2013-2017高考數(shù)學分類匯編-第4章三角函數(shù)-2三角函數(shù)的圖像與性質（理科）

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1、 第二節(jié) 三角函數(shù)的圖像與性質 題型50 已知解析式確定函數(shù)性質 1.（2013江西理11）函數(shù)的最小正周期為為 ． 2.（2013江蘇1）函數(shù)的最小正周期為 . 3.（2014 遼寧理 9）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，所得圖像對應的函數(shù)（ ）. A．在區(qū)間上單調遞減 B．在區(qū)間上單調遞增 C．在區(qū)間上單調遞減 D．在區(qū)間上單調遞增 4.（2014 陜西理 2）函數(shù)的最小正周期是（ ）. A. B. C. D. 5.（201

2、4 新課標2理14）函數(shù)的最大值為 . 5.（2014 福建理 16）（本小題滿分13分）已知函數(shù). （1）若，且，求的值； （2）求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間. 6.（2014 湖北理 17）（本小題滿分11分） 某實驗室一天的溫度（單位：）隨時間（單位：）的變化近似滿足函數(shù)關系： ，. （1）求實驗室這一天的最大溫差； （2）若要求實驗室溫度不高于，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 7.(2015安徽)已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當時，函數(shù)取得最小值，則下列結論正確的是（ ）. A. B

3、. C. D. 7.解析 因為，所以，所以． 因為當時，取最小值,所以， 所以，所以． 當時，即時，取最大值． 下面需判斷,,與最近的最高點處的對稱軸的距離,距離越大,相應的函數(shù)值越小， 如圖所示， 因為，，， 所以．故選A． 8.（2015四川）下列函數(shù)中，最小正周期為且圖像關于原點對稱的函數(shù)是（ ）. A. B. C. D. 8.解析 由，可知選項A，B，C的周期都是，選項D的周期為. 通過化簡可得，選項A： ，為奇函數(shù)； 選項B為：，為偶函數(shù)； 選項C為：，為非奇非偶函數(shù).故

4、選A. 9.（2015浙江）函數(shù)的最小正周期是 ，單調遞減區(qū)間是 ． 9.解析 因為， 所以. 所以，即. 所以單調遞減區(qū)間是. 10.（2015北京）已知函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求在區(qū)間的最小值. 10.解析 （1） ，函數(shù)的最小正周期. （2）當時，，，函數(shù)在區(qū)間 的最小值為. 11.（2015廣東）在平面直角坐標系中，已知向量， . (1) 若，求的值； (2) 若與的夾角為，求的值. 11.解析 （1）因為，，且， 所以， 所以，所以． （2） 由（1）依題知， 所以．又因為，所以，即． 12.（20

5、15天津）已知函數(shù)，. （1）求最小正周期； （2）求在區(qū)間上的最大值和最小值. 12.分析 (1) 利用兩角和與差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化簡函數(shù)的解析式，由三角函數(shù)性質可求最小正周期；(2)先寫出函數(shù)的單調區(qū)間，即可求函數(shù)的最大值與最小值. 解析 (1)由已知，有 ， 所以的最小正周期. (2)解法一：因為在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)， ，，，所以在區(qū)間上的最大值 是，最小值是. 解法二：由，得，， ， . 當時，取得最小值，當時，取得最大值為. 13.（2015重慶）已知函數(shù) （1）求的最小正周期和最大值； （2）討論在上的單調性. 13.解

6、析 （1） . 因此的最小正周期為，最大值為. （2）令，，得，， 所以的單調遞增區(qū)間為，. 同理，的單調遞減區(qū)間為，. 故當時，在上單調遞增，在上單調遞減. 14.（2016山東理7）函數(shù)的最小正周期是（ ）. A． B． C． D． 14. B解析 由 ，所以最小正周期是. 故選B. 15.（2016浙江理5）設函數(shù)，則的最小正周期（ ）. A.與有關，且與有關 B.與有關，但與無關 C.與無關，且與無關 D.與無關，但與有關 15.B

7、解析，的最小正周期為，的最小正周期為.當時，此時的最小正周期是； 當時，此時的最小正周期為.所以影響的最小正周期，而為常數(shù)項不影響的最小正周期.故選B. 16．（2016上海理7）方程在區(qū)間上的解為 ． 16．解析 由，即， 所以，故. 由于，故． 17．（2016江蘇9）定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像的交點個數(shù)是 ． 17.解析 解法一（圖像法）：畫出函數(shù)圖像草圖，共個交點． 解法二（解方程）：即解方程，即. 所以或，由．當時，；當時，． 共個根，即共個交點． 18.（2016天津理15）已知函數(shù). （1）求的定義域

8、與最小正周期；（2）討論在區(qū)間上的單調性. 18.解析 （1）的定義域為. . 所以的最小正周期. （2）令，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是. 由，得，. 設，，易知. 又，所以當時， 在區(qū)間上單調遞增， 在區(qū)間上單調遞減. 19.（2017全國3理6）設函數(shù)，則下列結論錯誤的是（ ）. A．的一個周期為 B．的圖像關于直線對稱 C．的一個零點為 D．在上單調遞減 19.解析 函數(shù)的圖像可由向左平移個單位長度得到，由圖可知，在上先遞減后遞增，所以D選項錯誤.故選D. 題型51 根據條件確定解析式 1．（2013四川理5）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（

9、 ）. A. B. C. D. 2. (2013安徽理16）已知函數(shù)的最小正周期為. （1）求的值； （2）討論在區(qū)間上的單調性. 3. (2013福建理20）已知函數(shù)的周期為，圖象的一個對稱中心為，將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)與的解析式； （2）是否存在，使得按照某種順序成等差數(shù)列？若存在，請確定的個數(shù)，若不存在，說明理由； （3）求實數(shù)與正整數(shù)，使得在內恰有個零點. 4.（2014 北京理 14）設函數(shù)，

10、（是常數(shù)，），若在區(qū)間上具有單調性，且，則的最小正周期為________. 5.（2014 大綱理 16）若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，則的取值范圍是 . 6.（2014 江蘇理 5）已知函數(shù)與，它們的圖像有一個橫坐標為的交點，則的值是 ． 7.（2014 山東理 16）（本小題滿分12分）已知向量，函數(shù)，且的圖像過點和點. （1）求的值； （2）將的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若圖像上各最高點到點的距離的最小值為，求的單調遞增區(qū)間. 8.（2014 重慶理 17）已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，且圖像上相鄰兩個最高點的距離為. （1）求和的值；

11、 （2）若，求的值. 9.（2016全國乙理12）已知函數(shù)，為的零點，為圖像的對稱軸，且在上單調，則的最大值為（ ）. A. B. C. D. 9.B 解析 依題意，可得，，且，即. 故，，即，.當時，.又， 因此在上不單調.當時，，且. 又，因此在上單調，則的最大值為9.故選B. 10.（2016浙江理10）已知，則______，________． 10. ； 解析 .所以. 11．（2016上海理13）設，，若對任意實數(shù)都有，則滿足條件的有序實數(shù)組的組數(shù)為

12、 ． 11．解析 ①當時，若，則；若，則； ②當時，若，則；若，則．共組． 評注 或者如此考慮，當確定時，也唯一確定，因此有種組合． 12.（2017天津理7）設函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則（ ）. A.， B.， C.， D.， 12.解析 解法一：由題意，其中，所以.又，所以，從而.由，由，得.故選A． 解法二：由，，易知為的一條對稱軸，點為的一個零點，則，又因為 ，即.又，且的最小正周期大于，所以，從而，又，所以.故選A. 13.(2017浙江理18)已知函數(shù). （1）求的值； （2）求的最小正周期及單調遞增區(qū)間. 13.解析 （1）由，，

13、得. （2）由，，得， 所以的最小正周期是. 由正弦函數(shù)的性質得，解得. 所以的單調遞增區(qū)間是. 題型52 三角函數(shù)的值域（最值) 14．(2013天津理15）已知函數(shù) (1) 求的最小正周期； (2) 求在區(qū)間上的最大值和最小值． 15. (2013陜西理16）已知向量，設函數(shù). （1）求的最小正周期； （2）求在上的最大值和最小值. 16.（2014 天津理 15）已知函數(shù)，. （1）求的最小正周期； （2）求在閉區(qū)間上的最大值和最小值. 17.（2016江蘇14）在銳角三角形中，若，則的最小值是 ． 17.分析 求解多元最值問題，首要

14、的關鍵是考慮如何消參． 解析 解法一：由 （*） 由三角形為銳角三角形，則，.同時除以得． 又，所以． 故， 不妨設，故， 所以當，即時，．此時，， 解得，，（或，互換），此時均為銳角，滿足條件． 解法二：由解法一部分可知，在銳角三角形中，， 而，即， 從而（這個公式課本中作為例題出現(xiàn)要求證明）． 故， 整理得，當且僅當，， 解得（或互換），此時均為銳角，滿足條件． 評注 從表面此題看似等價，但構造等腰三角形求解出的最值卻不正確，因此等價的思想也需慎用．如果注意到此題的結構，我們優(yōu)先考慮切化弦，且優(yōu)先考慮搭配，則有：解法三： （因為）．最后檢驗一下是

15、否存在即可． 題型53 三角函數(shù)圖像變換 1.（2013湖北理4）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（ ）. A． B． C． D． 2.（2013山東理5）將函數(shù)的圖象沿軸向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的一個可能取值為（ ）. A. B. C. D. 3.（2014 浙江理 4）為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（ ）. A. 向右平移個單位長度

16、 B.向左平移個單位長度 C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度 4.（2014 四川理 3）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點（ ）. A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度 C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度 5.（2014 新課標1理6）如圖，圓的半徑為，是圓上的定點，是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖像大致為（ ）. 1 A. 1 B. 1

17、 C. Error! Reference source not found. 1 D. 6.（2014 安徽理 11）若將函數(shù)的圖像向右平移個單位，所得圖像關于軸對稱，則的最小正值是 . 7.（2015湖南）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有，則（ ）. A. B. C. D. 7.解析 依題意向右平移個單位后，得到， 又因為，所以不妨設，， 所以. 又因為，所以.故選D. 8.（2015全國1）函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的單調

18、遞減區(qū)間為（ ）. A．， B．， C．， D．， 8.解析 由題可得，即，所以． 由圖可知，所以，解得，． 令，解得，所以． 令，解得.故選D． 9.（2015山東）要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像( ). A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 9.解析 因為，所以要得到的圖像，只需將的圖像向右平移個單位．故選B． 10.（2015陜西）如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù) ，據此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（ ）． A．5

19、B．6 C．8 D．10 10.解析 根據圖像可知，函數(shù)最低點為2，即的最小值為2，所以，解得，，所以.故選C. 11.（2015福建）已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經如下變換得到：先將 圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），再將所得到的圖像向右平移個單位長度． (1)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對稱軸方程； (2)已知關于的方程在內有兩個不同的解，． （ⅰ）求實數(shù)的取值范圍； （ⅱ）求證： 11.解析 解法一：（1）將的圖像上的所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個單位長度后得到的圖像

20、，故，從而函數(shù)圖像的對稱軸方程為． （2）（?。?， 其中，．依題意，在內有兩個不同的解， ，當且僅當，故的取值范圍是． （ⅱ）因為，是方程在內的兩個不同的解， 所以，．當時，， 即；當時，， 即， 所以． 解法二：（1）同解法一． （2）（?。┩夥ㄒ唬? （ⅱ）因為，是方程在內的兩個不同的解， 所以，．當時，， 即；當時，， 即，所以， 于是 ． 12.（2015湖北）某同學用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內的圖像時，列表并填入了部分數(shù)據，如下表： （1）請將上表數(shù)據補充完整，填寫在答

21、題卡上相應位置，并直接寫出函數(shù)的解 析式； （2）將圖像上所有點向左平行移動個單位長度，得到的圖 像. 若圖像的一個對稱中心為，求的最小值. 12.解析（1）根據表中已知數(shù)據，解得. 數(shù)據補全如下表： 0 0 5 0 0 且函數(shù)表達式為. （2）由（1）知 ，得. 因為的對稱中心為. 令，解得， . 由于函數(shù)的圖像關于點成中心對稱，令， 解得. 由可知，當時，取得最小值. 13.（2016全國甲理7）若將函數(shù)y=2sin 2x的圖像向左平移

22、個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為（ ）. A. B. C. D. 13. B 解析 平移后圖像表達式為，令，得對稱軸方程：.故選B． 14.（2016四川理3）為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點（ ）. A.向左平行移動個單位長度 B.向右平行移動個單位長度 C.向左平行移動個單位長度 D.向右平行移動個單位長度 14.解析 由題意，為得到函數(shù)，只需把函數(shù)的圖像上所有點向右平移個單位.故選D. 15.（2016北京理7）將函數(shù)圖像上的點向左平移個單位長度得到點.若 位于函數(shù)的圖像上，則（

23、 ）. A.，的最小值為 B.，的最小值為 C.，的最小值為 D.，的最小值為 15.A解析 解法一（排除法）：由點在函數(shù)的圖像上， 可得，這樣就可排除選項B，D. 進而可得點. 又點位于函數(shù)的圖像上，所以 ① 由此可排除選項C. 故選A. 解法二：由①可得，Z)，Z). 再由，可得的最小值為.故選A. 16.（2016全國丙理14）函數(shù)的圖像可由函數(shù)的圖像至少向右平移___________個單位長度得到. 16.解析 由，，顯然函數(shù)的圖像可由的圖像至少向右平移個單位長度得到. 17.（2017全國1理9）已

24、知曲線，， 則下面結論正確的是（ ）. A.把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線 B.把上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 C.把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線 D.把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線 17.解析 ，. 首先曲線，統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導公式處理． ．橫坐標變換需將變成， 即． 注意的系數(shù)，左右平移需將提到括號外面，這時平移至， 根據“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．故選D. 18.（2017山東理1）設函數(shù)，其中.已知. （1）求； （2）將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，求在上的最小值. 18.解析 （1）因為， 所以. 由題設知，所以，. 故，，又，所以. （2）由（1）得，所以. 因為，所以，當，即時，取得最小值.