II）由題意得 有①得

35、 ④ 由①，②，③得， 故. ⑤ 又，故有 .⑥ 下面反證法證明： 若不然，設(shè) 若取即，則由⑥得，而由③得 得由②得而 ④及⑥可推得（）與題設(shè)矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設(shè)矛盾,因此為6的倍數(shù) 由均值不等式得 由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等（否則，從而與題設(shè)矛盾），故等號(hào)不成立，從而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 2005——2008年高考題 一、選擇題 1.（2008江西卷）在數(shù)列中，， ，則（ ） A． B． C． D． 答案 A 2.（200

36、7福建）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則等于（　　） A．1 B． C． D． 答案 B 3.（2007寧夏）已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點(diǎn)是，則等于（　?。? Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 答案 B 4．（2006江西卷）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），則S200＝（ ） A．100 B. 101 C.200 D.201 解析 依題意，a1＋a200＝1，故選A 答案

37、A 5. (2005重慶卷) 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)。已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且改塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是( ) A. 4 B.5. C.6 D.7 答案 C 二、填空題 6.（2008江蘇）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為

38、 ． 答案 7.（2008湖北）觀察下列等式： …………………………………… 可以推測(cè)，當(dāng)≥2（）時(shí)， . 答案 0 8.（2007重慶）設(shè){}為公比q>1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則_____. 答案 18 9．（2006廣東卷）在德國(guó)不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)

39、乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 答案 10， 三、解答題 10.（2008全國(guó)I）設(shè)函數(shù)．?dāng)?shù)列滿足，． （Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)； （Ⅱ）證明：； （Ⅲ）設(shè)，整數(shù)．證明：． （Ⅰ）證明：， 故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)； （Ⅱ）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時(shí)，，， 由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立； （ⅱ）假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，即 那么當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間是增函數(shù)，得 .而，則， ，也就是說當(dāng)時(shí)，也成立； 根據(jù)（?。ⅲáⅲ┛傻脤?duì)任意的正整數(shù)，恒成立. （Ⅲ）證明：由．可 1， 若存在某

40、滿足，則由⑵知： 2， 若對(duì)任意都有，則 ，即成立. 11.（2008山東卷)將數(shù)列｛an｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝,b1=a1=1. Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，且滿足＝1=（n≥2）. (Ⅰ)證明數(shù)列｛｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù).當(dāng)時(shí)，求上表中第k(k≥3)行所有項(xiàng)和的和. 1

41、2.(2007湖南)已知（）是曲線上的點(diǎn)，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，，…． （I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列； （II）確定的取值集合，使時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列； （III）證明：當(dāng)時(shí)，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增 解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得． 因?yàn)?，所以? …… ① 于是． ……② 由②－①得． …… ③ 于是． …… ④ 由④－③得，

42、 …… ⑤ 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列． （II）由①有，所以．由③有，，所以，． 而 ⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列， 所以，，， 數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立． 且 ． 即所求的取值集合是． （III）解法一：弦的斜率為 任取，設(shè)函數(shù)，則 記，則， 當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)， 所以時(shí)，，從而，所以在和上都是增函數(shù)． 由（II）知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增， 取，因?yàn)?，所以? 取，因?yàn)?，所以? 所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增． 解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)， 所以，． 故，即弦

43、的斜率隨單調(diào)遞增． 13.（2007浙江）已知數(shù)列{}中的相鄰兩項(xiàng)、是關(guān)于x的方程 的兩個(gè)根，且≤　(k ＝1，2，3，…)． (I)求及 (n≥4)(不必證明)；(Ⅱ)求數(shù)列{}的前2n項(xiàng)和S2n． (I)解：方程的兩個(gè)根為． 當(dāng)k＝1時(shí)，，所以； 當(dāng)k＝2時(shí)，，所以； 當(dāng)k＝3時(shí)，，所以； 當(dāng)k＝4時(shí)，，所以； 因?yàn)閚≥4時(shí)，，所以 （Ⅱ）＝． 14.（2007四川）已知函數(shù)f（x）=x2－4，設(shè)曲線y＝f（x）在點(diǎn)（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點(diǎn)為（xn+1,u）（u,N +），其中為正實(shí)數(shù). （Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，記an=lg，證

44、明數(shù)列｛a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項(xiàng)公式； （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，證明Tn<3. 解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等知識(shí)，以及推理論證、計(jì)算及解決問題的能力． （Ⅰ）由題可得． 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是：． 即． 令，得． 即． 顯然，∴． （Ⅱ）由，知，同理． 　　　故． 從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列． 故． 即． 從而 所以 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ∴ ∴ 當(dāng)時(shí)，顯然． 當(dāng)時(shí)， ∴ ． 　　　綜上，． 15.（2005湖南）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利

45、用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c. （Ⅰ）求xn+1與xn的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1，a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） 　 （Ⅲ）設(shè)a＝2，b＝1，為保證對(duì)任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的 最大允許值是多少？證明你的結(jié)論. 解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為a

46、xn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得 因?yàn)閤1>0，所以a>b. 猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)a>b，且時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變. （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 0

47、 下證 當(dāng)x1∈(0, 2) ，b=1時(shí)，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立. ②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即xk∈(0, 2), 則當(dāng)n=k+1時(shí)，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因?yàn)閤k+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立. 由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 綜上所述，為保證對(duì)任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1. 第二部分 三年聯(lián)考題匯編 2009年聯(lián)考題 一、選擇題 1

48、.(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試?yán)?已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)R，等式成立．若數(shù)列滿足，且(N*)，則的值為( ) A． 4016 B．4017 C．4018 D．4019 答案 B 2.（2009廈門樂安中學(xué)）在等差數(shù)列等于（ ） A．55 B．40 C．35 D．70 答案 B 3. (湖北省2009年3月高三八校第二次聯(lián)考理科) 等差數(shù)列中，是其前項(xiàng)和，，，則的值為（ ） 答案 C 4

49、.（2009寧鄉(xiāng)一中第三次月考）等差數(shù)列中，，，且，為其前項(xiàng)之和，則（ ） A．都小于零，都大于零 B．都小于零，都大于零 C．都小于零，都大于零 D．都小于零，都大于零 答案 C 5.（遼寧省沈陽二中2008—2009學(xué)年上學(xué)期高三期中考試） 數(shù)列若對(duì)任意恒成立，則正整數(shù)m的最小值 （ ） A．10 B．9 C．8 D．7 答案：A. 6.（撫順一中2009屆高三第一次模擬） 數(shù)列{an}滿足a1+ 3·a2+ 32·a3+…+ 3n-1·an=，則an= A B C

50、D 答案：C. 7.（撫州一中2009屆高三第四次同步考試） 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，記Sn=a1+a2+a3+…+an，則下列結(jié)論正確的是 A．a(chǎn)2008= – a，S2008=2b – a B．a(chǎn)2008= – b，S2008=2b – a C．a(chǎn)2008= – b，S2008=b – a D．a(chǎn)2008= – a，S2008=b – a 答案：A. 二、填空題 8.(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試文)對(duì)于集合N={1, 2, 3,…, n}的每一個(gè)非空集，定義一個(gè)“交替和”如下：按照遞減的

51、次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和為5．當(dāng)集合N中的n =2時(shí)，集合N={1, 2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1, 2}，則它的“交替和”的總和=1+2+(2–1)=4，則當(dāng)時(shí)，= ______________ ；根據(jù)、、，猜想集合N ={1, 2, 3,…, n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和=__________. 答案 12 , 9.（2009廣州一模）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意n∈N* 都有，且1

52、__，k的的值為________. 答案 －1,4 10.(湖北省孝感市2009屆高三3月統(tǒng)考理) 如圖，以、為頂點(diǎn)作正， 再以和的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正，再 以和的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作正，…， 如此繼續(xù)下去。有如下結(jié)論： ①所作的正三角形的邊長(zhǎng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列； ②每一個(gè)正三角形都有一個(gè)頂點(diǎn)在直線（）上； ③第六個(gè)正三角形的不在第五個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是； ④第個(gè)正三角形的不在第個(gè)正三角形邊上的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，則. 其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上） 答案 ①②③④ 11.（2009江西師大附中）設(shè)等比數(shù)列{an}的

53、前n項(xiàng)和，等差數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，則a＋b＝　　． 答案 -1 12.（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考） 已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等比數(shù)列，則|m-n|= 。 答案：. 三、解答題 13.（2009龍巖一中第6次月考）某企業(yè)2008年的純利潤(rùn)為500萬元，因設(shè)備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)從今年起每年比上一年純利潤(rùn)減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)測(cè)在未扣除技術(shù)改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤(rùn)為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）. （Ⅰ）

54、設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬元（須扣除技術(shù)改造資金），求An、Bn的表達(dá)式； （Ⅱ）依上述預(yù)測(cè)，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？ 解: (Ⅰ)依題意知，數(shù)列是一個(gè)以500為首項(xiàng)，－20為公差的等差數(shù)列，所以， ＝ ＝＝ 　(Ⅱ)依題意得，，即， 可化簡(jiǎn)得， 可設(shè)， 又，可設(shè)是減函數(shù)，是增函數(shù)，又 則時(shí)不等式成立，即4年 14.（2009韶關(guān)一模）已知函數(shù) （I）求 （II）已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (Ⅲ) 求證:. 解:()因?yàn)?

55、 所以設(shè)S=（1） S=……….(2) (1)+(2)得: =, 所以S=3012 ()由兩邊同減去1,得 所以, 所以,是以2為公差以為首項(xiàng)的等差數(shù)列, 所以 因?yàn)? 所以 所以 > 15.（2009聊城一模）過點(diǎn)P（1，0）作曲線的切線，切點(diǎn)為M1，設(shè)M1在x軸上的投影是點(diǎn)P1。又過點(diǎn)P1作曲線C的切線，切點(diǎn)為M2，設(shè)M2在x軸上的投影是點(diǎn)P2，…。依此下去，得到一系列點(diǎn)M1，M2…，Mn，…，設(shè)它們的橫坐標(biāo)a1，a2，…，an，…，構(gòu)成數(shù)列為。 （1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式； （2）求證：； （3）當(dāng)?shù)那皀項(xiàng)和Sn。

56、 解：（1）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得的切線方程是 當(dāng)n=1時(shí)，切線過點(diǎn)P（1，0），即0 當(dāng)n>1時(shí)，切線過點(diǎn)，即0 所以數(shù)列 所以數(shù)列 （2）應(yīng)用二項(xiàng)公式定理，得 （3）當(dāng) ， 同乘以 兩式相減，得 所以 16.（2009閔行三中模擬）已知點(diǎn)列B1(1,y1)、B

57、2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）順次為一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N，點(diǎn)An、Bn、An+1構(gòu)成一個(gè)頂角的頂點(diǎn)為Bn的等腰三角形。 ⑴求數(shù)列{yn}的通項(xiàng)公式，并證明{yn}是等差數(shù)列； ⑵證明xn+2-xn為常數(shù)，并求出數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式； ⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 解：（1）(n?N),∵yn+1-yn=,∴{yn}為等差數(shù)列 ………………4分 （2）因?yàn)榕c

58、為等腰三角形. 所以，兩式相減得 。………………7分 注：判斷得2分，證明得1分 ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差為2的等差數(shù)列，………………6分 ∴ ………………10分 （3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2=2()Txn+1-xn=2() 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a). T2(1-a)=2() Ta=(n為奇數(shù)，0＜a＜1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(

59、*)無解； ………………14分 當(dāng)偶數(shù)時(shí)，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a. ∴2a=2()Ta=(n為偶數(shù)，0＜a＜1) (*￠)， 取n=2，得a=,若n≥4，則(*￠)無解. 綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為、、. ………………18分 9月份更新 一、選擇題 1.（2009臨沂一模）在等差數(shù)列｛an｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，則的值為 A、4 B、6 C、8 D、10 答案C

60、2.（2009青島一模）已知等差數(shù)列的公差為，且，若，則為 A． B. C． D. 答案B 3.（2009日照一模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若=，則等于 A1 B．-1 C．2 D． 答案A 二、填空題 1.（2009冠龍高級(jí)中學(xué)3月月考）若數(shù)列中，，則數(shù)列中的項(xiàng)的最小值為_________。 答案 4 2.（2009閔行三中模擬）已知是等比數(shù)列，，則= 。 答案 （） 3. （2009上海九校聯(lián)考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，

61、則 . 答案 128 三、解答題 1.（2009上海盧灣區(qū)4月模考）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，都滿足：，其中為實(shí)數(shù). （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若為楊輝三角第行中所有數(shù)的和，即，為楊輝三角前行中所有數(shù)的和，亦即為數(shù)列的前項(xiàng)和，求的值. 解：（1） 由已知，，相減得，由得，又，得，故數(shù)列是一個(gè)以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列. （4分） 從而 ； （6分） （2）， （7分） 又，故，

62、 （11分） 于是， 當(dāng)，即時(shí)，， 當(dāng)，即時(shí)，， 當(dāng)，即時(shí)，不存在. （14分） 2.（2009臨沂一模）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛an｝滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng)。 （I） 求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式; （II） 若bn=,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n?>50成立的正整數(shù) n的最小值。 解：(I)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q， 依題意，有2(a3+2)=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28, 得a3=8, ∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴解之得

63、或┉┉┉┉┉┉┉┉4分 又{an}單調(diào)遞增，∴q=2,a1=2, ∴an=2n ┉┉┉┉┉┉┉┉6分 (II), ┉┉┉┉┉┉┉┉7分 ∴ ① ∴ ② ∴①-②得＝┉10分 ∴即 又當(dāng)n≤4時(shí),, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分 當(dāng)n≥5時(shí),. 故使成立的正整數(shù)n的最小值為5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分 3.（2009青島一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列 的前項(xiàng)和，試比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論． 解：（Ⅰ）由得:時(shí)， ………………………2分

64、 是等比數(shù)列，，得 ……4分 （Ⅱ）由和得……………………6分 ……10分 ………………………11分 當(dāng)或時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有 那么同理可得：當(dāng)時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有………………………13分 綜上：當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有………………………14分 4.（2009日照一模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意的，滿足關(guān)系式 （I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是，前項(xiàng)和為，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)，總有 解：（I）由已知得 故 即 故數(shù)列為等比數(shù)列，且

65、 又當(dāng)時(shí)， ………………………………6分 而亦適合上式 …………………………………8分 （Ⅱ） 所以 ………………………………12分 5.（2009泰安一模）已知數(shù)列｛a｝中，，點(diǎn)在直線y=x上，其中n=1,2,3…. (I) 令，求證數(shù)列｛

66、b｝是等比數(shù)列； (II) 球數(shù)列的通項(xiàng) 解：（I） 又 6.（2009上海奉賢區(qū)模擬考）已知點(diǎn)集，其中，，點(diǎn)列在L中，為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列的公差為1，。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若＝，令；試用解析式寫出關(guān)于的函數(shù)。 （3）若＝，給定常數(shù)m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 （1）y＝· ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1 -----(1分) 與軸的交點(diǎn)為，所以； -----(1分) 所以，即， -----(1分) 因?yàn)樵谏希?，? -----(1分) （2）設(shè) （）， 即 （） ----(1分) （A）當(dāng)時(shí)， ----(1分) ==，而，所以 ----(1分) （B）當(dāng)時(shí)， ----(1分) = =，