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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料
規(guī)范答題示例8 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
典例8 (12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)橢圓E：＋＝1，P為橢圓C上任意一點，過點P的直線y＝kx＋m交橢圓E于A，B兩點，射線PO交橢圓E于點Q.
①求的值；②求△ABQ面積的最大值．
審題路線圖 (1)―→
(2)①―→
②―→
―→
規(guī)范解答·分步得分
構(gòu)建答題模板
解 (1)由題意知＋＝1.又＝，
解得a2＝4，b2＝1.所以橢圓C的方程為＋y2＝1.2分
(2)由(1)知橢圓E的方程為＋＝1.
2、
①設(shè)P(x0，y0)，＝λ，由題意知Q(－λx0，－λy0)．
因為＋y＝1，又＋＝1，即＝1，
所以λ＝2，即＝2.5分
②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
將y＝kx＋m代入橢圓E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，
由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2，(*)
則x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|x1－x2|＝.
因為直線y＝kx＋m與y軸交點的坐標(biāo)為(0，m)，
所以△OAB的面積S＝|m||x1－x2|＝
＝＝2.8分
設(shè)＝t，將y＝kx＋m代入橢圓C的方程，
可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由Δ≥0，可得m2
3、≤1＋4k2.(**)
由(*)(**)可知0＜t≤1，因此S＝2＝2，
故0
4、意變量條件的制約，檢查最值取得的條件.
評分細則 (1)第(1)問中，求a2－c2＝b2關(guān)系式直接得b＝1，扣1分；
(2)第(2)問中，求時，給出P，Q的坐標(biāo)關(guān)系給1分；無“Δ>0”和“Δ≥0”者，每處扣1分；聯(lián)立方程消元得出關(guān)于x的一元二次方程給1分；根與系數(shù)的關(guān)系寫出后再給1分；求最值時，不指明最值取得的條件扣1分．
跟蹤演練8 (2017·全國Ⅰ)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三點在橢圓C上．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率的和為－1，證明：l過定
5、點．
(1)解 由于P3，P4兩點關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過P3，P4兩點．
又由＋>＋知，橢圓C不經(jīng)過點P1，所以點P2在橢圓C上．
因此解得
故橢圓C的方程為＋y2＝1.
(2)證明 設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2.
如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐標(biāo)分別為，，則k1＋k2＝－＝－1，
得t＝2，不符合題設(shè)．
從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)．
將y＝kx＋m代入＋y2＝1，
得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由題設(shè)k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，
解得k＝－.
當(dāng)且僅當(dāng)m>－1時，Δ>0，
于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l過定點(2，－1)．
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