【人教A版】新編高中數(shù)學 第三章 不等式章末知識總結 新人教A版必修5

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1、 新編人教版精品教學資料 高中數(shù)學 第三章 不等式章末知識總結 新人教A版必修5 一、本章概述 不等關系是中學數(shù)學中最基本、最廣泛、最普遍的關系． 不等關系起源于實數(shù)的性質(zhì)，產(chǎn)生了實數(shù)的大小關系、簡單不等式、不等式的基本性質(zhì)，如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關系，又產(chǎn)生了重要不等式、基本不等式等． 不等式是永恒的嗎？顯然不是，由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個極為重要的問題．解不等式即尋求不等式成立時變量應滿足的范圍或條件，不同類型的不等式又有不同的解法．不等式證明則是推理性問題或探索性問題．推理性即在特定條件下，闡述論證過程，揭示內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法、綜合法

2、、分析法；探索性問題大多是與自然數(shù)n有關的證明問題，常采用觀察—歸納—猜想—證明的思路，以數(shù)學歸納法完成證明．另外，不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構造法等．不等式中常見的基本思想方法有等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結合、函數(shù)與方程． 不等式的知識滲透在數(shù)學中的各個分支，相互之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此不等式又可作為一個工具來解決數(shù)學中的其他問題，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，以及三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，這些問題無一不與不等式有著密切的聯(lián)系．不等式還可以解決現(xiàn)實世界中反映出來的數(shù)學問題，許多問題最終歸結為不等式的求

3、解或證明． 解決這類綜合問題的一般思維方法是：引參，建立不等關系，解某一主元的不等式(實為分離變元)，適時活用基本不等式．其中建立不等關系的常用途徑是：①根據(jù)題設條件；②判別式法；③基本不等式法；④依據(jù)某些變量(如sin x，cos x)的有界性等． 二、主干知識 1．不等式與不等關系． 不等式的性質(zhì)刻畫了在一定條件下兩個量的不等關系．不等式的性質(zhì)包括“單向性”和“雙向性”．單向性主要用于證明不等式，雙向性是解不等式的基礎．因為解不等式要求的是同解變形．要正確理解不等式的性質(zhì)，必須先弄清每一性質(zhì)的條件和結論、注意條件和結論的放寬和加強，以及條件與結論之間的相互聯(lián)系． 雙向性主要有：

4、 (1)不等式的基本性質(zhì)：這是比較兩個實數(shù)的大小的依據(jù)； (2)a>b ?bb ?a＋c>b＋c. 單向性主要有： (1)a>b，b>c?a>c； (2)a>b，c>d?a＋c>b＋d； (3)a>b，c>0(c<0)?ac>bc(acb>0，c>d>0?ac>bd； (5)a>b>0，0b>0，m∈N*?am>bm； (7)a>b>0，n∈N*，n>1?>. 特別提醒：(1)同向不等式可以相加，異向不等式可以相減．即： 若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d； 若a＞b，c＜d，則a－c＞b－d. 但

5、異向不等式不可以相加，同向不等式不可以相減． (2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘．即： 若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd； 若a＞b＞0，0＜c＜d，則＞. (3)左右同正不等式，兩邊可以同時乘方或開方．即： 若a＞b＞0，n∈N*，n>1，則an＞bn或＞. (4)若ab＞0，a＞b，則＜；若ab＜0，a＞b，則＞. 如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式，要注意它的正負號，如果正負號未定，要注意分類討論． 2．一元二次不等式及其解法． 解一元二次不等式常用數(shù)形結合法，基本步驟如下：①將一元二次不等式化成ax2＋bx＋c

6、＞0的形式；②計算判別式并求出相應的一元二次方程的實數(shù)解；③畫出相應的二次函數(shù)的圖象；④根據(jù)圖象和不等式的方向?qū)懗鲆辉尾坏仁降慕饧? 設相應二次函數(shù)的圖象開口向上，并與x軸相交，則有口訣：大于取兩邊，小于取中間． 解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域為前提，函數(shù)增減性為基礎，分類討論是關鍵”．要注意對字母參數(shù)的討論，如果遇到下述情況則一般需要討論： (1)在解含有字母的一元二次不等式時，需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向，對應的一元二次方程根的狀況(有時要分析Δ)，比較兩個根的大小，設根為x1，x2，要分x1＞x2、x1＝x2、x1＜x2討論． (2)不等式兩端乘或除一個含參數(shù)的式子時，

7、則需討論這個式子的正負． (3)求解過程中，需用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時，則需對它們的底數(shù)進行討論． 注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”．若按參數(shù)討論，最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；若按未知數(shù)討論，最后應求并集． 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：設相應的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩根為x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，則不等式的解的各種情況如下表所示： 　　特別提醒：(1)解題中要充分利用一元二次不等式的解集是實數(shù)集R和空集?的幾何意義，準確把握一元二次不等式的解集與相應一元二次方程的根及

8、二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系． (2)解不等式的關鍵在于保證變形轉(zhuǎn)化的等價性．簡單分式不等式可化為整式不等式求解：先通過移項、通分等變形手段將原不等式化為右邊為0的形式，然后通過符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．轉(zhuǎn)化為求不等式組的解時，應注意區(qū)別“且”、“或”，涉及最后幾個不等式的解集是“交”，還是“并”．注意：不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值． (3)在解決實際問題時，先要從實際問題中抽象出數(shù)學模型，并尋找出該數(shù)學模型中已知量與未知量，再建立數(shù)學關系式，然后用適當?shù)姆椒ń鉀Q問題． (4)解含參數(shù)的不等式是高中數(shù)學中的一類較為重要的題型，解決這類問題的難點在

9、于對參數(shù)進行恰當分類．分類相當于增加了題設條件，便于將問題分而治之．在解題過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)分類難以入手或者分類不完全的現(xiàn)象．強化分類意識，選擇恰當?shù)慕忸}切入點，掌握一些基本的分類方法，善于借助直觀圖形找出分類的界值是解決此類問題的關鍵． 3．二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題． (1)確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟： ①在平面直角坐標系中作出直線Ax＋By＋C＝0. ②在直線的一側任取一點P(x0，y0)，當C≠0時，常把原點作為特殊點． ③將P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值，若Ax0＋By0＋C＞0，則包含點P的半平面為不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面區(qū)域，不

10、包含點P的半平面為不等式Ax＋By＋C＜0所表示的平面區(qū)域．也可把二元一次不等式改寫成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域． (2)線性規(guī)劃的有關概念： ①滿足關于x，y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件； ②關于變量x，y的解析式叫目標函數(shù)，關于變量x，y一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)； ③求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； ④滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解． 特別提醒：(1)畫不等式Ax＋By＋C≥

11、0所表示的平面區(qū)域時，區(qū)域包括邊界線，因此，將邊界直線畫成實線；無等號時區(qū)域不包括邊界線，用虛線表示不包含直線l. (2)Ax＋By＋C＞0表示在直線Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax＋By＋C＜0表示在直線Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方． (3)設點P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C與Ax2＋By2＋C同號，則P，Q在直線l的同側，異號則在直線l的異側． (4)在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范． 4．基本不等式≤. (1)基本不等式：設a，b是任意兩個正數(shù)，那么≤.當且僅當

12、a＝b時，等號成立． ①基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． ②如果把看做是正數(shù)a，b的等差中項，看做是正數(shù)a，b的等比中項，那么基本不等式也可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項． ③基本不等式≤幾何意義是“半徑不小于半弦”． (2)對基本不等式的理解： ①基本不等式的左式為和結構，右式為積的形式，該不等式表明兩正數(shù)a，b的和與兩正數(shù)a，b的積之間的大小關系，運用該不等式可作和與積之間的不等變換． ②“當且僅當a＝b時，等號成立”的含義： a．當a＝b時等號成立的含意是：a＝b?＝； b．僅當a＝b時等號成立的含意是：＝?a＝b； 綜

13、合起來，其含意是：＝?a＝b. (3)設a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?ab≤. (4)基本不等式的幾種變式：設a＞0，b＞0，則a＋≥2，＋≥2，≥2a－b. (5)常用的幾個不等式： ① ≥≥≥(根據(jù)目標不等式左右的運算結構選用)； ②設a，b，c∈R，則a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(當且僅當a＝b＝c時，取等號)； ③真分數(shù)的性質(zhì)：若a＞b＞0，m＞0，則＜(糖水的濃度問題)． 特別提醒：(1)用基本不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針．常用的方法為：拆、湊、平方． (2)用基本不等式證明不等式時

14、，應重視對所證不等式的分析和化歸，應觀察不等式左右兩邊的結構，注意識別輪換對稱式，此時可先證一部分，其他同理可證，然后再累加或累乘． 題型1　恒成立問題 (1)若不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)min＞A； (2)若不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恒成立，則等價于在區(qū)間D上f(x)max＜B. 　例1 設函數(shù)f(x)＝，g(x) ＝x＋a(a>0)，若x∈[1，4]時不等式≤1恒成立，求a的取值范圍． 解析：由≤1?－1≤≤1，得0≤≤2， 即≤2在x∈[1，4]上恒成立，也就是ax＋a2≤2在x∈[1，4]上恒成立． 令t＝，則t≥0，且x＝t2

15、，由此可得 at2－2t＋a2≤0在t∈[1，2]上恒成立，設g(t) ＝ at2－2t＋a2，則只需?解得 0

16、x－3)|＝1(等號成立的條件是3≤x≤4)．故f(x)的最小值為1，∴a＞1.即實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． 題型3　恰成立問題 (1)若不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f(x)＞A的解集為D； (2)若不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恰成立，則等價于不等式f(x)＜B的解集為D. 例4　已知函數(shù)y＝的最小值為1，求實數(shù)a的取值集合． 解析：由y≥1即≥1?x2－(a＋4)x＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a＋4)2－16≤0，解得－8≤a≤0(必要條件)．再由y＝1有解，即＝1有解，即x2－(a＋4)x＋4＝0有解，∴Δ＝(a＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.

17、 綜上即知a＝－8或a＝0時，ymin＝1，故所求實數(shù)a的取值集合是{－8，0}． 題型4　利用基本不等式求最值 基本不等式通常用來求最值問題：一般用a＋b≥2(a＞0，b＞0)解“定積求和，和最小”問題，用ab≤求“定和求積，積最大”問題，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”，特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量、減少變元等方法，構造定值條件的方法，和對等號能否成立的驗證． 若等號不能取到，則應用函數(shù)單調(diào)性來求最值，還要注意運用基本不等式解決實際問題． 例5　已知0＜x＜2，求函數(shù)y＝x(8－3x)的最大值． 解析：∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞0， ∴y

18、＝x(8－3x)＝·3x·(8－3x) ≤＝， 當且僅當3x＝8－3x，即x＝時，取等號， ∴當x＝時，y＝x(8－3x)有最大值為. 　設函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． 求函數(shù)f(x)的最小值． 解析：f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1， ∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0，＞0， ∴x＋1＋≥2.當且僅當x＋1＝， 即x＝－1時，f(x)取最小值． 此時f(x)min＝2－1. 題型5　簡單線性規(guī)劃問題 求目標函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解，一般步驟為：一是尋求約束條件和目標函數(shù)，二是作出可行域，三是在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解，特別注意目標函數(shù)z＝ax＋by＋c在直

19、線ax＋by＝0平移過程中變化的規(guī)律和圖中直線斜率關系．簡單的線性規(guī)劃應用題在現(xiàn)實生活中的廣泛應用也是高考的熱點． 例6　若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(　　) A.　 　　B.　 　　C.　 　　D. 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示： 由于直線y＝kx＋過定點，因此只有直線過AB中點時，直線y＝kx＋能平分平面區(qū)域，因為A(1，1)，B(0，4)，所以AB中點M.當y＝kx＋過點時，＝＋，所以k＝. 答案：A 題型6　三個二次(二次函數(shù)、二次不等式、二次方程)問題 一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)三者之間形成一個關系密

20、切、互為關聯(lián)、互為利用的知識體系． 將二次函數(shù)看作主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零(零點)和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)主要是將其通過一元二次方程和一元二次不等式來討論，而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象揭示解(集)的幾何特征． 例7　當m為何值時，方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有兩個負根？ 解析：方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有兩個負根，則有 即 ∴當m∈時，原方程有兩個負根． 題型7　不等式與函數(shù)的綜合問題 例8　定義在(－1，1)上的奇函數(shù)f(x)在整個定義域上是減函數(shù)，且f(1－a)＋

21、f(1－a2)＜0，求實數(shù) a的取值范圍． 解析：∵f(x)的定義域為(－1，1)， ∴ ∴ ∴0＜a＜，① 原不等式變形為f(1－a)＜－f(1－a2)． 由于f(x)為奇函數(shù)，有－f(1－a2)＝f(a2－1)， ∴f(1－a)＜f(a2－1)． 又f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)， ∴1－a＞a2－1，解得－2＜a＜1.② 由①②可得0＜a＜1， ∴a的取值范圍是(0，1)． 題型8　求分式函數(shù)的最值 例9　求函數(shù)y＝的最小值． 解析：y＝＝(x2＋1)＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x2＋1＝，即x2＋1＝1，即x＝0時等號成立． 題型9　數(shù)軸標根法 (1)

22、將不等式化為標準形式：一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積． (2)求出各因式為0的實數(shù)根，并在數(shù)軸上標出． (3)自最右端上方起，用曲線自右至左，依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根一次穿過，遇偶次重根穿而不過(奇過偶不過)． (4)記數(shù)軸上方為正，下方為負，根據(jù)不等式的符號寫出解集． 例10　解不等式(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0. 分析：本題考查高次不等式的解法，應用等價轉(zhuǎn)化的方法顯得較繁瑣，可利用數(shù)軸標根法來解． 解析：設y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，則y＝0的根分別是－2，－1，1，2，將其分別標在數(shù)軸上，并畫出示

23、意圖如下： ∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}． 點評：利用數(shù)軸標根法解不等式，需注意： (1)要注意所標出的區(qū)間是否是方程根的取值范圍，可取特殊值檢驗，以防不慎造成失誤． (2)有些點是否要舍掉，要仔細檢驗． 題型10　變換主元法 例11　設f(x)＝mx2－mx－6＋m. (1)若對于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求實數(shù)x的取值范圍； (2)若對于x∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍； 分析：根據(jù)題意，f(x)可看作是m的一次函數(shù)，也可以看作是x的二次函數(shù)來解． 解析：(1)依題意，設g(m)＝(x2－x＋1)m－6，則g(

24、m)是關于m的一次函數(shù)且一次項系數(shù)x2－x＋1＝＋＞0，∴g(m)在[－2，2]上遞增． ∴欲使f(x)＜0恒成立． 需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0， 解得－1＜x＜2. ∴實數(shù)x取值范圍是(－1，2)． (2)方法一　∵f(x)＝m＋m－6＜0， 在x∈[1，3]上恒成立． ∴或或 解得m＜. 方法二　要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，則有m＜在x∈[1，3]上恒成立． 而當x∈[1，3]時， ＝≥＝. ∴的最小值為. ∴m＜. 點評：若給出m的取值范圍，則看作是m的一次函數(shù)，若給出x的取值范圍，則看作是x的二次函數(shù)．