新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫第八章 第2講平面的基本性質(zhì)與異面直線

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第2講 平面的基本性質(zhì)與異面直線一、填空題1給出下列四個(gè)命題:經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)平面;梯形可以確定一個(gè)平面;兩兩相交的三條直線最多可以確定三個(gè)平面;如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合其中正確命題的序號為_解析錯(cuò)誤,正確答案2已知m,n是兩條不同的直線,為兩個(gè)不同的平面,有下列四個(gè)命題:若m,n,mn,則;若m,n,mn,則;若m,n,mn,則;若m,n,則mn.其中所有正確的命題是_解析 我們借助于長方體模型來解決本題對于,可以得到平面,互相垂直,如圖(1)所示,故正確;對于,平面、可能垂直,如圖(2)所示;對于,平面、可能垂直,如圖(3)所示;對于,由m,可得m,因

2、為n,所以過n作平面,且g,如圖(4)所示,所以n與交線g平行,因?yàn)閙g,所以mn.答案 3如圖,矩形ABCD中,AB2,BC4,將ABD沿對角線BD折起到ABD的位置,使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影點(diǎn)O恰好落在BC邊上,則異面直線AB與CD所成角的大小為_解析 如題圖所示,由AO平面ABCD,可得平面ABC平面ABCD,又由DCBC可得DC平面ABC,DCAB,即得異面直線AB與CD所成角的大小為90.答案 904若P是兩條異面直線l,m外的任意一點(diǎn),則給出四個(gè)命題:過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都平行;過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都垂直;過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l,m都相交;過點(diǎn)P有且僅有一

3、條直線與l,m都異面;上述命題中正確的是_(填序號)解析對于,若過點(diǎn)P有直線n與l,m都平行,則lm,這與l,m異面矛盾對于,過點(diǎn)P與l、m都垂直的直線,即過P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線對于,過點(diǎn)P與l、m都相交的直線有一條或零條對于,過點(diǎn)P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條答案5. 在正方體ABCD A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB1,BC1的中點(diǎn),則以下結(jié)論:EF與CC1垂直;EF與BD垂直;EF與A1C1異面;EF與AD1異面,其中不成立的序號是_解析連結(jié)A1B,在A1BC1中,EFA1C1,所以,正確,錯(cuò)答案6在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為棱AA1,CC1

4、的中點(diǎn),則在空間中與三條直線A1D1,EF,CD都相交的直線有_條解析 在EF上任意取一點(diǎn)M,直線A1D1與M確定一個(gè)平面,這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N,當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面,從而與CD有不同的交點(diǎn)N,而直線MN與直線A1D1,EF,CD均相交,故滿足題意的直線有無數(shù)條答案 無數(shù)7在正方體ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn),那么,正方體的過P、Q、R的截面圖形是_解析如圖所示,作RGPQ交C1D1于G,連接QP并延長與CB的延長線交于M,連接MR交BB1于E,連接PE、RE為截面的部分圖形同理延長PQ交CD的延長線于N,連接NG交DD1于F,

5、連接QF,F(xiàn)G.截面為六邊形PQFGRE.答案六邊形8在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是BD1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,給出下列四個(gè)結(jié)論:A1、M、O三點(diǎn)共線; M、O、A1、A四點(diǎn)共面;A、O、C、M四點(diǎn)共面; B、B1、O、M四點(diǎn)共面其中正確結(jié)論的序號是_解析因?yàn)镺是BD1的中點(diǎn)由正方體的性質(zhì)知,O也是A1C的中點(diǎn),所以點(diǎn)O在直線A1C上,又直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則A1、M、O三點(diǎn)共線,又直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以正確答案9如圖,平面平面,l,A,C是內(nèi)不同的兩點(diǎn),B,D是內(nèi)不同的兩點(diǎn),且A,B,C,D直線l,M,N分別是線段AB,CD的中點(diǎn)下列判

6、斷正確的是_當(dāng)|CD|2|AB|時(shí),M,N兩點(diǎn)不可能重合M,N兩點(diǎn)可能重合,但此時(shí)直線AC與l不可能相交當(dāng)AB與CD相交,直線AC平行于l時(shí),直線BD可以與l相交當(dāng)AB,CD是異面直線時(shí),直線MN可能與l平行解析 當(dāng)M,N重合時(shí),四邊形ACBD為平行四邊形,故ACBDl,此時(shí)直線AC與l不可能相交,正確,易知,均不正確答案 10在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱BB1,DD1上的動點(diǎn),且BED1F,設(shè)EF與AB所成的角為,與BC所成的角為,則的最小值_解析當(dāng)EFBD時(shí),45,90即為a的最小值,故填90.答案90二、解答題11正方體ABCDA1B1C1D1中(1)求

7、AC與A1D所成角的大?。?2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn),求A1C1與EF所成角的大小解 (1)如圖所示,連接B1C,由ABCDA1B1C1D1是正方體,易知A1DB1C,從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角AB1ACB1C,B1CA60.即A1D與AC所成的角為60.(2)如圖所示,連接AC、BD,在正方體ABCDA1B1C1D1中,ACBD,ACA1C1,E、F分別為AB、AD的中點(diǎn),EFBD,EFAC.EFA1C1. 即A1C1與EF所成的角為90.12. 如圖,在四面體ABCD中作截面PQR,若PQ、CB的延長線交于M,RQ、DB的延長線交于N,RP、DC的延長線交于

8、K,求證:M、N、K三點(diǎn)共線證明MPQ,直線PQ面PQR,MBC,直線BC面BCD,M是平面PQR與平面BCD的一個(gè)公共點(diǎn),即M在面PQR與面BCD的交線l上同理可證:N、K也在l上M、N、K三點(diǎn)共線13如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1中,A1C與截面DBC1交于O點(diǎn),AC,BD交于M點(diǎn),求證:C1,O,M三點(diǎn)共線證明C1平面A1ACC1,且C1平面DBC1,C1是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn)又MAC,M平面A1ACC1.MBD,M平面DBC1,M也是平面A1ACC1與平面DBC1的公共點(diǎn),C1M是平面A1ACC1與平面DBC1的交線O為A1C與截面DBC1的交點(diǎn),O平面A1

9、ACC1且O平面DBC1,即O也是兩平面的公共點(diǎn),O直線C1M,即C1,O,M三點(diǎn)共線14如圖(1),在RtABC中,ACB90,ACBC4,D是AB的中點(diǎn),E是AC的中點(diǎn),現(xiàn)將ABC沿CD翻折成直二面角ADCB,如圖(2)(1)求異面直線AB與DE所成的角;(2)若M、N分別為棱AC、BC上的動點(diǎn),求DMN周長的平方的最小值解(1)如圖,取BC的中點(diǎn)F,連結(jié)EF、DF,則ABEF,AB與DE所成的角即為EF與DE所成的角ADBD2,ADB90,AB4.EF2.又DEDF2,異面直線AB與DE所成的角為60.(2)如圖是以C為頂點(diǎn)沿CD展開的側(cè)面展開圖,依題意即求DD1的長ACDBCD145,ACBCAB,ACB60.DCD1150,CDCD12.DD(2)2(2)2222cos 150168.

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