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1、
2.2.2 平面與平面平行的判定
2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì)
整體設(shè)計(jì)
教學(xué)分析
空間中平面與平面之間的位置關(guān)系中，平行是一種非常重要的位置關(guān)系，它不僅應(yīng)用較多，而且是空間問題平面化的典范.空間中平面與平面平行的判定定理給出了由線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行的方法；面面平行的性質(zhì)定理又給出了由面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行的方法，所以本節(jié)在立體幾何中占有重要地位.本節(jié)重點(diǎn)是平面與平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理的應(yīng)用.
三維目標(biāo)
1.通過圖形探究平面與平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理.
2.熟練掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用.
3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,
2、以及邏輯思維能力.
重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):平面與平面平行的判定與性質(zhì).
教學(xué)難點(diǎn):平面與平面平行的判定.
課時(shí)安排
1課時(shí)
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
思路1.(情境導(dǎo)入)
大家都見過蜻蜓和直升飛機(jī)在天空飛翔，蜻蜓的翅膀可以看作兩條平行直線，當(dāng)蜻蜓的翅膀與地面平行時(shí)，蜻蜓所在的平面是否與地面平行？直升飛機(jī)的所有螺旋槳與地面平行時(shí)，能否判定螺旋槳所在的平面與地面平行？由此請(qǐng)大家探究?jī)善矫嫫叫械臈l件.
思路2.(事例導(dǎo)入)
三角板的一條邊所在直線與桌面平行，這個(gè)三角板所在的平面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，情況又如何呢？下面我們討論平面與平
3、面平行的判定問題.
推進(jìn)新課
新知探究
提出問題
①回憶空間兩平面的位置關(guān)系.
②欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行，欲判定面面平行可如何轉(zhuǎn)化？
③找出恰當(dāng)空間模型加以說明.
④用三種語言描述平面與平面平行的判定定理.
⑤應(yīng)用面面平行的判定定理應(yīng)注意什么？
⑥利用空間模型探究：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系？
⑦回憶線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合模型探究面面平行的性質(zhì)定理.
⑧用三種語言描述平面與平面平行的性質(zhì)定理.
⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)在哪里？
⑩應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理口訣是什么？
活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提
4、示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路.
問題①引導(dǎo)學(xué)生回憶兩平面的位置關(guān)系.
問題②面面平行可轉(zhuǎn)化為線面平行.
問題③借助模型鍛煉學(xué)生的空間想象能力.
問題④引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換.
問題⑤引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面平行的判定定理容易忽視哪個(gè)條件.
問題⑥引導(dǎo)學(xué)生畫圖探究，注意考慮問題的全面性.
問題⑦注意平行與異面的區(qū)別.
問題⑧引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語言轉(zhuǎn)換.
問題⑨作輔助面.
問題⑩引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，把握面面平行的性質(zhì).
討論結(jié)果：①如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β.
如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若α
5、∩β=AB,則α與β相交.
兩平面平行與相交的圖形表示如圖1.
圖1
②由兩個(gè)平面平行的定義可知：其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個(gè)平面平行.這是因?yàn)樵谶@些直線中，如果有一條直線和另一平面有公共點(diǎn)，這點(diǎn)也必是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面就不可能平行了.
另一方面，若一個(gè)平面內(nèi)所有直線都和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，否則，這兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，那么在一個(gè)平面內(nèi)通過這點(diǎn)的直線就不可能平行于另一個(gè)平面.
由此將判定兩個(gè)平面平行的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行的問題，但事實(shí)上判定兩個(gè)平面平行的條件不需要一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一平面，到底
6、要多少條直線（且直線與直線應(yīng)具備什么位置關(guān)系）與另一面平行，才能判定兩個(gè)平面平行呢？
③如圖2,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面不一定平行.
圖2
例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.
如圖3,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面也不一定平行.
圖3
例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′.
如圖4,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面一定
7、平行.
圖4
例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直線A′C′與直線B′D′相交.
可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD.
④兩個(gè)平面平行的判定定理：
如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.
以上是兩個(gè)平面平行的文字語言，另外面面平行的判定定理的符號(hào)語言為：
若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，則α∥β.
圖形語言為：如圖5,
圖5
⑤利用判定定理證明兩個(gè)平面平行，必須具備：
(Ⅰ)有兩條直線平行于另一個(gè)平面;
(Ⅱ)這兩條直線必須相交.
8、
尤其是第二條學(xué)生容易忽視，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào).
⑥如圖6,借助長(zhǎng)方體模型，我們看到，B′D′所在的平面A′C′與平面AC平行，所以B′D′與平面AC沒有公共點(diǎn).也就是說，B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線沒有公共點(diǎn).因此，直線B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線.
圖6
⑦直線與平面平行的性質(zhì)定理用文字語言表示為：
如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.
因?yàn)?，直線B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線，只要過B′D′作平面BDD′B′與平面AC相交于直線BD，那么直線B′D′與直線BD平行.
9、 如圖7.
圖7
⑧兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用文字語言表示為：
如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用符號(hào)語言表示為：a∥b.
兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖8.
圖8
⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)是：過某些點(diǎn)或直線作一個(gè)平面.
⑩應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的口訣：“見到面面平行，先過某些直線作兩個(gè)平面的交線.”
應(yīng)用示例
思路1
例1 已知正方體ABCD—A1B1C1D1，如圖9,求證：平面AB1D1∥平面BDC1.
圖9
活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視學(xué)生的解答
10、，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正,并及時(shí)評(píng)價(jià).
證明：∵ABCD—A1B1C1D1為正方體，
∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1.
又∵AB∥A1B1,AB=A1B1,
∴D1C1∥AB,D1C1=AB.
∴四邊形ABC1D1為平行四邊形.
∴AD1∥BC1.
又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.
同理，BD∥平面AB1D1.
又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.
變式訓(xùn)練
如圖10,在正方體ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求證：平面MNA∥平面PQG.
圖10
11、
證明：∵M(jìn)、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,
∴MN∥PQ.
∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四邊形RPGH為平行四邊形，四邊形ARHM為平行四邊形.
∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG.
∵M(jìn)N∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG.
同理可證，AM∥平面PQG.又直線AM與直線MN相交，
∴平面MNA∥平面PQG.
點(diǎn)評(píng)：證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，所以關(guān)鍵是證線線平行.
例2 證明兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理.
解：如圖11,
12、已知平面α、β、γ滿足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求證:a∥b.
圖11
證明：∵平面α∥平面β,
∴平面α和平面β沒有公共點(diǎn).
又aα，bβ,
∴直線a、b沒有公共點(diǎn).
又∵α∩γ=a，β∩γ=b,
∴aγ，bγ.∴a∥b.
變式訓(xùn)練
如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.
解：已知α∥β，γ∥β，求證：α∥γ.
證明：如圖12，作兩個(gè)相交平面分別與α、β、γ交于a、c、e和b、d、f,
圖12
.
點(diǎn)評(píng)：欲將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，先要作平面.
知能訓(xùn)練
已知：a、b是異面直線，a平面α,b平面β，a∥β，b∥α.
13、求證：α∥β.
證明：如圖13,在b上任取點(diǎn)P，顯然Pa.于是a和點(diǎn)P確定平面γ，且γ與β有公共點(diǎn)P.
圖13
設(shè)γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α.
這樣β內(nèi)相交直線a′和b都平行于α，∴α∥β.
拓展提升
1.如圖14，兩條異面直線AB、CD與三個(gè)平行平面α、β、γ分別相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC與平面的交點(diǎn)為H、G.
圖14
求證：EHFG為平行四邊形.
證明：AC∥EG.同理,AC∥HF.
EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四邊形.
課堂小結(jié)
知識(shí)總結(jié)：利用面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)證明線面平行.
方法總結(jié)：見到面面平行,利用面面平行的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線平行,本節(jié)是“轉(zhuǎn)化思想”的典型素材.
作業(yè)
課本習(xí)題2.2 A組7、8.
設(shè)計(jì)感想
面面關(guān)系是直線與平面關(guān)系中比較復(fù)雜的關(guān)系，它是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)，因此它在立體幾何中占有比較重要的地位.本節(jié)選用了大量的經(jīng)典習(xí)題作為素材，對(duì)于學(xué)生學(xué)好面面平行的判定與性質(zhì)一定會(huì)有很大的幫助，本節(jié)的引入也別具一格，相信這是一節(jié)大家喜歡的精彩課例.
高中數(shù)學(xué)必修2教案7_示范教案（2_2_4平面與平面平行的性質(zhì)）
