2013-2017高考數(shù)學(xué)分類匯編-第4章三角函數(shù)-2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（理科）

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1、 第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 題型50 已知解析式確定函數(shù)性質(zhì) 1.（2013江西理11）函數(shù)的最小正周期為為 ． 2.（2013江蘇1）函數(shù)的最小正周期為 . 3.（2014 遼寧理 9）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長度，所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)（ ）. A．在區(qū)間上單調(diào)遞減 B．在區(qū)間上單調(diào)遞增 C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增 4.（2014 陜西理 2）函數(shù)的最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 5.（201

2、4 新課標(biāo)2理14）函數(shù)的最大值為 . 5.（2014 福建理 16）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （1）若，且，求的值； （2）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 6.（2014 湖北理 17）（本小題滿分11分） 某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系： ，. （1）求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差； （2）若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？ 7.(2015安徽)已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）. A. B

3、. C. D. 7.解析 因?yàn)椋?，所以? 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取最小值,所以， 所以，所以． 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值． 下面需判斷,,與最近的最高點(diǎn)處的對(duì)稱軸的距離,距離越大,相應(yīng)的函數(shù)值越小， 如圖所示， 因?yàn)?，，? 所以．故選A． 8.（2015四川）下列函數(shù)中，最小正周期為且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是（ ）. A. B. C. D. 8.解析 由，可知選項(xiàng)A，B，C的周期都是，選項(xiàng)D的周期為. 通過化簡(jiǎn)可得，選項(xiàng)A： ，為奇函數(shù)； 選項(xiàng)B為：，為偶函數(shù)； 選項(xiàng)C為：，為非奇非偶函數(shù).故

4、選A. 9.（2015浙江）函數(shù)的最小正周期是 ，單調(diào)遞減區(qū)間是 ． 9.解析 因?yàn)椋? 所以. 所以，即. 所以單調(diào)遞減區(qū)間是. 10.（2015北京）已知函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間的最小值. 10.解析 （1） ，函數(shù)的最小正周期. （2）當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)在區(qū)間 的最小值為. 11.（2015廣東）在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量， . (1) 若，求的值； (2) 若與的夾角為，求的值. 11.解析 （1）因?yàn)?，，且? 所以， 所以，所以． （2） 由（1）依題知， 所以．又因?yàn)?，所以，即? 12.（20

5、15天津）已知函數(shù)，. （1）求最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最大值和最小值. 12.分析 (1) 利用兩角和與差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，由三角函數(shù)性質(zhì)可求最小正周期；(2)先寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可求函數(shù)的最大值與最小值. 解析 (1)由已知，有 ， 所以的最小正周期. (2)解法一：因?yàn)樵趨^(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)， ，，，所以在區(qū)間上的最大值 是，最小值是. 解法二：由，得，， ， . 當(dāng)時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，取得最大值為. 13.（2015重慶）已知函數(shù) （1）求的最小正周期和最大值； （2）討論在上的單調(diào)性. 13.解

6、析 （1） . 因此的最小正周期為，最大值為. （2）令，，得，， 所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，. 同理，的單調(diào)遞減區(qū)間為，. 故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減. 14.（2016山東理7）函數(shù)的最小正周期是（ ）. A． B． C． D． 14. B解析 由 ，所以最小正周期是. 故選B. 15.（2016浙江理5）設(shè)函數(shù)，則的最小正周期（ ）. A.與有關(guān)，且與有關(guān) B.與有關(guān)，但與無關(guān) C.與無關(guān)，且與無關(guān) D.與無關(guān)，但與有關(guān) 15.B

7、解析，的最小正周期為，的最小正周期為.當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最小正周期是； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最小正周期為.所以影響的最小正周期，而為常數(shù)項(xiàng)不影響的最小正周期.故選B. 16．（2016上海理7）方程在區(qū)間上的解為 ． 16．解析 由，即， 所以，故. 由于，故． 17．（2016江蘇9）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ． 17.解析 解法一（圖像法）：畫出函數(shù)圖像草圖，共個(gè)交點(diǎn)． 解法二（解方程）：即解方程，即. 所以或，由．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 共個(gè)根，即共個(gè)交點(diǎn)． 18.（2016天津理15）已知函數(shù). （1）求的定義域

8、與最小正周期；（2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性. 18.解析 （1）的定義域?yàn)? . 所以的最小正周期. （2）令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是. 由，得，. 設(shè)，，易知. 又，所以當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間上單調(diào)遞增， 在區(qū)間上單調(diào)遞減. 19.（2017全國3理6）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）. A．的一個(gè)周期為 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在上單調(diào)遞減 19.解析 函數(shù)的圖像可由向左平移個(gè)單位長度得到，由圖可知，在上先遞減后遞增，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選D. 題型51 根據(jù)條件確定解析式 1．（2013四川理5）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

9、 ）. A. B. C. D. 2. (2013安徽理16）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值； （2）討論在區(qū)間上的單調(diào)性. 3. (2013福建理20）已知函數(shù)的周期為，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)與的解析式； （2）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)確定的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由； （3）求實(shí)數(shù)與正整數(shù)，使得在內(nèi)恰有個(gè)零點(diǎn). 4.（2014 北京理 14）設(shè)函數(shù)，

10、（是常數(shù)，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為________. 5.（2014 大綱理 16）若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是 . 6.（2014 江蘇理 5）已知函數(shù)與，它們的圖像有一個(gè)橫坐標(biāo)為的交點(diǎn)，則的值是 ． 7.（2014 山東理 16）（本小題滿分12分）已知向量，函數(shù)，且的圖像過點(diǎn)和點(diǎn). （1）求的值； （2）將的圖像向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各最高點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的單調(diào)遞增區(qū)間. 8.（2014 重慶理 17）已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且圖像上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為. （1）求和的值；

11、 （2）若，求的值. 9.（2016全國乙理12）已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖像的對(duì)稱軸，且在上單調(diào)，則的最大值為（ ）. A. B. C. D. 9.B 解析 依題意，可得，，且，即. 故，，即，.當(dāng)時(shí)，.又， 因此在上不單調(diào).當(dāng)時(shí)，，且. 又，因此在上單調(diào)，則的最大值為9.故選B. 10.（2016浙江理10）已知，則______，________． 10. ； 解析 .所以. 11．（2016上海理13）設(shè)，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)組的組數(shù)為

12、 ． 11．解析 ①當(dāng)時(shí)，若，則；若，則； ②當(dāng)時(shí)，若，則；若，則．共組． 評(píng)注 或者如此考慮，當(dāng)確定時(shí)，也唯一確定，因此有種組合． 12.（2017天津理7）設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（ ）. A.， B.， C.， D.， 12.解析 解法一：由題意，其中，所以.又，所以，從而.由，由，得.故選A． 解法二：由，，易知為的一條對(duì)稱軸，點(diǎn)為的一個(gè)零點(diǎn)，則，又因?yàn)?，即.又，且的最小正周期大于，所以，從而，又，所以.故選A. 13.(2017浙江理18)已知函數(shù). （1）求的值； （2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 13.解析 （1）由，，

13、得. （2）由，，得， 所以的最小正周期是. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得，解得. 所以的單調(diào)遞增區(qū)間是. 題型52 三角函數(shù)的值域（最值) 14．(2013天津理15）已知函數(shù) (1) 求的最小正周期； (2) 求在區(qū)間上的最大值和最小值． 15. (2013陜西理16）已知向量，設(shè)函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值和最小值. 16.（2014 天津理 15）已知函數(shù)，. （1）求的最小正周期； （2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值. 17.（2016江蘇14）在銳角三角形中，若，則的最小值是 ． 17.分析 求解多元最值問題，首要

14、的關(guān)鍵是考慮如何消參． 解析 解法一：由 （*） 由三角形為銳角三角形，則，.同時(shí)除以得． 又，所以． 故， 不妨設(shè)，故， 所以當(dāng)，即時(shí)，．此時(shí)，， 解得，，（或，互換），此時(shí)均為銳角，滿足條件． 解法二：由解法一部分可知，在銳角三角形中，， 而，即， 從而（這個(gè)公式課本中作為例題出現(xiàn)要求證明）． 故， 整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，， 解得（或互換），此時(shí)均為銳角，滿足條件． 評(píng)注 從表面此題看似等價(jià)，但構(gòu)造等腰三角形求解出的最值卻不正確，因此等價(jià)的思想也需慎用．如果注意到此題的結(jié)構(gòu)，我們優(yōu)先考慮切化弦，且優(yōu)先考慮搭配，則有：解法三： （因?yàn)椋詈髾z驗(yàn)一下是

15、否存在即可． 題型53 三角函數(shù)圖像變換 1.（2013湖北理4）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（ ）. A． B． C． D． 2.（2013山東理5）將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則的一個(gè)可能取值為（ ）. A. B. C. D. 3.（2014 浙江理 4）為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ）. A. 向右平移個(gè)單位長度

16、 B.向左平移個(gè)單位長度 C.向右平移個(gè)單位長度 D.向左平移個(gè)單位長度 4.（2014 四川理 3）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)（ ）. A．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 5.（2014 新課標(biāo)1理6）如圖，圓的半徑為，是圓上的定點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖像大致為（ ）. 1 A. 1 B. 1

17、 C. Error! Reference source not found. 1 D. 6.（2014 安徽理 11）若將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小正值是 . 7.（2015湖南）將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對(duì)滿足的，，有，則（ ）. A. B. C. D. 7.解析 依題意向右平移個(gè)單位后，得到， 又因?yàn)?，所以不妨設(shè)，， 所以. 又因?yàn)?，所?故選D. 8.（2015全國1）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調(diào)

18、遞減區(qū)間為（ ）. A．， B．， C．， D．， 8.解析 由題可得，即，所以． 由圖可知，所以，解得，． 令，解得，所以． 令，解得.故選D． 9.（2015山東）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像( ). A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度 C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度 9.解析 因?yàn)?，所以要得到的圖像，只需將的圖像向右平移個(gè)單位．故選B． 10.（2015陜西）如圖，某港口一天6時(shí)到18時(shí)的水深變化曲線近似滿足函數(shù) ，據(jù)此函數(shù)可知，這段時(shí)間水深（單位：m）的最大值為（ ）． A．5

19、B．6 C．8 D．10 10.解析 根據(jù)圖像可知，函數(shù)最低點(diǎn)為2，即的最小值為2，所以，解得，，所以.故選C. 11.（2015福建）已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將 圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長度． (1)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程； (2)已知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解，． （?。┣髮?shí)數(shù)的取值范圍； （ⅱ）求證： 11.解析 解法一：（1）將的圖像上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長度后得到的圖像

20、，故，從而函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為． （2）（ⅰ）， 其中，．依題意，在內(nèi)有兩個(gè)不同的解， ，當(dāng)且僅當(dāng)，故的取值范圍是． （ⅱ）因?yàn)椋欠匠淘趦?nèi)的兩個(gè)不同的解， 所以，．當(dāng)時(shí)，， 即；當(dāng)時(shí)，， 即， 所以． 解法二：（1）同解法一． （2）（?。┩夥ㄒ唬? （ⅱ）因?yàn)椋欠匠淘趦?nèi)的兩個(gè)不同的解， 所以，．當(dāng)時(shí)，， 即；當(dāng)時(shí)，， 即，所以， 于是 ． 12.（2015湖北）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表： （1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答

21、題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)的解 析式； （2）將圖像上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到的圖 像. 若圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，求的最小值. 12.解析（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表： 0 0 5 0 0 且函數(shù)表達(dá)式為. （2）由（1）知 ，得. 因?yàn)榈膶?duì)稱中心為. 令，解得， . 由于函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，令， 解得. 由可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值. 13.（2016全國甲理7）若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移

22、個(gè)單位長度，則平移后圖像的對(duì)稱軸為（ ）. A. B. C. D. 13. B 解析 平移后圖像表達(dá)式為，令，得對(duì)稱軸方程：.故選B． 14.（2016四川理3）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)（ ）. A.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 C.向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D.向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 14.解析 由題意，為得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位.故選D. 15.（2016北京理7）將函數(shù)圖像上的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得到點(diǎn).若 位于函數(shù)的圖像上，則（

23、 ）. A.，的最小值為 B.，的最小值為 C.，的最小值為 D.，的最小值為 15.A解析 解法一（排除法）：由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上， 可得，這樣就可排除選項(xiàng)B，D. 進(jìn)而可得點(diǎn). 又點(diǎn)位于函數(shù)的圖像上，所以 ① 由此可排除選項(xiàng)C. 故選A. 解法二：由①可得，Z)，Z). 再由，可得的最小值為.故選A. 16.（2016全國丙理14）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移___________個(gè)單位長度得到. 16.解析 由，，顯然函數(shù)的圖像可由的圖像至少向右平移個(gè)單位長度得到. 17.（2017全國1理9）已

24、知曲線，， 則下面結(jié)論正確的是（ ）. A.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線 B.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線 C.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線 D.把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線 17.解析 ，. 首先曲線，統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理． ．橫坐標(biāo)變換需將變成， 即． 注意的系數(shù)，左右平移需將提到括號(hào)外面，這時(shí)平移至， 根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．故選D. 18.（2017山東理1）設(shè)函數(shù)，其中.已知. （1）求； （2）將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖像，求在上的最小值. 18.解析 （1）因?yàn)椋? 所以. 由題設(shè)知，所以，. 故，，又，所以. （2）由（1）得，所以. 因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最小值.