新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 第四章　平面向量

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第四章　平面向量 第一節(jié)　平面向量的基本概念及線性運(yùn)算 [考情展望]　1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.2.以四種命題及充分必要條件為知識(shí)載體，考查向量的有關(guān)概念.3.借助共線向量定理探求點(diǎn)線關(guān)系或求參數(shù)的值． 一、向量的有關(guān)概念 1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． 2．零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． 3．單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量． 4．平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． 5．相等向量：長度相等且方向相同的向量． 6

2、．相反向量：長度相等且方向相反的向量． 二、向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律：a＋b＝b＋a. (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0. λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa

3、； λ(a＋b)＝λa＋λb 向量加減法運(yùn)算的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)： 加法的三角形法則關(guān)鍵是“首尾相接，指向終點(diǎn)”，并可推廣為多個(gè)向量相加的“多邊形法則”；減法的三角形法則關(guān)鍵是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”． 三、平面向量共線定理 　向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 巧用系數(shù)判共線 ＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則λ＋μ＝1；反之，也成立． 1．化簡－＋＋的結(jié)果為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 【解析】 ?。?＋)＋(＋)＝＋＝. 【答案】　D 2．下列給出的命題正確的是(　　)

4、A．零向量是唯一沒有方向的向量 B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個(gè) C．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量 D．相等的向量必是共線向量 【解析】 　零向量方向任意，而不是沒有方向，故A錯(cuò)；平面內(nèi)單位向量有無數(shù)個(gè)，故B錯(cuò)；若b＝0，b與a、c都平行，但a、c不一定共線，故C錯(cuò)；相等的向量方向相同，必是共線向量，故D正確． 【答案】　D 3．設(shè)a，b為不共線向量，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則下列關(guān)系式中正確的是(　　) A.＝ B.＝2 C.＝－ D.＝－2 【解析】 　＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a

5、－2b＝2(－4a－b)＝2. 【答案】　B 4．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ的值為(　　) A．1 B．－1 C. D．－ 【解析】 　由題意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka， ∴解得 【答案】　D 5．(2012·四川高考)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使＝成立的充分條件是(　　) A．a(chǎn)＝－b B．a(chǎn)∥b C．a(chǎn)＝2b D．a(chǎn)∥b且|a|＝|b| 【解析】 　表示與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有＝，觀察選擇項(xiàng)易知C滿足題意． 【答案】　C 6．(

6、2013·四川高考)在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝________. 【解析】 　由向量加法的平行四邊形法則，得＋＝. 又O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴＝2， ∴＋＝2. 又＋＝λ，∴λ＝2. 【答案】　2 考向一 [071]　平面向量的有關(guān)概念 　給出下列四個(gè)命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則四邊形ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|＞|b|，則a＞b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【思路點(diǎn)

7、撥】　以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例來說明其不正確． 【嘗試解答】?、俨徽_．|a|＝|b|但a、b的方向不確定，故a，b不一定相等； ②不正確．因?yàn)椋?，A、B、C、D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形． ③不正確．兩向量不能比較大?。? ④不正確．當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． 【答案】　D 規(guī)律方法1　1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對(duì)向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法. 2.準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵.(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性

8、.(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無關(guān). 3.“向量”和“有向線段”是兩個(gè)不同的概念，向量只有兩個(gè)要素：大小、方向；而有向線段有三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　給出下列四個(gè)命題： ①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若a＝b，b＝c，則a＝c； ③若a∥b，b∥c，則a∥c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 【解析】 ?、俨徽_．兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩向量相等；但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． ②正確．根據(jù)向量相等的定

9、義知． ③不正確．若b＝0時(shí)，b與a、c都平行，但a、c不一定平行． ④不正確．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向． 【答案】　C 考向二 [072]　平面向量的線性運(yùn)算 　(2014·寧波模擬)(1)在△ABC中，若D是AB邊上一點(diǎn)，且＝2，＝＋λ，則λ＝(　　) A.　　　　 B.　　　　 C．－　　　　 D．－ (2)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2＋＋＝0，那么(　　) A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 【思路點(diǎn)撥】　(1)D是AB邊上的三等分點(diǎn)，把用、表示； (2)由D為BC邊中點(diǎn)可得＋＝2，代入已知條件即可求解． 【

10、嘗試解答】　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故選A. (2)因?yàn)镈為BC邊中點(diǎn)，∴＋＝2，又2＋＋＝0，∴2＋2＝0，即＝，故選A. 【答案】　(1)A　(2)A 規(guī)律方法2　1.解答本例(1)的關(guān)鍵是利用向量的加法與減法把用、表示出來.解答本例(2)的關(guān)鍵是＋＝2. 2.進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相連的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　 圖4－1－1 (1)如圖4－1－1所示，向量＝a，＝b，＝c，A、B、C在一條直線上，若＝－3，則(　　) A．c＝－a＋b B．c＝a－b

11、C．c＝－a＋2b D．c＝a＋2b (2)若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________. 【解析】 　(1)∵＝＋＝＋3＝＋3(－)＝3＋－3，∴2＝－＋3， ∴c＝＝－a＋b. (2)∵||＝||＝|－|＝||＝2， ∴△ABC是邊長為2的正三角形，|＋|為三角形高的2倍，所以|＋|＝2. 【答案】　(1)A　(2)2 考向三 [073]　共線向量定理的應(yīng)用 　設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2，求證：A、C、D三點(diǎn)共線． (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝3e1－ke2，且A、C、F三點(diǎn)共線

12、，求k的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)A、C、D三點(diǎn)共線?存在實(shí)數(shù)λ使＝λ. (2)A、C、F三點(diǎn)共線?存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ. 【嘗試解答】　(1)＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2， 又＝－8e1－2e2， 所以＝－2，∴與共線， 又∵與有公共點(diǎn)C， ∴A、C、D三點(diǎn)共線． (2)∵＝e1＋e2，＝2e1－3e2， ∴＝＋＝3e1－2e2. ∵A、C、F三點(diǎn)共線， ∴∥，從而存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λ. ∴3e1－2e2＝3λe1－λke2， 又e1，e2是不共線的非零向量， ∴因此k＝2. 所以實(shí)數(shù)k的值為2. 規(guī)律方法3　1.向量b與非零向量a

13、共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用. 2.證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c與d同向　　　　B．k＝1且c與d反向 C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向 (2)(2014·洛陽模擬)對(duì)于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．

14、既不充分也不必要條件 【解析】 　(1)∵c∥d，∴c＝λd， 即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb， ∴∴k＝λ＝－1，故選D. (2)由a＋b＝0知道a與b互為相反向量，從而a∥b，充分性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1時(shí)，a＋b≠0， ∴必要性不成立． 【答案】　(1)D　(2)A 易錯(cuò)易誤之八　忽視零向量的特殊性致誤 ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　　(2014·荊州模擬)下列命題正確的是(　　) A．向量a、b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa B．在△ABC中，＋＋＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋

15、b|≤|a|＋|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立 D．向量a、b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線 【解析】 　A不正確，當(dāng)a＝b＝0時(shí)，有無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)λ滿足b＝λa. 此處在求解時(shí)，常因忽視“共線向量定理中的條件a≠0”而致誤． B不正確，在△ABC中，＋＋＝0. 此處在求解時(shí)，常因混淆向量與數(shù)量的關(guān)系致誤，0是向量，其模為0，而0是數(shù)量，沒有方向． C不正確，當(dāng)b＝0時(shí)，不等式|a|≤|a|≤|a|顯然成立． 此處在求解時(shí)，常受代數(shù)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|的影響，而忽略了向量中0的作用導(dǎo)致錯(cuò)誤． D正確．∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－

16、b均不為零向量． 若a＋b與a－b平行，則存在實(shí)數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)， 即(λ－1)a＝(1＋λ)b， ∴λ無解，故假設(shè)不成立， 即a＋b與a－b不平行，故選D. 【防范措施】 　(1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在． (2)向量的加減及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果，仍然是一個(gè)向量，而不是一個(gè)數(shù)． (3)應(yīng)熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號(hào)成立的條件． 　下列說法不正確的有________． ①若a∥b，則a與b的方向相同或相反； ②若λa＝0，則λ＝0； ③相反向量必不相等； ④若a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R

17、，且λ≠0，則a∥b 的充要條件是e2＝0. 【解析】 　①不正確，如a＝0. ②不正確，λa＝0，則λ＝0或a＝0. ③不正確，0＝－0. ④不正確，當(dāng)e1∥e2時(shí)該命題也成立． 【答案】?、佗冖邰? 第二節(jié)　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 [考情展望]　1.考查用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.3.以向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線向量定理為載體，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 一、平面向量基本定理 　如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其

18、中e1，e2是一組基底． 二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量平行的坐標(biāo)表示 1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． 2．向量平行的坐標(biāo)表示 (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0. (2)三點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(

19、y2－y1)＝0. 共線向量的坐標(biāo)表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量基底的是(　　) A．①　　　　B．①③　　　C．②③　　　D．①②③ 【解析】 ?、谥?，e2＝2e1，e1與e2共線；③中e1＝4e2，e1與e2共線，故選A. 【答案】　A 2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的

20、坐標(biāo)是(　　) A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 【解析】 　2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)． 【答案】　D 3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于(　　) A．5 B．10 C. D．15 【解析】 　∵a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10. 【答案】　B 4．在平行四邊形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，則＝________，＝________. 【解析】 ?。剑剑?2,5)－(1,3)＝(1,2)，＝－＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)． 【答案】　(1

21、,2)　(0，－1) 5．(2013·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μ c； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】 　顯然命題①②是正確的． 對(duì)于③，以a的終點(diǎn)作長度為μ的圓，這個(gè)圓必須和向量λb

22、有交點(diǎn)，這個(gè)不一定能滿足，③是錯(cuò)的，對(duì)于命題④，若λ＝μ＝1，|a|＞2時(shí)，與|a|＝|b＋c|≤|b|＋|c|＝2矛盾，則④不正確． 【答案】　B 6．(2013·北京高考)向量a，b，c在正方形 圖4－2－1 網(wǎng)格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 【解析】 　以向量a的終點(diǎn)為原點(diǎn)，過該點(diǎn)的水平和豎直的網(wǎng)格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)一個(gè)小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝

23、－3，故λ＝－2，μ＝－，則＝4. 【答案】　4 考向一 [074]　平面向量基本定理及其應(yīng)用 　(1)(2014·長春模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 圖4－2－2 (2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)＝a，＝b，若＝2，則＝________(用向量a和b表示)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)以，為基底分別表示，，，根據(jù)平面向量基本定理列方程組求解． (2)＝2―→＝―→借助三角形法則表示. 【嘗試解答】　(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋，

24、 又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)， 于是得解得 所以λ＋μ＝. (2)由＝2知，AB∥DC且||＝2||，從而||＝2||.∴＝＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 【答案】　(1)　(2)a＋ 規(guī)律方法1　1.解答本例(1)的關(guān)鍵是根據(jù)平面向量基本定理列出關(guān)于λ，μ的方程組． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時(shí)，要選擇一組恰當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題． (2)利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算，在解題時(shí)，注意方程思想的運(yùn)用． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(20

25、13·江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 【解析】 　由題意＝－＝－＝(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. 【答案】　 考向二 [075]　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 　已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求：3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 【思路點(diǎn)撥】　利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的坐標(biāo)與其起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系

26、求解． 【嘗試解答】　a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－

27、3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 規(guī)律方法2　1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加減、數(shù)乘運(yùn)算的法則進(jìn)行.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)，注意方程思想的應(yīng)用. 2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的引入為向量提供了新的語言——“坐標(biāo)語言”，實(shí)質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　如圖4－2－3，已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 圖4－2－3 【解】　設(shè)頂點(diǎn)D(x，y)． 若平行四

28、邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BCD， 則＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， ＝(1－x，－2－y)． 由＝，得解得 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2)； 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳CBD， 則＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)， ＝(3－x，－1－y)． 由＝，得解得 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(6,4)； 若平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的順序?yàn)锳BDC， 則＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， ＝(x－1，y＋2)． 由＝，得解得 故第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，－6)． 綜上，第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)或(6,4)或(0，－6)． 考向三 [076]　平面向量共

29、線的坐標(biāo)表示 　(1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________． (2)(2014·青島期中)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，則cos 2α＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C．－　　　　D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)a與b的關(guān)系，設(shè)出a的坐標(biāo)，再根據(jù)|a|＝2求解； (2)由向量平行關(guān)系的坐標(biāo)表示列出等式，求出sin α后，再利用二倍角公式進(jìn)行求解． 【嘗試解答】　(1)∵a與b的方向相反且b＝(2,1)， ∴設(shè)a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a|＝2， ∴4λ2＋λ2＝20，即λ2＝4， 又λ＜0

30、，∴λ＝－2，因此a＝(－4，－2)． (2)∵a＝，b＝(cos α，1)， 又由a∥b可知＝tan αcos α，即sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝. 【答案】　(1)(－4，－2)　(2)D 規(guī)律方法3　1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa. 2．向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c

31、＝(3,4)．若λ為實(shí)數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝(　　) A.　　　B.　　　C．1　　　D．2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是________． 【解析】 　(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)， ∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)， ∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝. (2)因?yàn)椋?3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)．由于點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形，所以與不共線，而當(dāng)與共線

32、時(shí)，有＝，解得m＝， 故當(dāng)點(diǎn)A、B、C能構(gòu)成三角形時(shí)實(shí)數(shù)m滿足的條件是m≠. 【答案】　(1)B　(2)m≠ 思想方法之十二　待定系數(shù)法在向量運(yùn)算中的應(yīng)用 根據(jù)向量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法列出一個(gè)含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關(guān)系，從而使問題得到解決． ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]　———— 　　　如圖4－2－4所示，在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點(diǎn)M，設(shè)＝a， 圖4－2－4 ＝b，利用a和b表示向量. 【解】　設(shè)＝ma＋nb，則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋n

33、b. ＝－＝－＝b－a.因?yàn)锳、M、D三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使 ＝λ，即(m－1)a＋nb＝－λa＋b. 所以消去λ，得m＋2n＝1，① 同理＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝－＝b－a，因?yàn)镃、M、B三點(diǎn)共線， 所以存在實(shí)數(shù)t，使＝t， 即a＋nb＝t. 所以 消去t，得4m＋n＝1，② 聯(lián)立①②，得m＝，n＝，所以＝a＋b. 圖4－2－5 　如圖4－2－5所示，M是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足條件＋2＋3＝0，延長CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 【解】　因?yàn)椋剑?，＝＋? 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0.

34、又因?yàn)锳，N，B三點(diǎn)共線，C，M，N三點(diǎn)共線， 由平面向量基本定理，設(shè)＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a. 　 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積 [考情展望]　1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想． 一、平面向量的數(shù)量積 1．?dāng)?shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cos θ，

35、記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2．向量的投影：設(shè)θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b|cos θ. 3．?dāng)?shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a·b＝b·a； 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； 3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 　已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角

36、． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤· 1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(b·c)a等于(　　) A．(26，－78)　　　　　　 B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【解析】 　∵b·c＝4×2＋6×3＝26， ∴(b·

37、c)a＝(26，－78)． 【答案】　A 2．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 【解析】 　向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2， 設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝，∴θ＝. 【答案】　C 3．已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(　　) A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b| 【解析】 　|a·b|＝|a||b||cos θ|，故B錯(cuò)誤． 【答案】　B 4．已知向量a，b滿足

38、a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 【解析】 　∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0 ∴|2a－b|＝＝＝2. 【答案】　B 5．(2013·湖北高考)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】 　由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上的投影為＝＝. 【答案】　A 6．(2013·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝_______

39、_. 【解析】 　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. ∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. ∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2. 【答案】　2 考向一 [077]　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 　(1)(2012·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則·＝________. (2)(2012·北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)把，用，或表示； (2)建立平面直角坐標(biāo)系，把

40、向量用坐標(biāo)表示．或用數(shù)量積的幾何意義求解 【嘗試解答】　(1)如圖所示，＝＋，＝＋＝－， ∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. (2) 法一　如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于正方形邊長為1， 故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． 又E在AB邊上，故設(shè)E(t,0)(0≤t≤1)． 則＝(t，－1)，＝(0，－1)． 故·＝1. 又＝(1,0)， ∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t. 又0≤t≤1，∴·的最大值為1. 法二　∵ABCD是正方形，∴＝. ∴·＝·＝||||cos∠EDA ＝

41、||||cos∠EDA＝||·||＝||2＝1. 又E點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，故為點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，在上的投影最大，此時(shí)·＝||||cos 45°＝×＝1. 所以·的最大值為1. 【答案】　(1)－16　(2)1　1 規(guī)律方法1　1.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標(biāo)來計(jì)算. 2.要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2013·江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a

42、在b方向上的投影為________． (2)(2014·濟(jì)南模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)＝2，＝3，則·＝________. 【解析】 　(1)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1， 所以|b|＝2，a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5， 所以a在b方向上的投影為|a|·cosa，b＝＝. (2) ∵＝2，＝3， ∴點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CA的三等分點(diǎn)， 以向量，作為基向量， ∴＝(＋)，＝－， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－2－·， 又||＝||＝1， 且〈，〉＝. ∴·＝－－||||cos ＝－. 【答案】　

43、(1)　(2)－ 考向二 [078]　平面向量的夾角與垂直 　(1)(2013·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． (2)(2013·山東高考)已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)由|a|＝|a＋2b|平方得出a·b，然后代入夾角公式cos〈a，b〉＝求解． (2)把轉(zhuǎn)化為－，再通過·＝0求解． 【嘗試解答】　(1)由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.

44、又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－. (2)∵⊥，∴·＝0. 又＝λ＋，＝－， ∴(λ＋)(－)＝0， 即(λ－1)·－λ2＋2＝0， ∴(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0. ∴(λ－1)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝. 【答案】　(1)－　(2) 規(guī)律方法2　1.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求〈a，b〉的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與a·b的關(guān)系. 2.(1)非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常見的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把表示成－，導(dǎo)致求解受阻. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)

45、練　(1)已知a，b都是非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為________． (2)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 【解析】 　(1)由|a|＝|b|＝|a－b|得，|a|2＝|b|2，|b|2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝a2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝2|a|2＋2×|a|2＝3|a|2，所以|a＋b|＝|a|. 設(shè)a與a＋b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°. (2)∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又k

46、a－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0.(θ為a與b的夾角) ∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a與b不共線， ∴cos θ≠－1，∴k＝1. 【答案】　(1)30°　(2)1 考向三 [079]　平面向量的模及其應(yīng)用 　(1)(2014·威海模擬)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A.　　　 B.　　　 C．2　　　 D．10 (2)(2014·鄭州模擬)已知＝(c

47、os θ，sin θ)，＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范圍及||取得最大值時(shí)θ的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)由a⊥c求x的值，由b∥c求y的值，求a＋b，求|a＋b|. (2)→→ 【嘗試解答】　(1)∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 【答案】　B (2)∵＝－＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)， ∴|P|2＝(1＋s

48、in θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2 ＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴||2∈[2,6]，∴||∈[，]． 當(dāng)sin 2θ＝－1，即θ＝時(shí)，||取得最大值． 規(guī)律方法3　1.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件. 2.求解向量的長度問題一般可以從兩個(gè)方面考慮： (1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解； (2)利用公式

49、|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問題解決. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2012·安徽高考)設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝________. (2)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，－＜θ＜. ①若a⊥b，則θ＝________. ②若|a＋b|的最大值為＋1，則θ＝________. 【解析】 　(1)a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)． ∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， ∴m＝－.∴a＝(1，－1

50、)，∴|a|＝. (2)①由a⊥b得sin θ＋cos θ＝0，∴tan θ＝－1. ∵－＜θ＜，∴θ＝－. ②|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝sin2θ＋1＋2sin＋cos2θ＋1＝3＋2sin. ∵－＜θ＜， ∴－＜θ＋＜. ∴當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)．|a＋b|2最大為3＋2，而＝＋1.∴|a＋b|取最大值＋1時(shí)，θ＝. 【答案】　(1)　(2)－　 易錯(cuò)易誤之九　忽略向量共線條件致誤 ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　——— 　(2014·廣州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_______

51、_． 【解析】 　∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角， ∴a·(a＋λb)＞0， 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－， 當(dāng)a與 a＋λb共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使a＋λb＝ma， 此處在求解時(shí)，常因忽略“a與a＋λb共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a·b＞0與〈a，b〉為銳角等價(jià). 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴，∴λ＝0， 即當(dāng)λ＝0時(shí)，a與a＋λb共線． 綜上可知，λ的取值范圍為. 【防范措施】 　1.a，b的夾角為銳角并不等價(jià)于a·b＞0，a·b＞0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0°. 2.依據(jù)兩向量的夾

52、角θ求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，要注意θ＝0°或180°的情形.其中cos 0°＝1＞0，cos 180°＝－1＜0.) 　已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是________． 【解析】 　由a·b＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜. 又當(dāng)a∥b時(shí)，λ＝－6，故所求λ的范圍為λ＜且λ≠－6. 【答案】　 第四節(jié)　平面向量應(yīng)用舉例 [考情展望]　1.用向量的方法解決某些簡單的平面幾何證明問題.2.與三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，體現(xiàn)向量運(yùn)算的工具性． 一、向量在平面幾何中的應(yīng)用 1．平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解

53、決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題． 2．用向量解決常見平面幾何問題的技巧 問題類型 所用知識(shí) 公式表示 線平行、點(diǎn)共線、相似等問題 共線向量定理 a∥b?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0(b≠0) 其中a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2) 垂直問題 數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì) a⊥b?a·b＝0 ?x1x2＋y1y2＝0 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b 為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cos θ＝(θ為向量a，b的夾角) 二、向量在物理中的應(yīng)用 1．向量的加法、減法在力的分解與合成中的應(yīng)用． 2．向量在

54、速度的分解與合成中的應(yīng)用． 3．向量的數(shù)量積在合力做功問題中的應(yīng)用：W＝f·s. 1．已知三個(gè)力f1，f2，f3作用于物體同一點(diǎn)，使物體處于平衡狀態(tài)，若f1＝(2,2)，f2＝(－2,3)，則|f3|為(　　) A．2.5　　　　B．4　　　　C．2　　　　D．5 【解析】 　由題意知f1＋f2＋f3＝0，∴f3＝－(f1＋f2)＝(0，－5)， ∴|f3|＝5. 【答案】　D 2．已知O是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若·＝·＝·，則O是△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．重心 C．外心 D．垂心 【解析】 　·＝·?·(－)＝0， ∴·＝0?OB⊥AC. 同

55、理：OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O是△ABC的垂心． 【答案】　D 3．若·＋2＝0，則△ABC為(　　) A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【解析】 　·＋2＝0可化為·(＋)＝0， 即·＝0，所以⊥.所以△ABC為直角三角形． 【答案】　D 4．已知兩個(gè)力F1、F2的夾角為90°，它們的合力F的大小為10 N，合力與F1的夾角為60°，那么F1的大小為________． 【解析】 　如圖所示． |F1|＝|F|cos 60°＝10×＝5(N)． 【答案】　5 N 5．(2012·湖南高考)在△ABC中，AB＝2，A

56、C＝3，·＝1，則BC＝(　　) A. B. C．2 D. 【解析】 　∵·＝1，且AB＝2， ∴1＝||||cos(π－B)，∴||cos B＝－. 在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|cos B， 即9＝4＋|BC|2－2×2×.∴|BC|＝. 【答案】　A 6．(2013·福建高考)在四邊形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，則該四邊形的面積為(　　) A. B．2 C．5 D．10 【解析】 　∵·＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0， ∴⊥，∴S四邊形ABCD＝||·||＝××2＝5. 【答案】

57、　C 考向一 [080]　向量在平面幾何中的應(yīng)用 　(1)(2014·長沙模擬)在△ABC中，已知向量與滿足·＝0，且·＝，則△ABC為(　　) A．等邊三角形　　　　　 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．三邊均不相等的三角形 (2)(2014·濟(jì)南模擬)設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，a⊥c，|a|＝|c|，則|b·c|的值一定等于(　　) A．以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積 B．以b，c為兩邊的三角形面積 C．以a，b為兩邊的三角形面積 D．以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積 (3)已知△ABC的三邊長AC＝3，B

58、C＝4，AB＝5，P為AB邊上任意一點(diǎn)，則·(－)的最大值為________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)是單位向量，結(jié)合平行四邊形法則及·＝0分析AB與AC的關(guān)系，借助數(shù)量積的定義求∠CBA，進(jìn)而得出△ABC的形狀． (2)借助數(shù)量積的定義及三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求解． (3)可采用坐標(biāo)法和基向量法分別求解本題． 【嘗試解答】　(1)因?yàn)椤ぃ?，所以∠BAC的平分線垂直于BC，所以AB＝AC. 又·＝，所以cos∠BAC＝，即∠BAC＝，所以△ABC為等邊三角形． (2)依題意可得|b·c|＝|b||c|cos〈b，c〉 ＝|b||c|sin〈a，b〉 ＝S平行四邊形． ∴|b·c|的

59、值一定等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積． (3) 法一　(坐標(biāo)法)以C為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)且0≤y≤3,0≤x≤4，則·(－)＝·＝(x，y)·(0,3)＝3y，當(dāng)y＝3時(shí)，取得最大值9. 法二　(基向量法)∵＝＋，－＝， ∴·(－)＝(＋)· ＝2＋·＝9－· ＝9－||·||·cos∠BAC ＝9－3||·cos∠BAC， ∵cos∠BAC為正且為定值， ∴當(dāng)||最小即||＝0時(shí)，·(－)取得最大值9. 【答案】　(1)A　(2)D　(3)9 規(guī)律方法1　1.向量在平面幾何中的三大應(yīng)用：一是借助運(yùn)算判斷圖形的形狀，二是借助模、

60、數(shù)量積等分析幾何圖形的面積；三是借助向量探尋函數(shù)的最值表達(dá)式，進(jìn)而求最值. 2.平面幾何問題的向量解法 (1)坐標(biāo)法,把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，就賦予了有關(guān)點(diǎn)與向量具體的坐標(biāo)，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決. (2)基向量法,適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進(jìn)行求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知點(diǎn)O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，則點(diǎn)O，N，P依次是△ABC的(　　) A．重心、外心、垂心　　　　 B．重心、外心、內(nèi)心 C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、內(nèi)心 (注：

61、三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱為三角形的垂心) (2)(2013·課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·＝________. 【解析】 　(1)∵||＝||＝||，即點(diǎn)O到A，B，C三點(diǎn)的距離相等，∴點(diǎn)O為△ABC的外心． 如圖，設(shè)D為BC邊的中心，則＋＝2， ∵＋＋＝0， ∴＋2＝0， ∴＝2，∴A，D，N三點(diǎn)共線， ∴點(diǎn)N在BC邊的中線上． 同理，點(diǎn)N也在AB，AC邊的中線上，∴點(diǎn)N是△ABC的重心． ∵·＝·， ∴·－·＝0，∴·(－)＝0， ∴·＝0，∴⊥. 同理，⊥，⊥， ∴點(diǎn)P是△ABC的垂心． (2)如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)

62、，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， ∴＝(1,2)，＝(－2,2)， ∴·＝1×(－2)＋2×2＝2. 【答案】　(1)C　(2)2 考向二 [081]　向量在物理中的應(yīng)用 　(1)一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1、F2、F3(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分別為2和4，則F3的大小為(　　) A．2　　　　B．2　　　　C．2　　　　D．6 圖4－4－1 (2)如圖4－4－1所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，F(xiàn)的大小為5

63、0 N，F(xiàn)拉著一個(gè)重80 N的木塊在摩擦因數(shù)μ＝0.02的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20 m，問F、摩擦力f所做的功分別為多少？ 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用F1＋F2＋F3＝0，結(jié)合向量模的求法求解． (2)力在位移上所做的功，是向量數(shù)量積的物理含義，要先求出力F，f和位移的夾角． 【嘗試解答】　(1)如圖所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)． F＝F＋F＋2F1·F2 ＝F＋F＋2|F1||F2|cos 60°＝28. ∴|F3|＝2. 【答案】　A (2)設(shè)木塊的位移為s， 則F·s＝|F|·|s|cos 30°＝50×20×＝500 J， F在豎直方向

64、上的分力大小為 |F|sin 30°＝50×＝25(N)， 所以摩擦力f的大小為|f|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)， 所以f·s＝|f|·|s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22 J. ∴F，f所做的功分別是500 J，－22 J． 規(guī)律方法2　1.物理學(xué)中的“功”可看作是向量的數(shù)量積的原型. 2.應(yīng)善于將平面向量知識(shí)與物理有關(guān)知識(shí)進(jìn)行類比.例如，向量加法的平行四邊形法則可與物理中力的合成進(jìn)行類比，平面向量基本定理可與物理中力的分解進(jìn)行類比. 3.用向量方法解決物理問題的步驟：一是把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；二是轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算解決

65、問題；三是將結(jié)果還原為物理問題.　 　考向三 [082]　向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 　(2013·遼寧高考)設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈. (1)若|a|＝|b|，求x的值； (2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值． 【思路點(diǎn)撥】　分別表示兩向量的模，利用相等求解x的值；利用數(shù)量積運(yùn)算及輔助角公式化為一個(gè)角的一種函數(shù)求解． 【嘗試解答】　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x， |b|2＝cos2x＋sin2x＝1， 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1. 又x∈，從而sin x＝，所以x＝. (

66、2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， 當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 規(guī)律方法3　平面向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目的解題思路通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)過坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角問題，然后利用三角函數(shù)基本公式求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量＝(sin α，1)，＝(cos α，0)，＝(－sin α，2)，點(diǎn)P滿足＝. (1)記函數(shù)f(α)＝·，求函數(shù)f(α)的最小正周期； (2)若O、P、C三點(diǎn)共線，求|＋|的值． 【解】　(1)＝(cos α－sin α，－1)， 設(shè)＝(x，y)，則＝(x－cos α，y)， 由＝得x＝2cos α－sin α，y＝－1，故＝(2cos α－sin α，－1)． ＝(sin α－cos α，1)，＝(2sin α，－1)， ∴f(α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1) ＝2sin2α－2sin αcos α－1 ＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－sin， ∴f(α)的最小正周期T＝π. (2)由O、P