新版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第7章 立體幾何初步 第3節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理學(xué)案 文 北師大版

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1、 1

2、 1 第三節(jié)　空間圖形的基本關(guān)系與公理 [考綱傳真]　1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題． (對應(yīng)學(xué)生用書第98頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．空間圖形的公理 (1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))．

3、 (2)公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)． (3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過這個點的公共直線． (4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行． 推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面． (5)等角定理 空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補． 2．空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系 直線與直線 直線與平面 平面與平面 平行關(guān)系 圖形語言

4、 符號語言 a∥b a∥α α∥β 相交關(guān)系 圖形語言 符號語言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 獨有關(guān)系 圖形語言 符號語言 a，b是異面直線 aα 3. 異面直線所成的角 (1)定義：過空間任意一點P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2(a∥l1，b∥l2)，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角． (2)范圍：. [知識拓展] 異面直線的判定定理 經(jīng)過平面內(nèi)一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的

5、打“√”，錯誤的打“×”) (1)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．(　　) (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面．(　　) (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．(　　) (4)若直線a不平行于平面α，且aα，則α內(nèi)的所有直線與a異面．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)如圖7-3-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(　　) 圖7-3-1 A．30°　　　　 B．45° C．60° D

6、．90° C　[連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.] 3．在下列命題中，不是公理的是(　　) A．平行于同一個平面的兩個平面相互平行 B．過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面 C．如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此 平面內(nèi) D．如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的 公共直線 A　[A不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B，C，D是平面的基本性質(zhì)公理．] 4．(20xx·山東高考)已知直線a，b分別在

7、兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由題意知aα，bβ，若a，b相交，則a，b有公共點，從而α，β有公共點，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面．因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．故選A．] 5．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是________． b與α相交或bα或b∥α (對應(yīng)學(xué)生用書第99頁) 空間圖形的公理及應(yīng)用 　

8、(1)以下命題中，正確命題的個數(shù)是(　　) ①不共面的四點中，其中任意三點不共線； ②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則A，B，C，D，E共面； ③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面； ④依次首尾相接的四條線段必共面． A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 (2)如圖7-3-2，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點．求證： 圖7-3-2 ①E，C，D1，F(xiàn)四點共面； ②CE，D1F，DA三線共點． B　[(1)①中若有三點共線，則四點共面，不合題意，故①正確；②中若點A，

9、B，C在同一條直線上，則A，B，C，D，E不一定共面，故②錯誤；③中，直線b，c可能是異面直線，故③錯誤；④中，當(dāng)四條線段構(gòu)成空間四邊形時，四條線段不共面，故④錯誤．] (2)①如圖，連接EF，CD1，A1B． ∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點， ∴EF∥BA1. 又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F(xiàn)四點共面． ②∵EF∥CD1，EF

10、A，∴CE，D1F，DA三線共點． [規(guī)律方法]　1.證明線共面或點共面的常用方法： (1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面． (2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)． (3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合． 2．證明點共線問題的常用方法： (1)基本性質(zhì)法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點都在這兩個平面的交線上． (2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上． [變式訓(xùn)練1]　(1)(20xx·上饒模擬)如圖7-

11、3-3所示，在四面體ABCD中作截面PQR，若PQ與CB的延長線交于點M，RQ與DB的延長線交于點N，RP與DC的延長線交于點K.給出以下命題： 圖7-3-3 ①直線MN平面PQR； ②點K在直線MN上； ③M，N，K，A四點共面． 其中正確結(jié)論的序號為________． 【導(dǎo)學(xué)號：00090240】 ①②③　[由題意知，M∈PQ，N∈RQ，K∈RP， 從而點M，N，K∈平面PQR. 所以直線MN平面PQR，故①正確． 同理可得點M，N，K∈平面BCD． 從而點M，N，K在平面PQR與平面BCD的交線上，即點K在直線MN上，故②正確． 因為

12、A?直線MN，從而點M，N，K，A四點共面，故③正確．] (2)如圖7-3-4所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點． ①證明：四邊形BCHG是平行四邊形； ②C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？ 圖7-3-4 [解]　(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD，得GH綊AD． 又BC綊AD， ∴GH綊BC，∴四邊形BCHG是平行四邊形． (2)C，D，F(xiàn)，E四點共面，理由如下： 由BE綊AF，G為FA的中點知BE綊GF， ∴四邊形BEFG為平行四邊形，∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，∴

13、EF∥CH， ∴EF與CH共面． 又D∈FH，∴C，D，F(xiàn)，E四點共面． 空間直線的位置關(guān)系 　(1)(20xx·金華模擬)已知a，b，c為三條不同的直線，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，給出下列命題： ①若a與b是異面直線，則c至少與a，b中的一條相交； ②若a不垂直于c，則a與b一定不垂直； ③若a∥b，則必有a∥C． 其中真命題有________．(填序號) 【導(dǎo)學(xué)號：00090241】 (2)(20xx·鄭州模擬)在圖7-3-5中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________(填上所有

14、正確答案的序號)． ①　　 ?、凇　??、邸　? 　④ 圖7-3-5 (1)①③　(2)②④　[(1)對于①，若c與a，b都不相交，則c∥a，c∥b，從而a∥b，這與a與b是異面直線矛盾，故①正確． 對于②，a與b可能異面垂直，故②錯誤． 對于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，從而a∥c，故③正確． (2)圖①中，直線GH∥MN；圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH與MN異面，所以在圖②④中，GH與MN異面．] [規(guī)律方法]　1

15、.異面直線的判定方法： (1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面． (2)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線． 2．點、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點、線、面的位置關(guān)系． [變式訓(xùn)練2]　(20xx·煙臺模擬)a，b，c表示不同的直線，M表示平面，給出四個命題：①若a∥M，b∥M，則a∥b或a，b相交或a，b異面；②若bM，a∥b，則a∥M；③若a⊥c，b⊥c，則a∥b；④若a⊥M，

16、b⊥M，則a∥B．其中正確的為(　　) A．①④　　　　 B．②③ C．③④ D．①② A　[對于①，當(dāng)a∥M，b∥M時，則a與b平行、相交或異面，①為真命題．②中，bM，a∥b，則a∥M或aM，②為假命題．命題③中，a與b相交、平行或異面，③為假命題．由線面垂直的性質(zhì)，命題④為真命題，所以①④為真命題．] 異面直線所成的角 　(1)如圖7-3-6，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為(　　) 圖7-3-6 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． (2)

17、(20xx·瀘州模擬)如圖7-3-7所示，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于________． 圖7-3-7 (1)D　(2)　[(1)連接BC1，易證BC1∥AD1， 則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角． 連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2， 則A1C1＝，A1B＝BC1＝， 在△A1BC1中，由余弦定理得 cos∠A1BC1＝＝. (2)取BC的中點G.連接GC1，則GC1∥FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，

18、 ∵E是CC1的中點，∴GC1∥EH. ∴∠OEH為異面直線所成的角． 在△OEH中，OE＝，HE＝，OH＝. 由余弦定理，可得cos∠OEH＝＝＝.] [規(guī)律方法]　1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移；補形平移． 2．求異面直線所成角的三個步驟： (1)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角． (2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角． (3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角．

19、 [變式訓(xùn)練3]　如圖7-3-8，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________． 【導(dǎo)學(xué)號：00090242】 圖7-3-8 　[取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD， 則因為C是圓柱下底面弧AB的中點， 所以AD∥BC， 所以直線AC1與AD所成角等于異面直線AC1與BC所成角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點， 所以C1D⊥圓柱下底面，所以C1D⊥AD． 因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形， 所以C1D＝AD， 所以直線AC1與AD所成角的正切值為， 所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.]