新編高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 第三章　三角函數(shù)

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料 第三章　三角函數(shù) 第一節(jié)　任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) [考情展望]　1.利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值.2.考查三角函數(shù)值符號的確定． 一、角的有關(guān)概念 1．從運(yùn)動的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角． 2．從終邊位置來看，可分為象限角與軸線角． 3．若β與α是終邊相同的角，則β用α表示為β＝2kπ＋α(k∈Z)． 二、弧度與角度的互化 1．1弧度的角 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角． 2．角α的弧度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝. 3．角度與弧度的換算①1°＝rad；②1

2、 rad＝°. 4．弧長、扇形面積的公式 設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α(rad)，半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S＝lr＝r2α. 角度制與弧度制不可混用 角度制與弧度制可利用180°＝π rad進(jìn)行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． 三、任意角的三角函數(shù) 1定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝. 2．幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示，正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)． 三角函數(shù)值符號記憶口訣 記憶技巧：一全正、

3、二正弦、三正切、四余弦(為正)．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正． 1．給出下列四個命題： ①－是第二象限角；②是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正確的命題有(　　) A．1個　　　 B．2個　　　 C．3個　　　 D．4個 【解析】　①中－是第三象限角，故①錯誤．②中，＝π＋，從而是第三象限角正確．③中－400°＝－360°－40°，從而③正確．④中－315°＝－360°＋45°，從而④正確． 【答案】　C 2．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－1,2)，則sin α＝(　　) A. B. C．－

4、 D．－ 【解析】　由三角函數(shù)的定義可知，sin α＝＝. 【答案】　B 3．若sin α＜0且tan α＞0，則α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】　由sin α＜0，得α在第三、四象限或y軸非正半軸上，又tan α＞0，∴α在第三象限． 【答案】　C 4．弧長為3π，圓心角為135°的扇形半徑為________，面積為________． 【解析】　∵l＝3π，α＝135°＝， ∴r＝＝4，S＝lr＝×3π×4＝6π. 【答案】　4　6π 5．(2012·江西高考)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝定義域相同的函數(shù)為

5、(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝xex D．y＝ 【解析】　函數(shù)y＝的定義域為{x|x≠0}，選項A中由sin x≠0?x≠kπ，k∈Z，故A不對；選項B中x>0，故B不對；選項C中，x∈R，故C不對；選項D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域為{x|x≠0}，故選D. 【答案】　D 6．(2011·江西高考)已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的正半軸．若P(4，y)是角θ終邊上一點(diǎn)，且sin θ＝－，則y＝________. 【解析】　由三角函數(shù)的定義，sin θ＝， 又sin θ＝－＜0， ∴y＜0且＝－， 解之得y＝－8. 【答案】?。?

6、 考向一 [047]　角的集合表示及象限角的判定 　(1)寫出終邊在直線y＝x上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求所在的象限． 【思路點(diǎn)撥】　(1)角的終邊是射線，應(yīng)分兩種情況求解． (2)把α寫成集合的形式，從而的集合形式也確定． 【嘗試解答】　(1)當(dāng)角的終邊在第一象限時，角的集合為，當(dāng)角的終邊在第三象限時，角的集合為，故所求角的集合為∪ ＝. (2)∵2kπ＋π＜α＜2kπ＋π(k∈Z)， ∴kπ＋＜＜kπ＋π(k∈Z)． 當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第二象限角， 當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋＜＜2nπ＋π，是第四象限角，

7、 綜上知，當(dāng)α是第三象限角時，是第二或第四象限角． 規(guī)律方法1　1.若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α＜2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷. 2.利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角. 對點(diǎn)訓(xùn)練　若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α在(　　) A．第一或第三象限　　　 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【解析】　當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，α＝n·360°＋45°， 所以α在第一象限． 當(dāng)k＝2n

8、＋1(n∈Z)時，α＝n·360°＋225°， 所以α在第三象限． 綜上可知，α在第一或第三象限． 【答案】　A 考向二 [048]　扇形的弧長及面積公式 　已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長l. (2)若扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面積． 【思路點(diǎn)撥】　(1)可直接用弧長公式，但要注意用弧度制； (2)可用弧長或半徑表示出扇形面積，然后確定其最大值時的半徑和弧長，進(jìn)而求出圓心角α； (3)利用S弓＝S扇－S△，這樣就

9、需要求扇形的面積和三角形的面積． 【嘗試解答】　(1)l＝10×＝(cm)． (2)由已知得：l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以R＝5時，S取得最大值25，此時l＝10，α＝2 rad. (3)設(shè)弓形面積為S弓． 由題知l＝cm， S弓＝S扇－S△＝××2－×22×sin ＝(cm2)． 規(guī)律方法2　1.利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度. 2.本題把求扇形面積最大值的問題，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決，這是解決此類問題的常用方法. 3.在解決弧長問題和扇形面積問題時，要注意合

10、理地利用圓心角所在的三角形. 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10， (1)求弦AB所對的圓心角α的大??； (2)求α所在的扇形弧長l及弧所在的弓形的面積S. 【解】　(1)在△AOB中，AB＝OA＝OB＝10， ∴△AOB為等邊三角形． 因此弦AB所對的圓心角α＝. (2)由扇形的弧長與扇形面積公式，得 l＝α·R＝×10＝π， S扇形＝R·l＝α·R2＝. 又S△AOB＝·OA·OB·sin ＝25. ∴弓形的面積S＝S扇形－S△AOB＝50. 考向三 [049]　三角函數(shù)的定義 　(1)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(m，－3)，且cos α＝－，則m等于

11、(　　) A．－　　　　B.　　　　C．－4　　　　D．4 (2)已知角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解． (2)在直線上設(shè)一點(diǎn)P(4t，－3t)，求出點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求解，由于點(diǎn)P可在不同的象限內(nèi)，所以需分類討論． 【嘗試解答】　(1)點(diǎn)P到原點(diǎn)O距離|OP|＝， ∴cos α＝＝－， ∴，∴m＝－4. 【答案】　C (2)在直線3x＋4y＝0上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)， 則x＝4t，y＝－3t， ∴r＝|PO|＝＝＝5|t|，

12、 當(dāng)t＞0時，r＝5t， sin α＝＝＝－， cos α＝＝＝， tan α＝＝＝－； 當(dāng)t＜0時，r＝－5t，sin α＝＝＝， cos α＝＝＝－， tan α＝＝＝－. 綜上可知，當(dāng)t＞0時，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. 當(dāng)t＜0時，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－. 規(guī)律方法3　定義法求三角函數(shù)值的兩種情況 (1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后利用三角函數(shù)的定義求解. (2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的

13、傾斜角為特殊角，也可直接寫出角α的三角函數(shù)值. 對點(diǎn)訓(xùn)練　設(shè)90°＜α＜180°，角α的終邊上一點(diǎn)為P(x，)，且cos α＝x，求4sin α－3tan α的值． 【解】　∵r＝，∴cos α＝， 從而x＝， 解得x＝0或x＝±. ∵90°＜α＜180°， ∴x＜0，因此x＝－.則r＝2， ∴sin α＝＝，tan α＝＝－. 故4sin α－3tan α＝＋. 易錯易誤之六　|a|≠a——三角函數(shù)定義求值中引發(fā)的分類討論 ————　[1個示范例]　 ———— [1個防錯練]　———— 　　　(2014·臨沂模擬)已知角θ的終邊上一點(diǎn)p(3a,4a)(a≠0)，則s

14、in θ＝________. 【解析】　∵x＝3a，y＝4a， ∴r＝＝5|a|. 此處在求解時，常犯r＝5a的錯誤，出錯的原因在于去絕對值時，沒有對a進(jìn)行討論. (1)當(dāng)a＞0時，r＝5a，∴sin θ＝＝. (2)當(dāng)a＜0時，r＝－5a，∴sin θ＝＝－ ∴sin θ＝±. 【防范措施】　1.對于＝|a|，在去掉絕對值號后，應(yīng)分a≥0和a＜0兩種情況討論. 2.已知角α終邊上任意一點(diǎn)p(x，y)，求三角函數(shù)值時，應(yīng)用sin α＝，cos α＝，tan α＝求解. 　已知角α的終邊落在直線y＝2x上，則sin α＋cos α＝________. 【解析】　在角α的終邊上

15、任取一點(diǎn)P(t,2t)(t≠0)，則 r＝|OP|＝＝|t| (1)若t＞0，則sin α＝＝， cos α＝＝，sin α＋cos α＝. (2)若t＜0，則sin α＝－＝－， cos α＝－＝－，sin α＋cos α＝－. 綜上所述，sin α＋cos α＝±. 【答案】　± 第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 [考情展望]　1.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求三角函數(shù)值.2.借助誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式，進(jìn)而求三角函數(shù)值． 一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1．平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. 2．商數(shù)關(guān)系：tan α＝(α≠＋kπ，k∈Z)． 二、六組

16、誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 誘導(dǎo)公式記憶口訣 對于角“±α”(k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“

17、在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時，原函數(shù)值的符號”． 1．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，則sin α＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C.　　　　D．± 【解析】　∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－， ∴cos α＝，又α是第四象限角， ∴sin α＜0，則sin α＝－＝－. 【答案】　A 2．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，則θ等于(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)得 －sin θ＝－cos θ， ∴tan θ＝，又|θ|＜，∴θ＝，

18、故選D. 【答案】　D 3．sin 585°的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】　sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－. 【答案】　A 4．若cos α＝－且α∈，則tan α＝(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】　∵cos α＝－，且α∈， ∴sin α＝－＝－＝－， ∴tan α＝＝. 【答案】　B 5．(2012·遼寧高考)已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，則sin 2α＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 【解析】　

19、因為sin α－cos α＝，所以1－2sin αcos α＝2， 即sin 2α＝－1. 【答案】　A 6．(2013·廣東高考)已知sin＝，那么cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　sin＝cos α，故cos α＝，故選C. 【答案】　C 考向一 [050]　同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用 　(1)已知＝5，則sin2α－sin αcos α的值是(　　) A.　　　B．－　　　C．－2　　　D．2 (2)(2014·嘉興模擬)已知α∈，tan α＝2，則cos α＝________. 【思路點(diǎn)撥】　(1)先根據(jù)已知條件求得tan α，再

20、把所求式變?yōu)橛胻an α表示的式子求解； (2)切化弦，結(jié)合sin2α＋cos2α＝1求解． 【嘗試解答】　(1)由＝5，得＝5，即tan α＝2. 所以sin2α－sin αcos α＝＝＝. (2)依題意得 由此解得cos2α＝； 又α∈(π，)，因此cos α＝－. 【答案】　(1)A　(2)－ 規(guī)律方法1　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化. 2.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(2014·汕頭模擬)若t

21、an α＝2，則的值為(　　) A．0　　　　B.　　　　C．1　　　　D. (2)若α∈，且sin α＝，則tan α＝________. 【解析】　(1)∵tan α＝2， ∴＝＝＝. (2)∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－＝－， ∴tan α＝＝－. 【答案】　(1)B　(2)－ 考向二 [051]　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 　(1)sin 600°＋tan 240°的值等于(　　) A．－　　　B.　　　C.－　　　D.＋ (2)若sin＝，則cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. (3)(2014·濰坊模擬)已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸

22、正半軸重合，終邊在直線2x－y＝0上，則＝(　　) A．－2 B．2 C．0 D. 【思路點(diǎn)撥】　(1)直接利用誘導(dǎo)公式化簡． (2)分析角“－α”與“＋α”間的關(guān)系． (3)先求tan θ的值，再對原式化簡，代入求值便可． 【嘗試解答】　(1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin(180°＋60°)＋tan 60° ＝－sin 60°＋tan 60°＝－＋＝. (2)cos＝cos＝sin＝. (3)由題意可知tan θ＝2. 故＝ ＝＝＝2. 【答案】　(1)B　(2)C　(3)B 規(guī)律方法2

23、　1.利用誘導(dǎo)公式應(yīng)注意已知角或函數(shù)名稱與所求角或函數(shù)名稱之間存在的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓?，向所求角和三角函?shù)進(jìn)行化歸. 2.誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則：負(fù)化正、大化小、小化銳、銳求值. 考向三 [052]　sin α±cos α與sin α·cos α的關(guān)系 　(2014·昌平模擬)已知－π＜x＜0，sin x＋cos x＝. (1)求sin x－cos x的值； (2)求的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用平方關(guān)系，設(shè)法溝通sin x－cos x與sin x＋cos x的關(guān)系；(2)先利用倍角公式、商數(shù)關(guān)系式化為角x的弦函數(shù)，再設(shè)法將所求式子用已知表示出來． 【嘗試解答】　(1)法一：由s

24、in x＋cos x＝，平方得 sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－. ∵(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝. 又∵－π＜x＜0， ∴sin x＜0，又sin x＋cos x＞0， ∴cos x＞0，sin x－cos x＜0， 故sin x－cos x＝－. 所以sin x－cos x＝－法二：由法一可知sin xcos x＝－＜0， 又－π＜x＜0，所以sin x＜0，cos x＞0， 聯(lián)立得 －＝－. (2)＝ ＝＝＝－. 規(guī)律方法3　1.第(1)問應(yīng)注意x的范圍對sin x－cos x的

25、符號的影響.事實(shí)上根據(jù)條件可進(jìn)一步判定x∈. 2.對于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α這三個式子，已知其中一個式子的值，其余二式的值可求，轉(zhuǎn)化公式為(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，體現(xiàn)了方程思想的應(yīng)用. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(2014·威海模擬)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，則tan θ的值為(　　) A．－或－　　　 B．－ C．－ D．－ 【解析】　法一　由sin θ＋cos θ＝兩邊平方得， sin θcos θ＝－， 由sin θ·cos θ＝＝＝－， 解得tan θ＝－或tan θ＝－， ∵θ∈

26、(0，π)，0＜sin θ＋cos θ＝(－1)＜1， ∴θ∈，|sin θ|＞|cos θ|，∴|tan θ|＞1， 即θ∈. ∴tan θ＜－1， ∴tan θ＝－舍去， 故tan θ＝－. 法二：由sin θ＋cos θ＝，兩邊平方得 sin θ·cos θ＝－， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ ＝1＋＝＝2. ∵θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝(－1)＜1， ∴θ∈，sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝. 由 解得 ∴tan θ＝－. 【答案】　C 易錯易誤之七　撥云見日——三角函數(shù)式中“角范圍

27、”的信息提取 ————　[1個示范例]　———— [1個防錯練]　———— 　　(2012·大綱全國卷)已知α為第二象限角，sin α＋cos α＝，則cos 2α＝(　　) A．－　　　B．－　　　 C.　　　D. 【解析】　∵sin α＋cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝， ∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又∵α為第二象限角且sin α＋cos α＝>0， 此處在求解中，分析不出“sin α＋cos α＝＞0”這個隱含信息，導(dǎo)致后面的“α”范圍無法確定，進(jìn)而影響后面的解答. ∴2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)， ∴4kπ＋π<2α<4

28、kπ＋π(k∈Z)， ∴2α為第三象限角， ∴cos 2α＝－＝－. 【防范措施】　(1)由sin α＋cos α＝，隱含著sin α＋cos α＞0，即sin α＞－cos α，結(jié)合α為第二象限角可進(jìn)一步約束角α的范圍. (2)利用平方關(guān)系求三角函數(shù)值，開方時應(yīng)注意三角函數(shù)值符號的判斷. 　若sin θ，cos θ是關(guān)于x的方程5x2－x＋a＝0(a是常數(shù))的兩根，θ∈(0，π)，則cos 2θ的值為________． 【解析】　由題意可知，sin θ＋cos θ＝， ∴(sin θ＋cos θ)2＝， ∴sin 2θ＝－. 即2sin θcos θ＝－＜0，則sin θ與

29、cos θ異號， 又sin θ＋cos θ＝＞0， ∵＜θ＜. ∴π＜2θ＜， 故cos 2θ＝－＝－. 【答案】　－ 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) [考情展望]　1.考查三角函數(shù)圖象的識別.2.考查三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性).3.考查三角函數(shù)的值域(最值)． 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 x∈R x∈R x∈R且x≠＋kπ，k∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 單調(diào)性 遞增區(qū)間是[2kπ－，2kπ＋] (k∈Z)，

30、 遞減區(qū)間是 2kπ＋，2kπ＋(k∈Z) 遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)， 遞減區(qū)間是 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 遞增區(qū)間是（ kπ－，kπ＋）(k∈Z) 最值 ymax＝1； ymin＝－1 ymax＝1； ymin＝－1 無最大值和最小值 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 對稱性 對稱中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z ，k∈Z 對稱軸 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z 無對稱軸 最小正周期 2π 2π π 三角函數(shù)奇偶性的判斷技巧 1．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則 (1)

31、f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)； (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． 2．若f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A，ω≠0)，則 (1)f(x)為偶函數(shù)的充要條件是φ＝kπ(k∈Z)． (2)f(x)為奇函數(shù)的充要條件是φ＝＋kπ(k∈Z)． 1．函數(shù)y＝tan 3x的定義域為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由3x≠＋kπ，k∈Z得x≠＋，k∈Z，故選D. 【答案】　D 2．函數(shù)f(x)＝2cos是(　　) A．最小正周期為2π的奇函數(shù) B．最小正周期為2π的偶函數(shù) C．最小正周期為2π的非奇非偶函數(shù) D．最小正

32、周期為π的偶函數(shù) 【解析】　f(x)＝2cos＝2cos ＝－2sin x，故f(x)是最小正周期為2π的奇函數(shù)． 【答案】　A 3．函數(shù)f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是(　　) A．x＝　　　　 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－ 【解析】　法一　∵正弦函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，故令x－＝kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z. 取k＝－1，則x＝－. 法二　x＝時，y＝sin＝0，不合題意，排除A；x＝時，y＝sin＝，不合題意，排除B；x＝－時，y＝sin＝－1，符合題意，C項正確；而x＝－時，y＝sin＝－，不合題意，故D項也不正確． 【答案】　C

33、 4．比較大?。簊in________sin. 【解析】　∵－＜－＜－＜0，∴sin＞sin. 【答案】?。? 5．(2013·天津高考)函數(shù)f(x)＝sin在區(qū)間上的最小值為(　　) A．－1 B．－ C. D．0 【解析】　∵x∈[0，]，∴－≤2x－≤，∴當(dāng)2x－＝－時，f(x)＝sin(2x－)有最小值－. 【答案】　B 6．(2013·江蘇高考)函數(shù)y＝3sin的最小正周期為________． 【解析】　函數(shù)y＝3sin的最小正周期T＝＝π. 【答案】　π 考向一 [053]　三角函數(shù)的定義域和值域 　(1)函數(shù)y＝的定義域為________

34、． (2)求下列函數(shù)的值域： ①y＝2cos2 x＋2cos x； ②y＝3cos x－sin x，x∈[0，π]； ③y＝sin x＋cos x＋sin xcos x. 【思路點(diǎn)撥】　(1)由tan x－1≠0，且x≠＋kπ，k∈Z解得． (2)①令cos x＝t，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解，注意t的范圍． ②借助輔助角公式，化原式成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，借助函數(shù)的單調(diào)性求解． ③令sin x＋cos x＝t，則sin xcos x＝，從而轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域． 【嘗試解答】　(1)要使函數(shù)有意義，必需有 即 故函數(shù)的定義域為 . 【答案】　 (2)①y＝2

35、cos2x＋2cos x＝22－. 當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝1時，得ymax＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)cos x＝－時，得ymin＝－， 故函數(shù)值域為. ②y＝3cos x－sin x＝2 ＝2cos. ∵x∈[0，π]， ∴≤x＋≤， ∴－1≤cos≤， ∴－2≤2cos≤3. ∴y＝3cos x－sin x的值域為[－2，3]． ③法一：y＝sin xcos x＋sin x＋cos x ＝＋sin ＝sin2＋sin－ ＝2－1， 所以當(dāng)sin＝1時， y取最大值1＋－＝＋. 當(dāng)sin＝－時，y取最小值－1， ∴該函數(shù)值域為. 法二：設(shè)t＝sin x＋cos x，則

36、sin xcos x＝(－≤t≤)， y＝t＋t2－＝(t＋1)2－1， 當(dāng)t＝時，y取最大值為＋， 當(dāng)t＝－1時，y取最小值為－1. ∴函數(shù)值域為. 規(guī)律方法1　1.求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解三角不等式，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解. 2.求解三角函數(shù)的值域(最值)的常見類型及方法.,(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)； (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)； (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±c

37、os x)＋c的三角函數(shù)，可設(shè)t＝sin x±cos x，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求解. 考向二 [054]　三角函數(shù)的單調(diào)性 　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． (1)y＝sin；(2)y＝|tan x|. 【思路點(diǎn)撥】　(1)y＝－sin，再借助復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解；(2)由y＝tan x的圖象→y＝|tan x|的圖象→求單調(diào)區(qū)間． 【嘗試解答】　(1)y＝－sin， 它的增區(qū)間是y＝sin的減區(qū)間， 它的減區(qū)間是y＝sin的增區(qū)間． 由2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z， 得－≤x≤＋，k∈Z. 由2kπ＋≤3x－≤2kπ＋，k∈Z. 得＋≤x≤＋π，k∈Z. 故所給函數(shù)的減區(qū)

38、間為，k∈Z； 增區(qū)間為，k∈Z. (2)觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區(qū)間是，k∈Z，減區(qū)間是，k∈Z. 規(guī)律方法2　1.求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定. 2.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的單調(diào)區(qū)間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(2014·常州模擬)已知函數(shù)y＝sin， 求： (1)函數(shù)的周期； (2)求函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間． 【解】　由y＝sin可化為y＝－sin. (1

39、)周期T＝＝＝π. (2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 所以x∈R時，y＝sin的減區(qū)間為，k∈Z. 取k＝－1,0可得函數(shù)在[－π，0]上的單調(diào)遞減區(qū)間為和. 考向三 [055]　三角函數(shù)的奇偶性、周期性和對稱性 　(1)已知函數(shù)f(x)＝sin(πx－)－1，則下列說法正確的是(　　) A．f(x)是周期為1的奇函數(shù) B．f(x)是周期為2的偶函數(shù) C．f(x)是周期為1的非奇非偶函數(shù) D．f(x)是周期為2的非奇非偶函數(shù) (2)已知f(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)為偶函數(shù)，則φ可以取的一個值為(　　) A.　　

40、　　　　　　 B. C．－　　　　　　　 D．－ (3)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，給出以下四個論斷： ①它的最小正周期為π； ②它的圖象關(guān)于直線x＝成軸對稱圖形； ③它的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形； ④在區(qū)間上是增函數(shù)． 以其中兩個論斷作為條件，另兩個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題________(用序號表示即可)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)借助誘導(dǎo)公式對f(x)先化簡，再判斷． (2)化f(x)為Asin(ωx＋φ)的形式，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解． (3)本題是一個開放性題目，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象及單調(diào)性、周期性以及對稱性逐一判斷． 【嘗試解答】　(1)周期T

41、＝＝2，f(x)＝sin－1 ＝－cos πx－1，因此函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，故選B. (2)f(x)＝2＝2cos＝2cos，由f(x)為偶函數(shù)，知φ＋＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ－(k∈Z)，由所給選項知只有D適合． (3)若①、②成立，則ω＝＝2；令2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，且|φ|＜，故k＝0，∴φ＝.此時f(x)＝sin，當(dāng)x＝時，sin＝sin π＝0， ∴f(x)的圖象關(guān)于成中心對稱；又f(x)在上是增函數(shù)，∴在上也是增函數(shù)，因此①②?③④，用類似的分析可得①③?②④.因此填①②?③④或①③?②④. 【答案】　(1)B　(2)D　(3)①②?③④或①③?②④ 規(guī)律方法

42、3　1.判斷三角函數(shù)的奇偶性和周期性時，一般先將三角函數(shù)式化為一個角的一種三角函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念、三角函數(shù)奇偶性規(guī)律、三角函數(shù)的周期公式求解. 2.求三角函數(shù)的周期主要有三種方法：(1)周期定義；(2)利用正(余)弦型函數(shù)周期公式；(3)借助函數(shù)的圖象. 　 思想方法之九　研究三角函數(shù)性質(zhì)的一大“法寶”——整體思想 所謂整體思想就是研究問題時從整體出發(fā)，對問題的整體形式、結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行綜合分析、整體處理的思想方法． 在三角函數(shù)學(xué)習(xí)中，運(yùn)用“整體思想”可以解決以下幾類問題 (1)三角函數(shù)的化簡求值； (2)研究三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)(如定義域、值域、單調(diào)性等)； (3)解三角

43、不等式或求含參變量的取值范圍問題． ————　[1個示范例]　 ————[1個對點(diǎn)練]　———— 　　　(2012·課標(biāo)全國卷)已知ω>0，函數(shù)f(x)＝sin在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A.　　　 B. C. D．(0,2] 【解析】　由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋， 由題意知?， ∴ ∴≤ω≤，故選A. 已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是(　　) A.∪[6，＋∞) B.∪ C．(－∞，－2]∪[6，＋∞) D．(－∞，－2]∪ 【解析】　當(dāng)ω＞0時，由－≤x≤得 －ω≤ωx≤ω，由題意知，－ω≤－，∴ω

44、≥， 當(dāng)ω＜0時，由－≤x≤得ω≤ωx≤－ω， 由題意知，ω≤－，∴ω≤－2， 綜上知ω∈(－∞，－2]∪. 【答案】　D 　 第四節(jié)　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及三角函數(shù)模型的應(yīng)用 [考情展望]　1.考查函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換.2.考查函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象畫法或解析式的求法.3.以新問題新情景為切入點(diǎn)，考查三角函數(shù)模型的應(yīng)用． 一、y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二、用

45、五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖 用五點(diǎn)法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個關(guān)鍵點(diǎn)，如下表所示 x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 三、由y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖象 　(1)先平移后伸縮　　　　　(2)先伸縮后平移 兩種變換的差異 先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(ω＞0)個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的．

46、 1．已知簡諧運(yùn)動f(x)＝2sin的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,1)，則該簡諧運(yùn)動的最小正周期T和初相φ分別為(　　) A．T＝6，φ＝　 B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 【解析】　由題意知f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝， 又|φ|＜，∴φ＝，又T＝6，故選A. 【答案】　A 2．函數(shù)y＝sin在區(qū)間上的簡圖是下列選項中的(　　) 【解析】　當(dāng)x＝時，y＝sin＝0；當(dāng)x＝π時，y＝sin＝－，從而排除B、C、D，選A. 【答案】　A 3．將函數(shù)y＝sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖象上所有的點(diǎn)

47、向右平行移動個單位，得到圖象的函數(shù)解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin 【解析】　將y＝sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的圖象解析式為y＝sin x，再把所得圖象上所有點(diǎn)向右平移個單位，得到的圖象解析式為y＝sin ＝sin. 【答案】　D 圖3－4－1 4．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分圖象如圖3－4－1所示，則(　　) A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 【解析】　由圖象知A＝1，T＝4＝π， ∴＝π，ω＝2，排除A

48、，B，再由2×＋φ＝，得φ＝－. 【答案】　D 5．(2012·安徽高考)要得到函數(shù)y＝cos(2x＋1)的圖象，只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　) A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 【解析】　∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2， ∴只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向左平移個單位即可，故選C. 【答案】　C 6．(2013·四川高考)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖3－4－2所示，則ω，φ的值分別是(　　) 圖3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 【解析

49、】　∵＝π－π，∴T＝π. 又T＝(ω>0)， ∴＝π，∴ω＝2. 由五點(diǎn)作圖法可知當(dāng)x＝π時，ωx＋φ＝，即2×π＋φ＝，∴φ＝－.故選A. 【答案】　A 考向一 [056]　作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 　已知函數(shù)f(x)＝cos2x－2sin xcos x－sin2x. (1)將f(x)化為y＝Acos(ωx＋φ)的形式； (2)用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)中，作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象． 【思路點(diǎn)撥】　(1)運(yùn)用二倍角公式及兩角和與差的余弦公式化為y＝Acos(ωx＋φ)的形式； (2)在表中列出[0，π]上的特殊點(diǎn)及兩個區(qū)間端點(diǎn)，根據(jù)變化趨勢

50、畫出圖象． 【嘗試解答】　(1)f(x)＝cos2x－sin2x－2sin xcos x ＝cos 2x－sin 2x＝ ＝cos. (2)列表： 2x＋ π π 2π π x 0 π π π π f(x) 1 0 － 0 1 圖象為： 規(guī)律方法1　1.尋找[0，π]上的特殊點(diǎn)時，可先求出2x＋的范圍，在此范圍內(nèi)找出特殊點(diǎn)，再求出對應(yīng)的x值. 2.用“五點(diǎn)法”作圖應(yīng)注意四點(diǎn)：(1)將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；(2)求出周期T＝；(3)求出振幅A；(4

51、)列出一個周期內(nèi)的五個特殊點(diǎn)，當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時，應(yīng)列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn). 對點(diǎn)訓(xùn)練　已知函數(shù)f(x)＝sin.畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象． 【解】　∵0≤x≤π，∴≤2x＋≤.列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π y 1 0 －1 0 畫出圖象如圖所示． 考向二 [057]　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換 　(1)(2012·浙江高考)把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的

52、圖象是(　　) (2)(2013·課標(biāo)全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)y＝sin的圖象重合，則φ＝________. 【思路點(diǎn)撥】　(1)寫出變換后的函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象變換找圖象； (2)先進(jìn)行平移，得出的三角函數(shù)與所給的三角函數(shù)進(jìn)行比較，求出φ的值. 【嘗試解答】　(1)y＝cos 2x＋1y＝cos x＋1 y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)． 結(jié)合選項可知應(yīng)選A. (2)y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝cos的圖象，整理得y＝cos(2x－π＋φ)． ∵其圖象與y＝sin(2x＋)的圖

53、象重合， ∴φ－π＝－＋2kπ，∴φ＝＋π－＋2kπ， 即φ＝＋2kπ.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝. 【答案】　(1)A　(2) 規(guī)律方法2　對y＝Asin(ωx＋φ)進(jìn)行圖象變換時應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： (1)平移變換時，x變?yōu)閤±a(a＞0)，變換后的函數(shù)解析式為y＝Asin[ω(x±a)＋φ]； (2)伸縮變換時，x變?yōu)?橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為y＝Asin(x＋φ). 對點(diǎn)訓(xùn)練　(2014·濟(jì)南一中等四校聯(lián)考)為了得到函數(shù)y＝sin 2x的圖象，只需把函數(shù)y＝sin的圖象．(　　) A．向左平移個單位　 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向右

54、平移個單位 【解析】　∵y＝sin＝sin 2，故只需把該函數(shù)的圖象向右平移個單位便可得到函數(shù)y＝sin 2x的圖象． 【答案】　D 考向三 [058]　求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 　(1)如圖3－4－3是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(　　) 圖3－4－3 A．A＝3，T＝，φ＝－　　 B．A＝1，T＝，φ＝ C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－ (2)如圖3－4－4是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式為________． 圖

55、3－4－4 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用求A，借助T＝求ω，利用點(diǎn)求φ. (2)借助圖象特征求A及T，進(jìn)而求出ω，利用點(diǎn)或(π，0)，等條件確定φ的值． 【嘗試解答】　(1)由圖象知，A＝＝1，＝π－＝π，∴T＝π，ω＝，由π×＋φ＝＋2kπ， 得φ＝－π＋2kπ，k∈Z， 令k＝0得φ＝－π，故選C. 【答案】　C (2)由圖知A＝5，由＝－π＝，得T＝3π， ∴ω＝＝，此時y＝5sin. 下面求初相φ. 法一(單調(diào)性法)： ∵點(diǎn)(π，0)在遞減的那段曲線上， ∴＋φ∈(k∈Z)． 由sin＝0得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)． ∵|φ|＜π

56、，∴φ＝. ∴該函數(shù)的解析式為y＝5sin. 法二(最值點(diǎn)法)： 將最高點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝5sin， 得5sin＝5，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)． 又|φ|＜π，∴φ＝. ∴該函數(shù)的解析式為y＝5sin. 法三(起始點(diǎn)法)： 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象一般由“五點(diǎn)法”作出，而起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)x正是由ωx＋φ＝0解得的．故只需找出起始點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，就可以迅速求得φ.由圖象易得x0＝－，∴φ＝－ωx0＝－×＝. ∴該函數(shù)的解析式為y＝5sin. 法四(平移法)： 由圖象知，將y＝5sin的圖象沿x軸向左平移個單位，就得到本題圖象，故所求函數(shù)解析

57、式為y＝5sin. 規(guī)律方法3　1.求參數(shù)φ是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，由特殊點(diǎn)求φ時，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個點(diǎn). 2.用五點(diǎn)法求φ值時，往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個點(diǎn)為突破口.“第一點(diǎn)”(即圖象上升時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝0.“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時，ωx＋φ＝；“第三點(diǎn)”(即圖象下降時與x軸的交點(diǎn))時ωx＋φ＝π；“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“第五點(diǎn)”時ωx＋φ＝2π. 對點(diǎn)訓(xùn)練　(2013·大綱全國卷)若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖3－4－5，則ω＝(　　) 圖3－4－5 A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　

58、　D．2 【解析】　設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由函數(shù)圖象可知＝－x0＝，所以T＝.又因為T＝，可解得ω＝4. 【答案】　B 考向四 [059]　三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 圖3－4－6 　如圖3－4－6為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8 m,60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設(shè)B點(diǎn)與地面間的距離為h. (1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式； (2)設(shè)從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達(dá)OB，求h與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求纜車到達(dá)最高點(diǎn)時用的最少時間是多少？ 【思路點(diǎn)撥】　 【嘗試解答】　(1)以圓心O為原點(diǎn)

59、，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則以O(shè)x為始邊，OB為終邊的角為θ－. 故點(diǎn)B的坐標(biāo)為， ∴h＝5.6＋4.8sin. (2)點(diǎn)A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是， 故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為t， ∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 到達(dá)最高點(diǎn)時，h＝10.4 m. 由sin＝1且用時最少得t－＝， ∴t＝30，∴纜車到達(dá)最高點(diǎn)時，用的時間最少為30秒． 規(guī)律方法4　1.三角函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面：一是已知三角函數(shù)模型，準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則，二是把實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是合理建

60、模． 2．建模的方法是，認(rèn)真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語言”，這個過程就是數(shù)學(xué)建模的過程． 對點(diǎn)訓(xùn)練　 圖3－4－7 (2014·鄭州模擬)如圖3－4－7所示，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時針運(yùn)動，其初始位置為P0(，－)，角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 　　　 【解析】　∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝. 按逆時針轉(zhuǎn)時間t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－. 由三角函數(shù)定義，知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2sin， 因此d＝2. 當(dāng)點(diǎn)P在P0處時，t＝0，d＝，排除A、D； 當(dāng)t＝時，點(diǎn)P在x軸上，此時d＝0，排除B. 【

61、答案】　C 規(guī)范解答之四　三角函數(shù)的圖象性質(zhì)及平移變換 —————　[1個示范例]　————　[1個規(guī)范練]　————— 　　　(12分)(2012·山東高考)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A>0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． 【規(guī)范解答】　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x＝A＝Asin.4分 因為A>0，由題意知A＝6.6分 (2)由(1)得f(x)＝6sin.

62、將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位后得到y(tǒng)＝6sin＝6sin的圖象；8分 再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象.10分 因此g(x)＝6sin.因為x∈， 所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域為[－3,6].12分 【名師寄語】　(1)伸縮變換時，只是x的系數(shù)發(fā)生變化，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，則x變?yōu)?x，其他量不變. (2)求y＝Asin(ωx＋φ)的值域問題，應(yīng)先根據(jù)x的范圍，確定ωx＋φ的范圍，再數(shù)形結(jié)合求值域. (2013·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝sin x＋sin. (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集

63、合； (2)不畫圖，說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到． 【解】　(1)因為f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)， 所以當(dāng)x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)時，f(x)取得最小值－. 此時x的取值集合為. (2)先將y＝sin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍(橫坐標(biāo)不變)，得y＝sin x的圖象；再將y＝sin x的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位，得y＝f(x)的圖象． 第五節(jié)　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 [考情展望]　1.利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行三角函

64、數(shù)式的化簡與求值.2.利用二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與求值.3.與三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象和性質(zhì)相結(jié)合，考查學(xué)生的綜合能力． 一、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 1．六個公式： ①sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； ②cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β； ③tan(α±β)＝. 2．公式T(α±β)的變形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 二、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．三

65、個公式： ①sin 2α＝2sin_αcos_α； ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； ③tan 2α＝. 2．公式S2α、C2α的變形： ①sin αcos α＝sin 2α； ②sin2α＝(1－cos 2α)； ③cos2α＝(1＋cos 2α)． 1．sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是(　　) A.　　　 B.　　　 C．－　　　 D．－ 【解析】　sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26° ＝－(cos 34°cos 26°－sin 34°sin 26°)＝－co

66、s 60°＝－. 【答案】　C 2．下列各式中，值為的是(　　) A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215° C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215° 【解析】　2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，2sin215°－1＝－cos 30°＝－， sin215°＋cos215°＝1.故選B. 【答案】　B 3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，則tan 2α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 【解析】　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝＝－. 【答案】　D 4．若cos α＝－，α是第三象限角，則sin＝(　　) A．－ B. C．－ D. 【解析】　由題意知sin α＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－. 【答案】　A 5．(2013·江西高考)若sin ＝，則cos α＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析