新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法學(xué)案 理 北師大版

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1、 第一節(jié)　數(shù)列的概念與簡單表示法 [考綱傳真]　(教師用書獨(dú)具)1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)． (對應(yīng)學(xué)生用書第79頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．?dāng)?shù)列的概念 (1)數(shù)列的定義：按照一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)． (2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N＋(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值． (3)函數(shù)有三種表示示，它們分別是列表法、圖像法和通項(xiàng)公式法． 2．?dāng)?shù)列

2、的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間 的大小關(guān)系 分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中 n∈N＋ 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他 標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動(dòng)數(shù)列 從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列 3.數(shù)列的兩種常用的表示方法 (1)通項(xiàng)公式：如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來表示，那么這個(gè)式子叫作這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)的函數(shù)解析式． (2)

3、遞推公式：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫作這個(gè)數(shù)列的遞推公式． [知識拓展]　 1．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an， 則an＝ 2．在數(shù)列{an}中，項(xiàng)an最大，則 若an最小，則 3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)相同的一

4、組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．(　　) (2)一個(gè)數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的．(　　) (3)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．(　　) (4)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．(　　) (5)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－8n＋15，則3(　　) A．不是數(shù)列{an}中的項(xiàng) B．只是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng) C．只是數(shù)列{an}中的第6項(xiàng) D．是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng) D　[令

5、an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6， 故3是數(shù)列{an}中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)．] 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(　　) A．15　　 B．16　　　　C．49　　　　D．64 A　[當(dāng)n＝8時(shí)，a8＝S8－S7＝82－72＝15.] 4．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5等于(　　) A． B． C． D． D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝， a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.] 5．(教材改編)數(shù)列1，，，，，…的一個(gè)通項(xiàng)公式an是__________． 　[由已知得，數(shù)列可寫成，，，…，故通項(xiàng)為.]

6、(對應(yīng)學(xué)生用書第80頁) 由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式 　寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)3,5,7,9，…； (2)－，，－，，…； (3)，2，，8，，…； (4)5,55,555,5 555，…. [解]　(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝(－1)n×，n∈N＋. (3)數(shù)列的各項(xiàng)，有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項(xiàng)都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察．即，，，，，…，分子為項(xiàng)數(shù)的平方，從而可得數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝. (4)

7、將原數(shù)列改寫為×9，×99，×999，…，易知數(shù)列9,99,999，…的通項(xiàng)為10n－1，故所求的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(10n－1)． [規(guī)律方法]　1.求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要抓住以下幾個(gè)特征： (1)分式中分子、分母的特征. (2)相鄰項(xiàng)的變化特征. (3)拆項(xiàng)后變化的部分和不變的部分的特征. (4)各項(xiàng)符號特征等，并對此進(jìn)行歸納、化歸、聯(lián)想. 2.若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸顯出來.對于正負(fù)符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整，可代入驗(yàn)證歸納的正確性. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)已知n∈N＋，給出4個(gè)表達(dá)式： ①an＝ ②an＝

8、； ③an＝； ④an＝.其中能作為數(shù)列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通項(xiàng)公式的是(　　) A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ (2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)是，1，，，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝__________. (1)A　(2)　[(1)檢驗(yàn)知①②③都是所給數(shù)列的通項(xiàng)公式． (2)數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為，，，，故an＝.] 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an 　已知下面數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求{an}的通項(xiàng)公式： (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n＋b. [解]　(1)a1＝S1＝2－3＝－1， 當(dāng)n≥2時(shí)，a

9、n＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5， 由于a1也適合此等式，∴an＝4n－5. (2)a1＝S1＝3＋b， 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當(dāng)b＝－1時(shí)，a1適合此等式． 當(dāng)b≠－1時(shí)，a1不適合此等式． ∴當(dāng)b＝－1時(shí)，an＝2·3n－1； 當(dāng)b≠－1時(shí)，an＝ [規(guī)律方法]　已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替換Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式. (3)看a1是否符合n≥2時(shí)an

10、的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)寫成分段函數(shù)的形式. 易錯(cuò)警示：利用an＝Sn－Sn－1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n≥2這一前提條件，易忽視驗(yàn)證n＝1致誤. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)(20xx·石家莊質(zhì)檢(二))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝2an－4(n∈N＋)，則an＝(　　) 【導(dǎo)學(xué)號：79140166】 A．2n＋1 B．2n C．2n－1 D．2n－2 (2)(20xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________. (1)A　(2)－　[(1)由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2

11、an－1－4(n≥2)，兩式相減可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，∴數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則an＝4×2n－1＝2n＋1，故選A． (2)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， ∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1. ∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1. 又＝－1，∴是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列． ∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.] 由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式 　分別求出滿足下列條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式． (1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n

12、∈N＋)； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N＋)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N＋)． [解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式， ∴an＝n2＋. (2)當(dāng)n≥2，n∈N＋時(shí)， an＝a1×××…× ＝1×××…×××＝n， 當(dāng)n＝1時(shí)，也符合上式， ∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝n. (3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， 又a1

13、＝1，∴a1＋1＝2， 故數(shù)列{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列， ∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1. [規(guī)律方法]　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的常用方法 (1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. (2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an. (3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉(zhuǎn)化為{an＋k}為等比數(shù)列. 易錯(cuò)警示：本題(1)，(2)中常見的錯(cuò)誤是忽視驗(yàn)證a1是否適合所求式. [跟蹤訓(xùn)練]　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋，求an. 【導(dǎo)學(xué)號：79140167】 (2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2nan，求an. [解]　(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋＋2＝3－. (2)由于＝2n， 故＝21，＝22，…，＝2n－1， 將這n－1個(gè)等式疊乘， 得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.