高等數(shù)學（下） 課程教學大綱

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1、 課程代碼：09010021 19020020 高等數(shù)學（下） 課程教學大綱 （總學時數(shù)：64，學分數(shù)：4） 一、課程的性質，任務和目的 高等數(shù)學課程是高等工科院校各專業(yè)學生必修的重要的基礎理論課。為學生培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力，抽象思維和邏輯思維能力，為學生進一步學習后繼課程打下扎實的基礎。 二、課程基本內容和要求 1．通過本課程的學習，要使學生獲得：向量代數(shù)和空間解析幾何；多元函數(shù)微積分學；無窮級數(shù)（包括傅里葉級數(shù)）等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能，為學習后繼課程和進一步獲得數(shù)學知識奠定必要的數(shù)學基礎。 2．在傳授知識的同時，要通過各個教學環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學生具

2、有抽象概括問題的能力、邏輯推理能力、空間想象能力和自學能力，還要特別注意培養(yǎng)學生具有比較熟練的運算能力和綜合運用所學知識去分析問題和解決問題的能力。 3．本課程的教學就把重點放在培養(yǎng)學生正確理解和運用基本概念與基本方法上，并注意理論聯(lián)系實際的原則，力求反應這些基本概念的實際背景及其應用。使學生認識到數(shù)學來源于實踐又服務于實際，從而有助于樹立辯證唯物主義觀點。 4．教材的選取與課堂講授要貫徹少而精原則，著重于基本概念，基本理論的講授和基本技能的培養(yǎng)，不要追求內容上的完備和全面。 本大綱包括（一）教學內容（二）教學要求（三）重點與難點 教學要求的高低用不同的詞匯加以區(qū)分，對概念、理論從高到

3、低用“理解”、“了解”、“知道”三級區(qū)分，對運算、方法從高到低用“熟練掌握”、“掌握”、“會”三級區(qū)分。熟悉一詞相當于“理解”、“熟練掌握”。 空間解析幾何與向量代數(shù) 一）教學內容 空間直角坐標系，向量及其加減法，向量與數(shù)的乘法，向量的坐標， 數(shù)量積，向量積， 曲面及其方程， 空間曲線及其方程，平面及其方程， 空間直線及其方程，二次曲面。 其中： 基本概念：空間直角坐標的概念，向量的概念，曲面及其方程、空間曲線與方程。 基本理論：平面與三元一次方程的對應。 基本方法：向量代數(shù)的線性運算、數(shù)量積與向量積的運算方法，根據(jù)已知條件建立各類平面、直線方程的方法。 二）教學要求 1．理

4、解空間直角坐標系，理解向量的概念。 2．掌握向量的運算（線性運算、數(shù)量積、向量積），掌握兩個向量夾角的求法，與平行與垂直的條件。 3．熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標表示式。熟練掌握用坐標表達式進行向量的運算。 4．熟練掌握平面的點法式方程與一般方程及求法、掌握平面的截距式方程 5．熟悉空間直線的標準式（點向式）方程與一般方程及求法。掌握空間直線的參數(shù)方程。 6．掌握兩直線間、兩平面間、平面與直線問的夾角公式。熟練掌握應用“平行、垂直”條件建立平面、直線方程。 7．理解曲面方程的概念，掌握常用二次曲面的方程及其圖形。掌握以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

5、8．掌握空間曲線的參數(shù)方程及一般方程。 9、掌握求空間曲線在坐標平面上的投影曲線的方法。 三）重點與難點 重點：向量概念，向量的坐標，數(shù)量積與向量積，平面的點法式方程，直線的標準方程，曲面方程的概念。 難點：向量積的概念，繪制幾個曲面圍成的圖形。 多元函數(shù)微分法及其應用 一）教學內容 多元函數(shù)的基本概念，偏導數(shù)，全微分及其應用，多元復合函數(shù)的求導法則，隱函數(shù)的求導公式，微分在幾何上的應用，方向導數(shù)的與梯度，多元函數(shù)的極值及其求法。 其中： 基本概念：多元函數(shù)的概念，偏導數(shù)的概念，全微分的概念，多元函數(shù)極值的概念。 基本理論：全微分與偏導數(shù)的關系。 基本方法：復合函數(shù)微分法

6、，應用偏導數(shù)求極值的方法。 二）教學要求 1．理解多元函數(shù)等概念，知道點函數(shù)的概念。 2．知道二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。 3．理解偏導數(shù)、全微分等概念。并掌握偏導數(shù)與全微分的計算方法。了解全微分存在的充要條件，了解多元函數(shù)的可微與可偏導之間的區(qū)別和聯(lián)系。 4．熟練掌握復合函數(shù)的求偏導數(shù)方法，掌握二階偏導數(shù)的求法。 5．掌握求隱函數(shù)的偏導數(shù)的方法，會求由方程組確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)。 6．了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面和法線，并掌握它們的方程的求法。 7．理解多元函數(shù)的極值和條件極值的概念，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。

7、會求解一些較簡單的最大值和最小值的應用問題。 三）重點和難點 重點：偏導數(shù)的概念，全微分的概念，復合函數(shù)微分法。 難點：全微分的概念，復合函數(shù)（抽象式子）的二階偏導數(shù)的求法。 多元函數(shù)積分 一）教學內容 二重積分的概念與性質，二重積分的計算法，二重積分的應用。 其中： 基本概念：二重積分的概念。 基本理論：重積分的性質。 基本方法：重積分的計算方法，對坐標的曲線積分。 二）教學要求 1．理解二重積分，了解重積分的性質。 2．熟練掌握二重積分的計算方法（直角坐標系，極坐標系）。對坐標的曲線積分，格林公式 3．能應用重積分來表

8、達和計算一些幾何量與物理量（如體積、質量、重心等）。 三）重點與難點 重點：重積分的計算法。 難點：對坐標的曲線積分，格林公式。 無窮級數(shù) 一）教學內容 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質，常數(shù)項級數(shù)的審斂法，冪級數(shù)，函數(shù)展開成冪級數(shù)，付立葉級數(shù)，正弦級數(shù)和余弦級數(shù)，周期為2L的周期函數(shù)的付立葉級數(shù)。 其中： 基本概念：級數(shù)收斂與發(fā)散的定義，冪級數(shù)的收斂區(qū)間，傅氏級數(shù)的定義。 基本理論：數(shù)項級數(shù)的比較法，冪級數(shù)的四則運算與逐項微分、逐項積分。 基本方法：比值審斂法，函數(shù)的冪級數(shù)表達式以及定義在上的函 數(shù)展成傅氏級數(shù)的方法。 二

9、）教學要求 1．理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念，了解無窮級數(shù)收斂的必要 條件。知道無窮級數(shù)的性質。 2．熟練掌握幾何級數(shù)和P級數(shù)的斂散性。 3．掌握正項級數(shù)的比較審斂法，熟練掌握正項級數(shù)的比值審斂法。 4．掌握交錯項級數(shù)的萊布尼茲定理，并能估計交錯級數(shù)的余項。 5．了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與條件收斂的關系。 6．了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．熟練掌握較簡單的冪級數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域的求法（可不考慮端點的斂散性） 8．知道冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內的一些基本性質。 9．知道函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件。 10．掌握的馬克勞林展開式。掌握把

10、初等函數(shù)展開成冪級數(shù)的直接方法，熟練掌握把初等函數(shù)展開為冪級數(shù)的“間接方法”。 11．了解三角函數(shù)組在上的正交性。知道函數(shù)展開成付立葉級數(shù)的充分條件（狄克雷條件），會將定義在和[-1，1]上的函數(shù)展成付立葉級數(shù)。并會將定義在上和[0，1]的函數(shù)展成正弦或余弦付立葉級數(shù)。 三）重點與難點 重點：無窮級數(shù)收斂和發(fā)散的概念，正項級數(shù)的比值審斂法，把函數(shù)展開為冪 級數(shù)的“間接法”以及收斂區(qū)間的求法，定義在上的函數(shù)展成傅氏級數(shù) 的方法。 難點：正項級數(shù)比值審斂法的證明，函數(shù)展成冪級數(shù)的直接法和余項的估計。 三、學時分配表 序號 內容 講授 習題課 小計 1 空間解析幾何

11、與向量代數(shù) 10 2 12 2 多元函數(shù)微分法及其應用 14 4 18 3 多元函數(shù)積分 12 6 18 4 無窮級數(shù) 12 4 16 合 計 48 16 64 四、有關說明 實踐教學環(huán)節(jié) 無 考核方式： 本課程為考試科目，課程成績由平時成績、考試成績組成比例為3：7。 教材及教學參考書 教材；《高等數(shù)學》，盛祥耀 編，高等教育出版社，高等教育出版社。 參考書：其它同名教材。 執(zhí)筆人：許定亮 審定人：劉 坤 批準人：沈京一