第六章第二節(jié) 數(shù)列的應用

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1、第六章 第二節(jié) 數(shù)列的應用 第六章 數(shù)列 第一部分 五年高考體題薈萃 第二節(jié) 數(shù)列的應用 2009年高考題 一、選擇題 1.（2009廣東卷理）已知等比數(shù)列滿足，且，則當時， A. B. C. D. 【解析】由得，，則， ，選C. 答案 C 2.（2009遼寧卷理）設等比數(shù)列{ }的前n 項和為 ，若 =3 ，則 = A. 2 B. C. D.3 【解析】設公比為q ,

2、則＝1＋q3＝3 T q3＝2 于是 【答案】B 3.（2009寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前n項和為，且4，2，成等差數(shù)列。若=1，則=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】4，2，成等差數(shù)列，,選C. 【答案】 C 4.（2009湖北卷文）設記不超過的最大整數(shù)為[],令{}=-[]，則{}，[], A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列 C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

3、 【答案】B 【解析】可分別求得，.則等比數(shù)列性質(zhì)易得三者構成等比數(shù)列. 5.（2009湖北卷文）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來研究數(shù)，例如： 他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由圖形可得三角形數(shù)構成的數(shù)列通項，同理可得正方形數(shù)構成的數(shù)列通項，則由

4、可排除A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C. 6..（2009安徽卷理）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項和，則使得達到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B 【解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，選B 7.（2009江西卷理）數(shù)列的通項，其前項和為，則為 A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】由于以3 為周期,故 故選A 8.（2009四川卷文）等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和

5、的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝10 二、填空題 9.（2009浙江文）設等比數(shù)列的公比，前項和為，則 ． 【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項和求和公式，通過對數(shù)列知識點的考查充分體現(xiàn)了通項公式和前項和的知識聯(lián)系． 答案 15 解析 對于 10.（2009浙江文）設等差數(shù)列的前項和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設等比數(shù)列的

6、前項積為，則， ， ，成等比數(shù)列． 【命題意圖】此題是一個數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，也考查了通過已知條件進行類比推理的方法和能力 答案： 解析 對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項積為，則，，成等比數(shù)列． 11.（2009北京理）已知數(shù)列滿足：則________；=_________. 答案 1，0 解析 本題主要考查周期數(shù)列等基礎知識.屬于創(chuàng)新題型. 依題意，得，. ∴應填1，0. 12..（2009江蘇卷）設是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項在集合中，則= . 答案

7、 -9 解析 考查等價轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項。 有連續(xù)四項在集合，四項成等比數(shù)列，公比為，= -9 13.(2009山東卷文)在等差數(shù)列中,,則. 解析 設等差數(shù)列的公差為,則由已知得解得,所以. 答案:13. 【命題立意】:本題考查等差數(shù)列的通項公式以及基本計算. 14.(2009湖北卷理)已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m所有可能的取值為__________。 答案 4 5 32 解析 （1）若為偶數(shù)，則為偶, 故 ①當仍為偶數(shù)時， 故 ②當為奇數(shù)時， 故得m=4。 （2）若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為

8、偶數(shù) ，所以=1可得m=5 15.（2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列{}前n項和為。已知+-=0，=38,則m=_______ 解析由+-=0得到。 答案10 16.（2009陜西卷文）設等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 解析:由可得的公差d=2,首項=2,故易得2n. 答案:2n 17.(2009陜西卷理)設等差數(shù)列的前n項和為,若,則 . 答案：1 18.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列{}的公比, 已知=1，，則{}的前4項和= 解析 由得：，

9、即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。 答案 19.(2009湖南卷理)將正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數(shù)，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數(shù)（當數(shù)的個數(shù)不少于3時）都分別一次成等差數(shù)列，若頂點A ,B ,C處的三個數(shù)互不相同且和為1,記所有頂點上的數(shù)之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數(shù)用小寫字母表示，即由條件知 即 進一步可求得。由上知中

10、有三個數(shù)，中 有6個數(shù)，中共有10個數(shù)相加 ，中有15個數(shù)相加….，若中有個數(shù)相加，可得中有個數(shù)相加，且由 可得所以 = 20.（2009重慶卷理）設，，，，則數(shù)列的通項公式= ． 解析 由條件得且所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則 答案 2n+1 三、解答題 21.(2009年廣東卷文)（本小題滿分14分） 已知點（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為，且前項和滿足－=+（）. （1）求數(shù)列和的通項公式； （2）若數(shù)列{前項和為，問>的最小正整數(shù)是多少? 解（1）

11、, ,, . 又數(shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ； 又公比，所以 ； 又,, ； 數(shù)列構成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當， ； ()； （2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112. 22.（2009全國卷Ⅰ理）在數(shù)列中， （I）設，求數(shù)列的通項公式 （II）求數(shù)列的前項和 分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項公式: () （II）由（I）知, = 而,又是一個典型的錯位相減法模型， 易得 = 評析：09年高考理科數(shù)學全國(一)試題將數(shù)列題前置,考查構造新數(shù)列和利用錯位相減法求前n項和，一改往年的將數(shù)列

12、結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式。具有讓考生和一線教師重視教材和基礎知識、基本方法基本技能,重視兩綱的導向作用。也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦用心。 23.（2009北京理）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的 ，與兩數(shù)中至少有一個屬于. （Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由； （Ⅱ）證明：，且； （Ⅲ）證明：當時，成等比數(shù)列. 【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力、推理論證能力、分 分類討論等數(shù)學思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題. （Ⅰ）由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P. 由于都屬于數(shù)集， ∴該數(shù)集具有

13、性質(zhì)P. （Ⅱ）∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個屬于A， 由于，∴，故. 從而，∴. ∵， ∴，故. 由A具有性質(zhì)P可知. 又∵， ∴， 從而， ∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時，有，即， ∵，∴，∴， 由A具有性質(zhì)P可知. ，得，且，∴， ∴，即是首項為1，公比為成等比數(shù)列. 24.（2009江蘇卷）設是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項和，滿足。 （1）求數(shù)列的通項公式及前項和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項、求和的有關知識，考查運算和求解的能力。滿分14分。

14、（1）設公差為，則，由性質(zhì)得，因為，所以，即，又由得，解得，, (2) （方法一）=,設， 則=, 所以為8的約數(shù) （方法二）因為為數(shù)列中的項， 故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以 經(jīng)檢驗，符合題意的正整數(shù)只有。 25（2009江蘇卷）對于正整數(shù)≥2，用表示關于的一元二次方程有實數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對于隨機選取的（和可以相等），記為關于的一元二次方程有實數(shù)根的概率。 （1）求和； （2）求證：對任意正整數(shù)≥2，有. 【解析】 [必做題]本小題主要考查概率的基本知識和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。 26

15、.（2009山東卷理)等比數(shù)列{}的前n項和為， 已知對任意的 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （11）當b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立 解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為, （2）當b=2時，, 則,所以 下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立. ① 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. ② 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊= 所以當時,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

16、【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題,以及放縮法證明不等式. 27.（2009廣東卷理）知曲線．從點向曲線引斜率為的切線，切點為． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）證明：. 解：（1）設直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去） ，即，∴ （2）證明：∵ ∴ 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又， 則有，即. 28（2009安徽卷理）首項為正數(shù)的數(shù)列滿足 （I）證明：若為奇數(shù)，則對一

17、切都是奇數(shù)； （II）若對一切都有，求的取值范圍. 解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學歸納法和不等式的有關知識，考查推理論證、抽象概括、運算求解和探究能力，考查學生是否具有審慎思維的習慣和一定的數(shù)學視野。本小題滿分13分。 解：（I）已知是奇數(shù)，假設是奇數(shù)，其中為正整數(shù)， 則由遞推關系得是奇數(shù)。 根據(jù)數(shù)學歸納法，對任何，都是奇數(shù)。 （II）（方法一）由知，當且僅當或。 另一方面，若則；若，則 根據(jù)數(shù)學歸納法， 綜合所述，對一切都有的充要條件是或。 （方法二）由得于是或。 因為所以所有的均大于0，因此與同號。 根據(jù)數(shù)學歸納法，，與同號。

18、 因此，對一切都有的充要條件是或。 29.（2009江西卷理）各項均為正數(shù)的數(shù)列，，且對滿足的正整數(shù)都有 （1）當時，求通項 （2）證明：對任意，存在與有關的常數(shù)，使得對于每個正整數(shù)，都有 解：（1）由得 將代入化簡得 所以 故數(shù)列為等比數(shù)列，從而 即 可驗證，滿足題設條件. (2) 由題設的值僅與有關,記為則 考察函數(shù) ,則在定義域上有 故對， 恒成立. 又 , 注意到,解上式得 取,即有

19、 . 30. (2009湖北卷理)已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）。 （Ⅰ）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式； (Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。 解（I）在中，令n=1，可得，即 當時，， . . 又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列. 于是. (II)由（I）得，所以 由①-②得 于是確定的大小關系等價于比較的大小 由 可猜想當證明如下： 證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成

20、立。 （2）假設時 所以當時猜想也成立 綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數(shù)，都有 證法2：當時 綜上所述，當，當時 31.（2009四川卷文）設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式； （II）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由； （III）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有； 解（I）當時， 又

21、 ∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴， …………………………………3分 （II）不存在正整數(shù)，使得成立。 證明：由（I）知 ∴當n為偶數(shù)時，設 ∴ 當n為奇數(shù)時，設 ∴ ∴對于一切的正整數(shù)n，都有 ∴不存在正整數(shù)，使得成立。 …………………………………8分 （III）由得

22、 又， 當時，， 當時， 32.（2009湖南卷文）對于數(shù)列,若存在常數(shù)M＞0,對任意的，恒有 , 則稱數(shù)列為數(shù)列. （Ⅰ）首項為1，公比為的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請說明理由; （Ⅱ）設是數(shù)列的前n項和.給出下列兩組判斷： A組：①數(shù)列是B-數(shù)列, ②數(shù)列不是B-數(shù)列; B組：③數(shù)列是B-數(shù)列, ④數(shù)列不是B-數(shù)列. 請以其中一組中的一個論斷為條件，另一組中的一個論斷為結(jié)論組成一個

23、命題. 判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論； (Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，證明：數(shù)列也是B-數(shù)列。 解: （Ⅰ）設滿足題設的等比數(shù)列為,則.于是 == 所以首項為1，公比為的等比數(shù)列是B-數(shù)列 . （Ⅱ）命題1：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列是B-數(shù)列.此命題為假命題. 事實上設=1，，易知數(shù)列是B-數(shù)列，但=n， . 由n的任意性知，數(shù)列不是B-數(shù)列。 命題2：若數(shù)列是B-數(shù)列，則數(shù)列不是B-數(shù)列。此命題為真命題。 事實上，因為數(shù)列是B-數(shù)列，所以存在正數(shù)M，對任意的，有 , 即.于是

24、 , 所以數(shù)列是B-數(shù)列。 （注：按題中要求組成其它命題解答時，仿上述解法） (Ⅲ)若數(shù)列是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M，對任意的有 . 因為 . 記，則有 . 因此. 故數(shù)列是B-數(shù)列. 33. (2009陜西卷理) 已知數(shù)列滿足， . 猜想數(shù)列的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； （Ⅱ)證明：。 證明（1）由 由猜想：數(shù)列是遞減數(shù)列 下面用數(shù)學歸納法證明： （1）當n=1時，已證命題成立 （2）假設當n=k時命題成立，即 易知，那么 = 即 也就是說，當n=k+1時命題也成立，結(jié)合（1）和（2）知，命題成立 （2）當n

25、=1時，，結(jié)論成立 當時，易知 34.（2009四川卷文）設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記 （I）求數(shù)列與數(shù)列的通項公式； （II）設數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，找出一個正整數(shù)；若不存在，請說明理由； （III）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有； 解（I）當時， 又 ∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列， ∴， …………………………………3分 （II）不存在正整數(shù)，使得

26、成立。 證明：由（I）知 ∴當n為偶數(shù)時，設 ∴ 當n為奇數(shù)時，設 ∴ ∴對于一切的正整數(shù)n，都有 ∴不存在正整數(shù)，使得成立。 …………………………………8分 （III）由得 又， 當時，， 當時， …………………………………14分 35.（2009天津卷理）已知等差數(shù)列{}

27、的公差為d（d0），等比數(shù)列{}的公比為q（q>1）。設=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值； (II) 若=1，證明（1-q）-（1+q）=，n； (Ⅲ) 若正數(shù)n滿足2nq，設的兩個不同的排列， ， 證明。 本小題主要考查等差數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式等基礎知識，考查運算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。 （Ⅰ）解：由題設，可得 所以， （Ⅱ）證明：由題設可得則 ①

28、 ② ① 式減去②式，得 ① 式加上②式，得 ③ ② 式兩邊同乘q，得 所以， (Ⅲ)證明： 因為所以 （1） 若，取i=n （2） 若，取i滿足且 由（1）,(2)及題設知，且 ① 當時，得 即，…， 又所以 因此 ② 當同理可得，因此 綜上， 36.（2

29、009四川卷理）設數(shù)列的前項和為，對任意的正整數(shù)，都有成立，記。 （I）求數(shù)列的通項公式； （II）記，設數(shù)列的前項和為，求證：對任意正整數(shù)都有； （III）設數(shù)列的前項和為。已知正實數(shù)滿足：對任意正整數(shù)恒成立，求的最小值。 本小題主要考查數(shù)列、不等式等基礎知識、考查化歸思想、分類整合思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力。 解：（Ⅰ）當時， 又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項，公比是 ……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 = 又 當 當 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成

30、立，取n為大于1的奇數(shù)時，設 則 > 對一切大于1的奇數(shù)n恒成立 只對滿足的正奇數(shù)n成立，矛盾。 另一方面，當時，對一切的正整數(shù)n都有 事實上，對任意的正整數(shù)k，有 當n為偶數(shù)時，設 則 < 當n為奇數(shù)時，設 則 < 對一切的正整數(shù)n，都有 綜上所述，正實數(shù)的最小值為4………………………….14分 37.（2009年上海卷理）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。 （1） 若，是否存在，有說明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；

31、 （3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明。 [解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分 整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分 （2）若，即， （*） （?。┤魟t。 當{}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 ．．．．．．7分 （ⅱ）若，（*）式等號左邊取極限得，（*）式等號右邊的極限只有當時，才能等于1。此時等號左邊是常數(shù)，，矛盾。

32、綜上所述，只有當{}為非零常數(shù)列，{}為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。．．．．．．10分 【解法二】設 則 （i） 若d=0，則 （ii） 若（常數(shù)）即，則d=0，矛盾 綜上所述，有， 10分 （3） 設. ， . 13分 取 15分 由二項展開式可得正整數(shù)M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故當且僅當p=3s,sN時，命題成立. 說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分） 若p為偶數(shù)，則am+1+am+2+……+am+p為偶數(shù)，但3k為

33、奇數(shù) 故此等式不成立，所以，p一定為奇數(shù)。 當p=1時，則am+1=bk,即4m+5=3k， 而3k=(4-1)k = 當ｋ為偶數(shù)時，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 當p=3時，則am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已證可知，當k-1為偶數(shù)即k為奇數(shù)時，存在m, 4m+9=3k成立 2分 當p=5時，則am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍

34、數(shù)，所以，當p=5時，所要求的m不存在 故不是所有奇數(shù)都成立. 2分 38.(2009重慶卷理）設個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈． （Ⅰ）若，且是公差為的等差數(shù)列，而是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列的前項和滿足：，求通項； （Ⅱ）若每個數(shù)是其左右相鄰兩數(shù)平方的等比中項，求證：； 解：（I）因是公比為d的等比數(shù)列，從而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 從而當時， 當時，由是公比為d的等比數(shù)列得 因此 （II）由題意得 有①得

35、 ④ 由①，②，③得， 故. ⑤ 又，故有 .⑥ 下面反證法證明： 若不然，設 若取即，則由⑥得，而由③得 得由②得而 ④及⑥可推得（）與題設矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）與題設矛盾,因此為6的倍數(shù) 由均值不等式得 由上面三組數(shù)內(nèi)必有一組不相等（否則，從而與題設矛盾），故等號不成立，從而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 2005——2008年高考題 一、選擇題 1.（2008江西卷）在數(shù)列中，， ，則（ ） A． B． C． D． 答案 A 2.（200

36、7福建）數(shù)列的前項和為，若，則等于（　　） A．1 B． C． D． 答案 B 3.（2007寧夏）已知成等比數(shù)列，且曲線的頂點是，則等于（　?。? Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 答案 B 4．（2006江西卷）已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若，且A、B、C三點共線（該直線不過原點O），則S200＝（ ） A．100 B. 101 C.200 D.201 解析 依題意，a1＋a200＝1，故選A 答案

37、A 5. (2005重慶卷) 有一塔形幾何體由若干個正方體構成，構成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點。已知最底層正方體的棱長為2，且改塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是( ) A. 4 B.5. C.6 D.7 答案 C 二、填空題 6.（2008江蘇）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3 個數(shù)為

38、 ． 答案 7.（2008湖北）觀察下列等式： …………………………………… 可以推測，當≥2（）時， . 答案 0 8.（2007重慶）設{}為公比q>1的等比數(shù)列，若和是方程的兩根，則_____. 答案 18 9．（2006廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個

39、乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 答案 10， 三、解答題 10.（2008全國I）設函數(shù)．數(shù)列滿足，． （Ⅰ）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)； （Ⅱ）證明：； （Ⅲ）設，整數(shù)．證明：． （Ⅰ）證明：， 故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)； （Ⅱ）證明：（用數(shù)學歸納法）（i）當n=1時，，， 由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，，即成立； （ⅱ）假設當時，成立，即 那么當時，由在區(qū)間是增函數(shù)，得 .而，則， ，也就是說當時，也成立； 根據(jù)（?。?、（ⅱ）可得對任意的正整數(shù)，恒成立. （Ⅲ）證明：由．可 1， 若存在某

40、滿足，則由⑵知： 2， 若對任意都有，則 ，即成立. 11.（2008山東卷)將數(shù)列｛an｝中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構成的數(shù)列為｛bn｝,b1=a1=1. Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項和，且滿足＝1=（n≥2）. (Ⅰ)證明數(shù)列｛｝成等差數(shù)列，并求數(shù)列｛bn｝的通項公式； （Ⅱ）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù).當時，求上表中第k(k≥3)行所有項和的和. 1

41、2.(2007湖南)已知（）是曲線上的點，，是數(shù)列的前項和，且滿足，，…． （I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列； （II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列； （III）證明：當時，弦（）的斜率隨單調(diào)遞增 解：（I）當時，由已知得． 因為，所以． …… ① 于是． ……② 由②－①得． …… ③ 于是． …… ④ 由④－③得，

42、 …… ⑤ 所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列． （II）由①有，所以．由③有，，所以，． 而 ⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項，6為公差的等差數(shù)列， 所以，，， 數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對任意的成立． 且 ． 即所求的取值集合是． （III）解法一：弦的斜率為 任取，設函數(shù)，則 記，則， 當時，，在上為增函數(shù)， 當時，，在上為減函數(shù)， 所以時，，從而，所以在和上都是增函數(shù)． 由（II）知，時，數(shù)列單調(diào)遞增， 取，因為，所以． 取，因為，所以． 所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增． 解法二：設函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)， 所以，． 故，即弦

43、的斜率隨單調(diào)遞增． 13.（2007浙江）已知數(shù)列{}中的相鄰兩項、是關于x的方程 的兩個根，且≤　(k ＝1，2，3，…)． (I)求及 (n≥4)(不必證明)；(Ⅱ)求數(shù)列{}的前2n項和S2n． (I)解：方程的兩個根為． 當k＝1時，，所以； 當k＝2時，，所以； 當k＝3時，，所以； 當k＝4時，，所以； 因為n≥4時，，所以 （Ⅱ）＝． 14.（2007四川）已知函數(shù)f（x）=x2－4，設曲線y＝f（x）在點（xn，f（xn））處的切線與x軸的交點為（xn+1,u）（u,N +），其中為正實數(shù). （Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，記an=lg，證

44、明數(shù)列｛a1｝成等比數(shù)列，并求數(shù)列｛xn｝的通項公式； （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是數(shù)列｛bn｝的前n項和，證明Tn<3. 解析：本題綜合考查數(shù)列、函數(shù)、不等式、導數(shù)應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力． （Ⅰ）由題可得． 所以曲線在點處的切線方程是：． 即． 令，得． 即． 顯然，∴． （Ⅱ）由，知，同理． 　　　故． 從而，即．所以，數(shù)列成等比數(shù)列． 故． 即． 從而 所以 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ∴ ∴ 當時，顯然． 當時， ∴ ． 　　　綜上，． 15.（2005湖南）自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利

45、用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N*，且x1＞0.不考慮其它因素，設在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c. （Ⅰ）求xn+1與xn的關系式； （Ⅱ）猜測：當且僅當x1，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） 　 （Ⅲ）設a＝2，b＝1，為保證對任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，則捕撈強度b的 最大允許值是多少？證明你的結(jié)論. 解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為a

46、xn，被捕撈量為bxn，死亡量為 （II）若每年年初魚群總量保持不變，則xn恒等于x1， n∈N*，從而由（*）式得 因為x1>0，所以a>b. 猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變. （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 0

47、 下證 當x1∈(0, 2) ，b=1時，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①當n=1時，結(jié)論顯然成立. ②假設當n=k時結(jié)論成立，即xk∈(0, 2), 則當n=k+1時，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因為xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結(jié)論也成立. 由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 綜上所述，為保證對任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1. 第二部分 三年聯(lián)考題匯編 2009年聯(lián)考題 一、選擇題 1

48、.(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試理)已知函數(shù)的定義域為R，當時，，且對任意的實數(shù)R，等式成立．若數(shù)列滿足，且(N*)，則的值為( ) A． 4016 B．4017 C．4018 D．4019 答案 B 2.（2009廈門樂安中學）在等差數(shù)列等于（ ） A．55 B．40 C．35 D．70 答案 B 3. (湖北省2009年3月高三八校第二次聯(lián)考理科) 等差數(shù)列中，是其前項和，，，則的值為（ ） 答案 C 4

49、.（2009寧鄉(xiāng)一中第三次月考）等差數(shù)列中，，，且，為其前項之和，則（ ） A．都小于零，都大于零 B．都小于零，都大于零 C．都小于零，都大于零 D．都小于零，都大于零 答案 C 5.（遼寧省沈陽二中2008—2009學年上學期高三期中考試） 數(shù)列若對任意恒成立，則正整數(shù)m的最小值 （ ） A．10 B．9 C．8 D．7 答案：A. 6.（撫順一中2009屆高三第一次模擬） 數(shù)列{an}滿足a1+ 3·a2+ 32·a3+…+ 3n-1·an=，則an= A B C

50、D 答案：C. 7.（撫州一中2009屆高三第四次同步考試） 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，記Sn=a1+a2+a3+…+an，則下列結(jié)論正確的是 A．a(chǎn)2008= – a，S2008=2b – a B．a(chǎn)2008= – b，S2008=2b – a C．a(chǎn)2008= – b，S2008=b – a D．a(chǎn)2008= – a，S2008=b – a 答案：A. 二、填空題 8.(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試文)對于集合N={1, 2, 3,…, n}的每一個非空集，定義一個“交替和”如下：按照遞減的

51、次序重新排列該子集，然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù)．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和為5．當集合N中的n =2時，集合N={1, 2}的所有非空子集為{1}，{2}，{1, 2}，則它的“交替和”的總和=1+2+(2–1)=4，則當時，= ______________ ；根據(jù)、、，猜想集合N ={1, 2, 3,…, n}的每一個非空子集的“交替和”的總和=__________. 答案 12 , 9.（2009廣州一模）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N* 都有，且1

52、__，k的的值為________. 答案 －1,4 10.(湖北省孝感市2009屆高三3月統(tǒng)考理) 如圖，以、為頂點作正， 再以和的中點為頂點作正，再 以和的中點為頂點作正，…， 如此繼續(xù)下去。有如下結(jié)論： ①所作的正三角形的邊長構成公比為的等比數(shù)列； ②每一個正三角形都有一個頂點在直線（）上； ③第六個正三角形的不在第五個正三角形邊上的頂點的坐標是； ④第個正三角形的不在第個正三角形邊上的頂點的橫坐標是，則. 其中正確結(jié)論的序號是_____________.（把你認為正確結(jié)論的序號都填上） 答案 ①②③④ 11.（2009江西師大附中）設等比數(shù)列{an}的

53、前n項和，等差數(shù)列{bn}的前n項和，則a＋b＝　　． 答案 -1 12.（遼寧省撫順一中2009屆高三數(shù)學上學期第一次月考） 已知方程的四個根組成一個首項為的等比數(shù)列，則|m-n|= 。 答案：. 三、解答題 13.（2009龍巖一中第6次月考）某企業(yè)2008年的純利潤為500萬元，因設備老化等原因，企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降.若不能進行技術改造，預測從今年起每年比上一年純利潤減少20萬元，今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術改造，預測在未扣除技術改造資金的情況下，第n年（今年為第一年）的利潤為500(1+)萬元（n為正整數(shù)）. （Ⅰ）

54、設從今年起的前n年，若該企業(yè)不進行技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技術改造后的累計純利潤為Bn萬元（須扣除技術改造資金），求An、Bn的表達式； （Ⅱ）依上述預測，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤？ 解: (Ⅰ)依題意知，數(shù)列是一個以500為首項，－20為公差的等差數(shù)列，所以， ＝ ＝＝ 　(Ⅱ)依題意得，，即， 可化簡得， 可設， 又，可設是減函數(shù)，是增函數(shù)，又 則時不等式成立，即4年 14.（2009韶關一模）已知函數(shù) （I）求 （II）已知數(shù)列滿足,,求數(shù)列的通項公式; (Ⅲ) 求證:. 解:()因為

55、 所以設S=（1） S=……….(2) (1)+(2)得: =, 所以S=3012 ()由兩邊同減去1,得 所以, 所以,是以2為公差以為首項的等差數(shù)列, 所以 因為 所以 所以 > 15.（2009聊城一模）過點P（1，0）作曲線的切線，切點為M1，設M1在x軸上的投影是點P1。又過點P1作曲線C的切線，切點為M2，設M2在x軸上的投影是點P2，…。依此下去，得到一系列點M1，M2…，Mn，…，設它們的橫坐標a1，a2，…，an，…，構成數(shù)列為。 （1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求其通項公式； （2）求證：； （3）當?shù)那皀項和Sn。

56、 解：（1）對求導數(shù)，得的切線方程是 當n=1時，切線過點P（1，0），即0 當n>1時，切線過點，即0 所以數(shù)列 所以數(shù)列 （2）應用二項公式定理，得 （3）當 ， 同乘以 兩式相減，得 所以 16.（2009閔行三中模擬）已知點列B1(1,y1)、B

57、2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）順次為一次函數(shù)圖像上的點，點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形。 ⑴求數(shù)列{yn}的通項公式，并證明{yn}是等差數(shù)列； ⑵證明xn+2-xn為常數(shù)，并求出數(shù)列{xn}的通項公式； ⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由。 解：（1）(n?N),∵yn+1-yn=,∴{yn}為等差數(shù)列 ………………4分 （2）因為與

58、為等腰三角形. 所以，兩式相減得 。………………7分 注：判斷得2分，證明得1分 ∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差為2的等差數(shù)列，………………6分 ∴ ………………10分 （3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2=2()Txn+1-xn=2() 當n為奇數(shù)時，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a). T2(1-a)=2() Ta=(n為奇數(shù)，0＜a＜1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，則(

59、*)無解； ………………14分 當偶數(shù)時，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=2a. ∴2a=2()Ta=(n為偶數(shù)，0＜a＜1) (*￠)， 取n=2，得a=,若n≥4，則(*￠)無解. 綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. ………………18分 9月份更新 一、選擇題 1.（2009臨沂一模）在等差數(shù)列｛an｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，則的值為 A、4 B、6 C、8 D、10 答案C

60、2.（2009青島一模）已知等差數(shù)列的公差為，且，若，則為 A． B. C． D. 答案B 3.（2009日照一模）設是等差數(shù)列的前項和，若=，則等于 A1 B．-1 C．2 D． 答案A 二、填空題 1.（2009冠龍高級中學3月月考）若數(shù)列中，，則數(shù)列中的項的最小值為_________。 答案 4 2.（2009閔行三中模擬）已知是等比數(shù)列，，則= 。 答案 （） 3. （2009上海九校聯(lián)考）已知數(shù)列的前項和為，若，

61、則 . 答案 128 三、解答題 1.（2009上海盧灣區(qū)4月?？迹┮阎獢?shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都滿足：，其中為實數(shù). （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若為楊輝三角第行中所有數(shù)的和，即，為楊輝三角前行中所有數(shù)的和，亦即為數(shù)列的前項和，求的值. 解：（1） 由已知，，相減得，由得，又，得，故數(shù)列是一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列. （4分） 從而 ； （6分） （2）， （7分） 又，故，

62、 （11分） 于是， 當，即時，， 當，即時，， 當，即時，不存在. （14分） 2.（2009臨沂一模）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列｛an｝滿足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項。 （I） 求數(shù)列｛an｝的通項公式; （II） 若bn=,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n?>50成立的正整數(shù) n的最小值。 解：(I)設等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q， 依題意，有2(a3+2)=a2+a4, 代入a2+a3+a4=28, 得a3=8, ∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分 ∴解之得

63、或┉┉┉┉┉┉┉┉4分 又{an}單調(diào)遞增，∴q=2,a1=2, ∴an=2n ┉┉┉┉┉┉┉┉6分 (II), ┉┉┉┉┉┉┉┉7分 ∴ ① ∴ ② ∴①-②得＝┉10分 ∴即 又當n≤4時,, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分 當n≥5時,. 故使成立的正整數(shù)n的最小值為5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分 3.（2009青島一模）已知等比數(shù)列的前項和為 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設數(shù)列滿足，為數(shù)列 的前項和，試比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論． 解：（Ⅰ）由得:時， ………………………2分

64、 是等比數(shù)列，，得 ……4分 （Ⅱ）由和得……………………6分 ……10分 ………………………11分 當或時有，所以當時有 那么同理可得：當時有，所以當時有………………………13分 綜上：當時有；當時有………………………14分 4.（2009日照一模）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，為其前項和，對于任意的，滿足關系式 （I）求數(shù)列的通項公式； （Ⅱ）設數(shù)列的通項公式是，前項和為，求證：對于任意的正整數(shù)，總有 解：（I）由已知得 故 即 故數(shù)列為等比數(shù)列，且

65、 又當時， ………………………………6分 而亦適合上式 …………………………………8分 （Ⅱ） 所以 ………………………………12分 5.（2009泰安一模）已知數(shù)列｛a｝中，，點在直線y=x上，其中n=1,2,3…. (I) 令，求證數(shù)列｛

66、b｝是等比數(shù)列； (II) 球數(shù)列的通項 解：（I） 又 6.（2009上海奉賢區(qū)模擬考）已知點集，其中，，點列在L中，為L與y軸的交點，等差數(shù)列的公差為1，。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若＝，令；試用解析式寫出關于的函數(shù)。 （3）若＝，給定常數(shù)m(),是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。 （1）y＝· ＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1 -----(1分) 與軸的交點為，所以； -----(1分) 所以，即， -----(1分) 因為在上，所以，即 -----(1分) （2）設 （）， 即 （） ----(1分) （A）當時， ----(1分) ==，而，所以 ----(1分) （B）當時， ----(1分) = =，