新編高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題七：第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程案文

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1、新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第第 1 1 講講坐標(biāo)系與參數(shù)方程坐標(biāo)系與參數(shù)方程高考定位高考主要考查平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應(yīng)用.以極坐標(biāo)、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時(shí)考查直線與曲線位置關(guān)系等解析幾何知識(shí).真 題 感 悟1.(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos4.(1)設(shè)點(diǎn)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2，3 ，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面

2、積的最大值.解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10).由題設(shè)知|OP|，|OM|14cos.由|OM|OP|16 得C2的極坐標(biāo)方程為4cos(0).因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0).(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0).由題設(shè)知|OA|2，B4cos，于是OAB的面積S12|OA|BsinAOB4cos|sin3|2|sin23 32|2 3.當(dāng)12時(shí)，S取得最大值 2 3.所以O(shè)AB面積的最大值為 2 3.2.(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x3cos，ysin(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為xa4t，y1t(t為參數(shù)).(

3、1)若a1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若C上的點(diǎn)到l距離的最大值為 17，求a.解(1)a1 時(shí)，直線l的普通方程為x4y30.曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是x29y21，聯(lián)立方程x4y30，x29y21，解得x3，y0或x2125，y2425.則C與l交點(diǎn)坐標(biāo)是(3，0)和2125，2425 .(2)直線l的普通方程是x4y4a0.設(shè)曲線C上點(diǎn)P(3cos，sin).則P到l距離d|3cos4sin4a|17|5sin（）4a|17，其中 tan34.又點(diǎn)C到直線l距離的最大值為 17.|5sin()4a|的最大值為 17.若a0，則54a17，a8.若a0)且垂直于極軸：cosa；(3)直線過Mb，2

4、 且平行于極軸：sinb.3.圓的極坐標(biāo)方程幾個(gè)特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點(diǎn)，半徑為r：r；(2)當(dāng)圓心位于M(r，0)，半徑為r：2rcos；(3)當(dāng)圓心位于Mr，2 ，半徑為r：2rsin.4.直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為xx0tcos，yy0tsin(t為參數(shù)).設(shè)P是直線上的任一點(diǎn)，則t表示有向線段P0P的數(shù)量.5.圓、橢圓的參數(shù)方程(1)圓心在點(diǎn)M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為xx0rcos，yy0rsin(為參數(shù)，02).(2)橢圓x2a2y2b21 的參數(shù)方程為xacos，ybsin(為參數(shù)).熱點(diǎn)一曲線的極坐標(biāo)方

5、程【例 1】(2015全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為4(R R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積.解(1)因?yàn)閤cos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos4sin40.(2)將4代入22cos4sin40，得23 240，解得12 2，2 2.故12 2，即|MN| 2.由于C2的半徑為 1，所以C2MN的面積為12.【遷移探究 1】本例條件不變，求直線C1與曲線C3交點(diǎn)的極坐標(biāo).解聯(lián)立

6、方程cos2，4，解之得4且2 2.所以直線C1與曲線C3交點(diǎn)的極坐標(biāo)為2 2，4 .【遷移探究 2】本例條件不變，求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓的方程.解點(diǎn)(，)與點(diǎn)(，)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)(，)為對(duì)稱圓上任意一點(diǎn)，則(，)在圓C2上，()22cos4sin40，故所求圓C2關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱圓方程為22cos4sin40.探究提高1.進(jìn)行極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的關(guān)鍵是抓住互化公式：xcos，ysin，2x2y2，tanyx(x0)，要注意，的取值范圍及其影響，靈活運(yùn)用代入法和平方法等技巧.2.由極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，可先轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后求解.

7、【訓(xùn)練 1】 (2017北京東城區(qū)調(diào)研)在極坐標(biāo)系中， 已知極坐標(biāo)方程C1：cos 3sin10，C2：2cos.(1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀；(2)若曲線C1，C2交于A，B兩點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離.解(1)由C1：cos 3sin10，x 3y10，表示一條直線.由C2：2cos，得22cos.x2y22x，則(x1)2y21，C2是圓心為(1，0)，半徑r1 的圓.(2)由(1)知，點(diǎn)(1，0)在直線x 3y10 上，因此直線C1過圓C2的圓心.兩交點(diǎn)A，B的連線段是圓C2的直徑，因此兩交點(diǎn)A，B間的距離|AB|2r2.熱點(diǎn)二參數(shù)方程及其應(yīng)用【例 2】(2014全

8、國卷)已知曲線C：x24y291，直線l：x2t，y22t(t為參數(shù)).(1)寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為 30的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值.解(1)曲線C的參數(shù)方程為x2cos，y3sin(為參數(shù)).直線l的普通方程為 2xy60.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cos，3sin)到l的距離為d55|4cos3sin6|.則|PA|dsin 302 55|5sin()6|，其中為銳角，且 tan43.當(dāng) sin()1 時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為22 55；當(dāng) sin()1 時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為2 55.探究提高1

9、.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加減消參、三角恒等式消參等，往往需要對(duì)參數(shù)方程進(jìn)行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件.2.在與直線、圓、橢圓有關(guān)的題目中，參數(shù)方程的使用會(huì)使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關(guān)曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解.【訓(xùn)練 2】(2017郴州三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x2cos，y22sin(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為x122t，y22t(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)寫出直線l的普通方程以及曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l與曲

10、線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線l與x軸的交點(diǎn)為P，求|PM|PN|的值.解(1)直線l的參數(shù)方程為x122t，y22t(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得xy10.曲線C的參數(shù)方程為x2cos，y22sin(為參數(shù))，利用平方關(guān)系，得x2(y2)24，則x2y24y0.令2x2y2，ysin，代入得C的極坐標(biāo)方程為4sin.(2)在直線xy10 中，令y0，得點(diǎn)P(1，0).把直線l的參數(shù)方程代入圓C的方程得t23 2t10，t1t23 2，t1t21.由直線參數(shù)方程的幾何意義，|PM|PN|t1t2|1.熱點(diǎn)三極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用【例 3】(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參

11、數(shù)方程為x 3cos，ysin(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin4 2 2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).解(1)C1的普通方程為x23y21，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為( 3cos，sin).因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值.又d()| 3cossin4|2 2|sin3 2|，當(dāng)且僅當(dāng)2k6(kZ Z)時(shí)，d()取得最小值，最小值為 2，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為32，1

12、2 .探究提高1.涉及參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解.當(dāng)然，還要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程.2.數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達(dá)到化繁為簡的解題目的.【訓(xùn)練 3】(2017哈爾濱模擬)已知曲線C的參數(shù)方程為x22cos，y2sin(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 直線l的極坐標(biāo)方程為sin64.(1)寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)若射線3與曲線C交于O，A兩點(diǎn)， 與直線l交于B點(diǎn)， 射線116與曲線C交于O，P兩點(diǎn)，求PAB的面積

13、.解(1)由x22cos，y2sin(為參數(shù))，消去.普通方程為(x2)2y24.從而曲線C的極坐標(biāo)方程為24cos0，即4cos，因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin6 4，即32sin12cos4，直線l的直角坐標(biāo)方程為x 3y80.(2)依題意，A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為2，3 ，4，3 ，聯(lián)立射線116與曲線C的極坐標(biāo)方程得P點(diǎn)極坐標(biāo)為2 3，116，|AB|2，SPAB1222 3sin36 2 3.1.在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決.2.要熟悉常見曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，如：圓、

14、橢圓、及過一點(diǎn)的直線，在研究直線與它們的位置關(guān)系時(shí)常用的技巧是轉(zhuǎn)化為普通方程解答.3.過定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為xx0tcos，yy0tsin(t為參數(shù))，t的幾何意義是P0P的數(shù)量，即|t|表示P0到P的距離，t有正負(fù)之分.使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|t1t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為12(t1t2).1.(2017江蘇卷)在平面坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為x8t，yt2(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為x2s2，y2 2s(s為參數(shù)).設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值.解由x8t

15、，yt2消去t.得l的普通方程為x2y80，因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)點(diǎn)P(2s2，2 2s).則點(diǎn)P到直線l的距離d|2s24 2s8|52（s 2）245，當(dāng)s 2時(shí)，d有最小值454 55.2.(2017貴陽調(diào)研)以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，已知曲線的極坐標(biāo)方程為21sin.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)過極點(diǎn)O作直線l交曲線于點(diǎn)P，Q，若|OP|3|OQ|，求直線l的極坐標(biāo)方程.解(1)x2y2，siny，21sin化為sin2，曲線的直角坐標(biāo)方程為x24y4.(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為0(R R)，根據(jù)題意，不妨設(shè)P(0，0)，則Q(，

16、1)，且031，即21sin0321sin（0），解得06或056，直線l的極坐標(biāo)方程6(R R)或56(R R).3.(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為x2t，ykt(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為x2m，ymk(m為參數(shù)).設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cossin) 20，M為與C的交點(diǎn)，求M的極徑.解(1)由l1：x2t，ykt(t為參數(shù))消去t，化為l1的普通方程yk(x2)，同理得直線l2的普通方程為x2ky，聯(lián)立，消去k，得x2y24(y0)

17、.所以C的普通方程為x2y24(y0).(2)將直線l3化為普通方程為xy 2，聯(lián)立xy 2，x2y24得x3 22，y22，2x2y2184245，與C的交點(diǎn)M的極徑為 5.4.(2017新鄉(xiāng)三模)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos，曲線M的直角坐標(biāo)方程為x2y20(x0).(1)以曲線M上的點(diǎn)與點(diǎn)O連線的斜率k為參數(shù)，寫出曲線M的參數(shù)方程；(2)設(shè)曲線C與曲線M的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，求直線OA與直線OB的斜率之和.解(1)由x2y20（x0） ，ykx得x22k1，y2k2k1.故曲線M的參數(shù)方程為x22k1，y2k2k1k為參數(shù)，且k12

18、.(2)由4cos，得24cos，x2y24x.將x22k1，y2k2k1代入x2y24x整理得k24k30，k1k24.故直線OA與直線OB的斜率之和為 4.5.(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中， 曲線C1的參數(shù)方程為xacost，y1asint(t為參數(shù)，a0).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足 tan02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0，1)為圓心，a為半徑的圓.將x

19、cos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為22sin1a20.(2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組22sin1a20，4cos.若0，由方程組得 16cos28sincos1a20，由已知 tan2，可得 16cos28sincos0，從而 1a20，解得a1(舍去)，a1.a1 時(shí)，極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，在C3上.所以a1.6.(2017樂山二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x1tcos，ytsin(t為參數(shù)，0)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為4cos，圓C的圓心到直線l的距離為32.(1)求的值；(2)已知P(1，0)，若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，求1|PA|1|PB|的值.解(1)由直線l的參數(shù)方程為x1tcos，ytsin(t為參數(shù)， 0)， 消去參數(shù)t， 得xsinycossin0.圓C的極坐標(biāo)方程為4cos，即24cos.可得圓C的普通坐標(biāo)方程為x2y24x0，可知圓心為(2，0)，圓C的圓心到直線l的距離為d|2sinsin|sin2cos23sin.由題意：d32，即 3sin32，則 sin12，00，t1，t2是同號(hào).1|PA|1|PB|1|t1|1|t2|t1|t2|t1t2|t1t2|t1t2|3 35.