《高考理科導(dǎo)學(xué)案【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案16》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考理科導(dǎo)學(xué)案【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案16(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、+2019年數(shù)學(xué)高考教學(xué)資料+學(xué)案16定積分及其簡單的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.以求曲邊梯形的面積和汽車變速行駛的路程為背景準(zhǔn)確理解定積分的概念.2.理解定積分的簡單性質(zhì)并會簡單應(yīng)用.3.會說出定積分的幾何意義,能根據(jù)幾何意義解釋定積分.4.會用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,反方向求使F(x)f(x)的F(x),并運(yùn)用牛頓萊布尼茨公式求f(x)的定積分.5.會通過求定積分的方法求由已知曲線圍成的平面圖形的面積.6.能熟練運(yùn)用定積分求變速直線運(yùn)動的路程.7.會用定積分求變力所做的功自主梳理1定積分的幾何意義:如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分的幾何意義
2、是直線_所圍成的曲邊梯形的_2定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dx_ (k為常數(shù));(2)f1(x)f2(x)dx_;(3)f(x)dx_.3微積分基本定理一般地,如果f(x)是區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù),并且F(x)f(x),那么f(x)dxF(b)F(a),這個結(jié)論叫做_,為了方便,我們常把F(b)F(a)記成_,即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)4定積分在幾何中的應(yīng)用(1)當(dāng)xa,b且f(x)0時,由直線xa,xb (ab),y0和曲線yf(x)圍成的曲邊梯形的面積S_.(2)當(dāng)xa,b且f(x)g(x)0時,由直線xa,xb (ab)和曲線yf(x),yg(x)圍成的平面圖形的面積S_.
3、(4)若f(x)是偶函數(shù),則f(x)dx2f(x)dx;若f(x)是奇函數(shù),則f(x)dx0.5定積分在物理中的應(yīng)用(1)勻變速運(yùn)動的路程公式做變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)vv(t)v(t)0在時間區(qū)間a,b上的定積分,即_(2)變力做功公式一物體在變力F(x)(單位:N)的作用下做直線運(yùn)動,如果物體沿著與F相同的方向從xa移動到xb (ab)(單位:m),則力F所做的功W_.自我檢測1計算定積分3xdx的值為 ()A.B75C.D252定積分xdx等于 ()A.B.1C.D.3如右圖所示,陰影部分的面積是 ()A2B2C.D.4(2010湖南)dx等于 ()A2ln 2B
4、2ln 2Cln 2Dln 25若由曲線yx2k2與直線y2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S9,則k_.探究點(diǎn)一求定積分的值例1計算下列定積分:(1);(2);(3)(2sin x3ex2)dx;(4)|x21|dx.變式遷移1計算下列定積分:(1)|sin x|dx;(2)sin2xdx.探究點(diǎn)二求曲線圍成的面積例2計算由拋物線yx2和y3(x1)2所圍成的平面圖形的面積S.變式遷移2計算曲線yx22x3與直線yx3所圍圖形的面積探究點(diǎn)三定積分在物理中的應(yīng)用例3一輛汽車的速度時間曲線如圖所示,求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程變式遷移3A、B兩站相距7.2 km,一輛電車從A站開往B站,
5、電車開出t s后到達(dá)途中C點(diǎn),這一段速度為1.2t m/s,到C點(diǎn)時速度達(dá)24 m/s,從C點(diǎn)到B點(diǎn)前的D點(diǎn)以勻速行駛,從D點(diǎn)開始剎車,經(jīng)t s后,速度為(241.2t)m/s,在B點(diǎn)恰好停車,試求:(1)A、C間的距離;(2)B、D間的距離;(3)電車從A站到B站所需的時間函數(shù)思想的應(yīng)用例(12分)在區(qū)間0,1上給定曲線yx2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小,并求最小值【答題模板】解S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線yx2與x軸、直線xt所圍成的面積,即S1tt2x2dxt3.2分S2的面積等于曲線yx2與x軸,xt,x1圍成的面積去掉矩形面積,
6、矩形邊長分別為t2,1t,即S2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以陰影部分面積SS1S2t3t2(0t1)6分令S(t)4t22t4t0時,得t0或t.8分t0時,S;t時,S;t1時,S.10分所以當(dāng)t時,S最小,且最小值為.12分【突破思維障礙】本題既不是直接求曲邊梯形面積問題,也不是直接求函數(shù)的最小值問題,而是先利用定積分求出面積的和,然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求面積和的最小值,難點(diǎn)在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中,突出考查學(xué)生知識的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識1定積分f(x)dx的幾何意義就是表示由直線xa,xb (ab),y0和曲線yf(x)圍成的曲邊梯形的面積;反過來,
7、如果知道一個這樣的曲邊梯形的面積也就知道了相應(yīng)定積分的值,如dx (半徑為2的個圓的面積),dx2.2運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以化簡定積分計算,也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差3計算一些簡單的定積分問題,解題步驟是:第一步,把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)積的和或差;第二步,把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分;第三步,分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的使F(x)f(x)的F(x);第四步,再分別用牛頓萊布尼茨公式求各個定積分的值后計算原定積分的值 (滿分:75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1下列值等于1的積分是 ()AxdxB(x
8、1)dxCdxD1dx2(2011汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)則f(x)dx等于 ()A.B.C6D173已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx8,則f(x)dx等于 ()A0B4C8D164(2011深圳模擬)曲線ysin x,ycos x與直線x0,x所圍成的平面區(qū)域的面積為 ()A0(sin xcos x)dxB20(sin xcos x)dxC0(cos xsin x)dxD20(cos xsin x)dx5(2011臨渭區(qū)高三調(diào)研)函數(shù)f(x)t(t4)dt在1,5上 ()A有最大值0,無最小值B有最大值0,最小值C有最小值,無最大值D既無最大值也無最小值題號12345答案二、填空題(每小題
9、4分,共12分)6若1 N的力使彈簧伸長2 cm,則使彈簧伸長12 cm時克服彈力做的功為_J.7(2xk1)dx2,則k_.8(2010山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三三診)若f(x)在R上可導(dǎo),f(x)x22f(2)x3,則f(x)dx_.三、解答題(共38分)9(12分)計算以下定積分:(1)dx;(2)2dx;(3)0(sin xsin 2x)dx;(4)|32x|dx.10(12分)設(shè)yf(x)是二次函數(shù),方程f(x)0有兩個相等的實(shí)根,且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表達(dá)式;(2)求yf(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積11(14分)求曲線yex1與直線xln 2,ye1所圍成的平面圖形
10、的面積答案 自主梳理1xa,xb (ab),y0和曲線yf(x)面積2(1)kf(x)dx(2)f1(x)dxf2(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx(其中ac0時,S(x2k22kx)dx(xk)2dx(xk)3|0(k)3,由題意知9,k3.由圖象的對稱性可知k3也滿足題意,故k3.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)與絕對值有關(guān)的函數(shù)均可化為分段函數(shù)分段函數(shù)在區(qū)間a,b上的積分可分成幾段積分的和的形式分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定,按照原函數(shù)分段的情況分即可,無需分得過細(xì)(2)f(x)是偶函數(shù),且在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間a,a上連續(xù),則f(x)dx2f(x)dx.解(1)dxxdxdxd
11、xx2|ln x|(e21)(ln eln 1)e2.(2)0(sin x2cos x)dx0sin xdx20cos xdx(cos x)|02sin x|0cos (cos 0)21.(3)(2sin x3ex2)dx2sin xdx3exdx2dx2(cos x)|3ex|2x|2(cos )(cos 0)3(ee0)2(0)73e2.(4)0x2,于是|x21|x21|dx(1x2)dx(x21)dx|2.變式遷移1解(1)(cos x)sin x,|sin x|dx|sin x|dx|sin x|dxsin xdxsin xdxcos x|cos x|(cos cos 0)(cos
12、2cos )4.(2)sin2xdxdxdxcos 2xdxx|.例2解題導(dǎo)引求曲線圍成的面積的一般步驟為:(1)作出曲線的圖象,確定所要求的面積;(2)聯(lián)立方程解出交點(diǎn)坐標(biāo);(3)用定積分表示所求的面積;(4)求出定積分的值解作出函數(shù)yx2和y3(x1)2的圖象(如圖所示),則所求平面圖形的面積S為圖中陰影部分的面積解方程組得或所以兩曲線交點(diǎn)為A,B(2,2)所以S23(x1)2dx2x2dx2(x22x2)dx2x2dx224.變式遷移2解如圖,設(shè)f(x)x3,g(x)x22x3,兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)為A,B,由得或曲線yx22x3與直線yx3所圍圖形的面積Sf(x)g(x)dx(x3)(x2
13、2x3)dx(x23x)dx|.故曲線與直線所圍圖形的面積為.例3解題導(dǎo)引用定積分解決變速運(yùn)動的位置與路程問題時,將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵變速直線運(yùn)動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù),故求積分時要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分,然后求出積分的和,即可得到答案s(t)求導(dǎo)后得到速度,對速度積分則得到路程解方法一由速度時間曲線易知v(t)由變速直線運(yùn)動的路程公式可得s3tdt30dt(1.5t90)dtt2|30t|1 350 (m)答此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.方法二由定積分的物理意義知,汽車1 min內(nèi)所行駛的路程就是速度函數(shù)在0,60上的積分,也就是其速度曲線與x軸圍成
14、梯形的面積,s(ABOC)30(3060)301 350 (m)答此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.變式遷移3解(1)設(shè)v(t)1.2t,令v(t)24,t20.A、C間距離|AC|1.2tdt(0.6t2)|0.6202240 (m)(2)由D到B時段的速度公式為v(t)(241.2t) m/s,可知|BD|AC|240 (m)(3)|AC|BD|240 (m),|CD|7 20024026 720 (m)C、D段用時280 (s)又A、C段與B、D段用時均為20 s,共用時2802020320 (s)課后練習(xí)區(qū)1D2.B3.D4.D5.B60.36解析設(shè)力F與彈簧伸長的長
15、度x的關(guān)系式為Fkx,則1k0.02,k50,F(xiàn)50x,伸長12 cm時克服彈力做的功W50xdxx2|0.1220.36(J)71解析(2xk1)dx12,k1.818解析f(x)2x2f(2),f(2)42f(2),即f(2)4,f(x)x28x3,f(x)dx334323318.9解(1)函數(shù)y2x2的一個原函數(shù)是yx3ln x,所以dxln 2ln 2.(3分)(2)2dxdx(2ln 24)ln .(6分)(3)函數(shù)ysin xsin 2x的一個原函數(shù)為ycos xcos 2x,所以0(sin xsin 2x)dx0.(9分)(3xx2)|1(x23x)|2.(12分)10解(1)設(shè)
16、f(x)ax2bxc (a0),則f(x)2axb.又f(x)2x2,所以a1,b2,即f(x)x22xc.(4分)又方程f(x)0有兩個相等實(shí)根,所以44c0,即c1.故f(x)x22x1.(8分)(2)依題意,所求面積S(x22x1)dx|.(12分)11解畫出直線xln 2,ye1及曲線yex1如圖所示,則所求面積為圖中陰影部分的面積由解得B(1,e1)由解得A.(4分)此時,C(ln 2,e1),D(ln 2,0)所以SS曲邊梯形BCDOS曲邊三角形OAD(e1)dx(ex1)dx(7分)(e1)x|(exx)|(exx)| (10分)(e1)(1ln 2)(e1e0)|e0(eln 2ln 2)|(e1)(1ln 2)(e2)ln 2eln 2.(14分)高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品