【人教A版】新編高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末知識(shí)總結(jié) 新人教A版必修5

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1、 新編人教版精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末知識(shí)總結(jié) 新人教A版必修5 一、本章概述 不等關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最廣泛、最普遍的關(guān)系． 不等關(guān)系起源于實(shí)數(shù)的性質(zhì)，產(chǎn)生了實(shí)數(shù)的大小關(guān)系、簡單不等式、不等式的基本性質(zhì)，如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系，又產(chǎn)生了重要不等式、基本不等式等． 不等式是永恒的嗎？顯然不是，由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個(gè)極為重要的問題．解不等式即尋求不等式成立時(shí)變量應(yīng)滿足的范圍或條件，不同類型的不等式又有不同的解法．不等式證明則是推理性問題或探索性問題．推理性即在特定條件下，闡述論證過程，揭示內(nèi)在規(guī)律，基本方法有比較法、綜合法

2、、分析法；探索性問題大多是與自然數(shù)n有關(guān)的證明問題，常采用觀察—?dú)w納—猜想—證明的思路，以數(shù)學(xué)歸納法完成證明．另外，不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等．不等式中常見的基本思想方法有等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程． 不等式的知識(shí)滲透在數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支，相互之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此不等式又可作為一個(gè)工具來解決數(shù)學(xué)中的其他問題，諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，以及三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，這些問題無一不與不等式有著密切的聯(lián)系．不等式還可以解決現(xiàn)實(shí)世界中反映出來的數(shù)學(xué)問題，許多問題最終歸結(jié)為不等式的求

3、解或證明． 解決這類綜合問題的一般思維方法是：引參，建立不等關(guān)系，解某一主元的不等式(實(shí)為分離變?cè)?，適時(shí)活用基本不等式．其中建立不等關(guān)系的常用途徑是：①根據(jù)題設(shè)條件；②判別式法；③基本不等式法；④依據(jù)某些變量(如sin x，cos x)的有界性等． 二、主干知識(shí) 1．不等式與不等關(guān)系． 不等式的性質(zhì)刻畫了在一定條件下兩個(gè)量的不等關(guān)系．不等式的性質(zhì)包括“單向性”和“雙向性”．單向性主要用于證明不等式，雙向性是解不等式的基礎(chǔ)．因?yàn)榻獠坏仁揭蟮氖峭庾冃危_理解不等式的性質(zhì)，必須先弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論、注意條件和結(jié)論的放寬和加強(qiáng)，以及條件與結(jié)論之間的相互聯(lián)系． 雙向性主要有：

4、 (1)不等式的基本性質(zhì)：這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小的依據(jù)； (2)a>b ?bb ?a＋c>b＋c. 單向性主要有： (1)a>b，b>c?a>c； (2)a>b，c>d?a＋c>b＋d； (3)a>b，c>0(c<0)?ac>bc(acb>0，c>d>0?ac>bd； (5)a>b>0，0b>0，m∈N*?am>bm； (7)a>b>0，n∈N*，n>1?>. 特別提醒：(1)同向不等式可以相加，異向不等式可以相減．即： 若a＞b，c＞d，則a＋c＞b＋d； 若a＞b，c＜d，則a－c＞b－d. 但

5、異向不等式不可以相加，同向不等式不可以相減． (2)左右同正不等式，同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘．即： 若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd； 若a＞b＞0，0＜c＜d，則＞. (3)左右同正不等式，兩邊可以同時(shí)乘方或開方．即： 若a＞b＞0，n∈N*，n>1，則an＞bn或＞. (4)若ab＞0，a＞b，則＜；若ab＜0，a＞b，則＞. 如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式，要注意它的正負(fù)號(hào)，如果正負(fù)號(hào)未定，要注意分類討論． 2．一元二次不等式及其解法． 解一元二次不等式常用數(shù)形結(jié)合法，基本步驟如下：①將一元二次不等式化成ax2＋bx＋c

6、＞0的形式；②計(jì)算判別式并求出相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)解；③畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；④根據(jù)圖象和不等式的方向?qū)懗鲆辉尾坏仁降慕饧? 設(shè)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象開口向上，并與x軸相交，則有口訣：大于取兩邊，小于取中間． 解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵”．要注意對(duì)字母參數(shù)的討論，如果遇到下述情況則一般需要討論： (1)在解含有字母的一元二次不等式時(shí)，需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時(shí)要分析Δ)，比較兩個(gè)根的大小，設(shè)根為x1，x2，要分x1＞x2、x1＝x2、x1＜x2討論． (2)不等式兩端乘或除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí)，

7、則需討論這個(gè)式子的正負(fù)． (3)求解過程中，需用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論． 注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是…”．若按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集． 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩根為x1、x2且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，則不等式的解的各種情況如下表所示： 　　特別提醒：(1)解題中要充分利用一元二次不等式的解集是實(shí)數(shù)集R和空集?的幾何意義，準(zhǔn)確把握一元二次不等式的解集與相應(yīng)一元二次方程的根及

8、二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系． (2)解不等式的關(guān)鍵在于保證變形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性．簡單分式不等式可化為整式不等式求解：先通過移項(xiàng)、通分等變形手段將原不等式化為右邊為0的形式，然后通過符號(hào)法則轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．轉(zhuǎn)化為求不等式組的解時(shí)，應(yīng)注意區(qū)別“且”、“或”，涉及最后幾個(gè)不等式的解集是“交”，還是“并”．注意：不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值． (3)在解決實(shí)際問題時(shí)，先要從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并尋找出該數(shù)學(xué)模型中已知量與未知量，再建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，然后用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題． (4)解含參數(shù)的不等式是高中數(shù)學(xué)中的一類較為重要的題型，解決這類問題的難點(diǎn)在

9、于對(duì)參數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)分類．分類相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，便于將問題分而治之．在解題過程中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)分類難以入手或者分類不完全的現(xiàn)象．強(qiáng)化分類意識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}切入點(diǎn)，掌握一些基本的分類方法，善于借助直觀圖形找出分類的界值是解決此類問題的關(guān)鍵． 3．二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題． (1)確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟： ①在平面直角坐標(biāo)系中作出直線Ax＋By＋C＝0. ②在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)P(x0，y0)，當(dāng)C≠0時(shí)，常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn)． ③將P(x0，y0)代入Ax＋By＋C求值，若Ax0＋By0＋C＞0，則包含點(diǎn)P的半平面為不等式Ax＋By＋C＞0所表示的平面區(qū)域，不

10、包含點(diǎn)P的半平面為不等式Ax＋By＋C＜0所表示的平面區(qū)域．也可把二元一次不等式改寫成y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域． (2)線性規(guī)劃的有關(guān)概念： ①滿足關(guān)于x，y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件； ②關(guān)于變量x，y的解析式叫目標(biāo)函數(shù)，關(guān)于變量x，y一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)； ③求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題； ④滿足線性約束條件的解(x，y)叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域； ⑤使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解． 特別提醒：(1)畫不等式Ax＋By＋C≥

11、0所表示的平面區(qū)域時(shí)，區(qū)域包括邊界線，因此，將邊界直線畫成實(shí)線；無等號(hào)時(shí)區(qū)域不包括邊界線，用虛線表示不包含直線l. (2)Ax＋By＋C＞0表示在直線Ax＋By＋C＝0(B>0)的上方，Ax＋By＋C＜0表示在直線Ax＋By＋C＝0(B>0)的下方． (3)設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線l：Ax＋By＋C＝0，若Ax1＋By1＋C與Ax2＋By2＋C同號(hào)，則P，Q在直線l的同側(cè)，異號(hào)則在直線l的異側(cè)． (4)在求解線性規(guī)劃問題時(shí)要注意：①將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范． 4．基本不等式≤. (1)基本不等式：設(shè)a，b是任意兩個(gè)正數(shù)，那么≤.當(dāng)且僅當(dāng)

12、a＝b時(shí)，等號(hào)成立． ①基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． ②如果把看做是正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，看做是正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，那么基本不等式也可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)． ③基本不等式≤幾何意義是“半徑不小于半弦”． (2)對(duì)基本不等式的理解： ①基本不等式的左式為和結(jié)構(gòu)，右式為積的形式，該不等式表明兩正數(shù)a，b的和與兩正數(shù)a，b的積之間的大小關(guān)系，運(yùn)用該不等式可作和與積之間的不等變換． ②“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”的含義： a．當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立的含意是：a＝b?＝； b．僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立的含意是：＝?a＝b； 綜

13、合起來，其含意是：＝?a＝b. (3)設(shè)a，b∈R，不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?ab≤. (4)基本不等式的幾種變式：設(shè)a＞0，b＞0，則a＋≥2，＋≥2，≥2a－b. (5)常用的幾個(gè)不等式： ① ≥≥≥(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)； ②設(shè)a，b，c∈R，則a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，取等號(hào))； ③真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若a＞b＞0，m＞0，則＜(糖水的濃度問題)． 特別提醒：(1)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，要特別注意“一正、二定、三相等，和定積最大，積定和最小”這17字方針．常用的方法為：拆、湊、平方． (2)用基本不等式證明不等式時(shí)

14、，應(yīng)重視對(duì)所證不等式的分析和化歸，應(yīng)觀察不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu)，注意識(shí)別輪換對(duì)稱式，此時(shí)可先證一部分，其他同理可證，然后再累加或累乘． 題型1　恒成立問題 (1)若不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)min＞A； (2)若不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上f(x)max＜B. 　例1 設(shè)函數(shù)f(x)＝，g(x) ＝x＋a(a>0)，若x∈[1，4]時(shí)不等式≤1恒成立，求a的取值范圍． 解析：由≤1?－1≤≤1，得0≤≤2， 即≤2在x∈[1，4]上恒成立，也就是ax＋a2≤2在x∈[1，4]上恒成立． 令t＝，則t≥0，且x＝t2

15、，由此可得 at2－2t＋a2≤0在t∈[1，2]上恒成立，設(shè)g(t) ＝ at2－2t＋a2，則只需?解得 0

16、x－3)|＝1(等號(hào)成立的條件是3≤x≤4)．故f(x)的最小值為1，∴a＞1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)． 題型3　恰成立問題 (1)若不等式f(x)＞A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)＞A的解集為D； (2)若不等式f(x)＜B在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f(x)＜B的解集為D. 例4　已知函數(shù)y＝的最小值為1，求實(shí)數(shù)a的取值集合． 解析：由y≥1即≥1?x2－(a＋4)x＋4≥0恒成立，∴Δ＝(a＋4)2－16≤0，解得－8≤a≤0(必要條件)．再由y＝1有解，即＝1有解，即x2－(a＋4)x＋4＝0有解，∴Δ＝(a＋4)2－16≥0，解得a≤－8或a≥0.

17、 綜上即知a＝－8或a＝0時(shí)，ymin＝1，故所求實(shí)數(shù)a的取值集合是{－8，0}． 題型4　利用基本不等式求最值 基本不等式通常用來求最值問題：一般用a＋b≥2(a＞0，b＞0)解“定積求和，和最小”問題，用ab≤求“定和求積，積最大”問題，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”，特別是利用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、分離變量、減少變?cè)确椒?，?gòu)造定值條件的方法，和對(duì)等號(hào)能否成立的驗(yàn)證． 若等號(hào)不能取到，則應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來求最值，還要注意運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問題． 例5　已知0＜x＜2，求函數(shù)y＝x(8－3x)的最大值． 解析：∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6，8－3x＞0， ∴y

18、＝x(8－3x)＝·3x·(8－3x) ≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)3x＝8－3x，即x＝時(shí)，取等號(hào)， ∴當(dāng)x＝時(shí)，y＝x(8－3x)有最大值為. 　設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋，x∈[0，＋∞)． 求函數(shù)f(x)的最小值． 解析：f(x)＝x＋＝(x＋1)＋－1， ∵x∈[0，＋∞)，∴x＋1＞0，＞0， ∴x＋1＋≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝， 即x＝－1時(shí)，f(x)取最小值． 此時(shí)f(x)min＝2－1. 題型5　簡單線性規(guī)劃問題 求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解，一般步驟為：一是尋求約束條件和目標(biāo)函數(shù)，二是作出可行域，三是在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，特別注意目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by＋c在直

19、線ax＋by＝0平移過程中變化的規(guī)律和圖中直線斜率關(guān)系．簡單的線性規(guī)劃應(yīng)用題在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用也是高考的熱點(diǎn)． 例6　若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是(　　) A.　 　　B.　 　　C.　 　　D. 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示： 由于直線y＝kx＋過定點(diǎn)，因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線y＝kx＋能平分平面區(qū)域，因?yàn)锳(1，1)，B(0，4)，所以AB中點(diǎn)M.當(dāng)y＝kx＋過點(diǎn)時(shí)，＝＋，所以k＝. 答案：A 題型6　三個(gè)二次(二次函數(shù)、二次不等式、二次方程)問題 一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)三者之間形成一個(gè)關(guān)系密

20、切、互為關(guān)聯(lián)、互為利用的知識(shí)體系． 將二次函數(shù)看作主體，一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零(零點(diǎn))和不為零的兩種情況，一般討論二次函數(shù)主要是將其通過一元二次方程和一元二次不等式來討論，而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象揭示解(集)的幾何特征． 例7　當(dāng)m為何值時(shí)，方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有兩個(gè)負(fù)根？ 解析：方程2x2＋4mx＋3m－1＝0有兩個(gè)負(fù)根，則有 即 ∴當(dāng)m∈時(shí)，原方程有兩個(gè)負(fù)根． 題型7　不等式與函數(shù)的綜合問題 例8　定義在(－1，1)上的奇函數(shù)f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù)，且f(1－a)＋

21、f(1－a2)＜0，求實(shí)數(shù) a的取值范圍． 解析：∵f(x)的定義域?yàn)?－1，1)， ∴ ∴ ∴0＜a＜，① 原不等式變形為f(1－a)＜－f(1－a2)． 由于f(x)為奇函數(shù)，有－f(1－a2)＝f(a2－1)， ∴f(1－a)＜f(a2－1)． 又f(x)在(－1，1)上是減函數(shù)， ∴1－a＞a2－1，解得－2＜a＜1.② 由①②可得0＜a＜1， ∴a的取值范圍是(0，1)． 題型8　求分式函數(shù)的最值 例9　求函數(shù)y＝的最小值． 解析：y＝＝(x2＋1)＋＋1≥2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x2＋1＝，即x2＋1＝1，即x＝0時(shí)等號(hào)成立． 題型9　數(shù)軸標(biāo)根法 (1)

22、將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積． (2)求出各因式為0的實(shí)數(shù)根，并在數(shù)軸上標(biāo)出． (3)自最右端上方起，用曲線自右至左，依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根一次穿過，遇偶次重根穿而不過(奇過偶不過)． (4)記數(shù)軸上方為正，下方為負(fù)，根據(jù)不等式的符號(hào)寫出解集． 例10　解不等式(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)≤0. 分析：本題考查高次不等式的解法，應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法顯得較繁瑣，可利用數(shù)軸標(biāo)根法來解． 解析：設(shè)y＝(x＋2)(x＋1)(x－1)(x－2)，則y＝0的根分別是－2，－1，1，2，將其分別標(biāo)在數(shù)軸上，并畫出示

23、意圖如下： ∴不等式的解集是{x|－2≤x≤－1或1≤x≤2}． 點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)軸標(biāo)根法解不等式，需注意： (1)要注意所標(biāo)出的區(qū)間是否是方程根的取值范圍，可取特殊值檢驗(yàn)，以防不慎造成失誤． (2)有些點(diǎn)是否要舍掉，要仔細(xì)檢驗(yàn)． 題型10　變換主元法 例11　設(shè)f(x)＝mx2－mx－6＋m. (1)若對(duì)于m∈[－2，2]，f(x)＜0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍； (2)若對(duì)于x∈[1，3]，f(x)＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； 分析：根據(jù)題意，f(x)可看作是m的一次函數(shù)，也可以看作是x的二次函數(shù)來解． 解析：(1)依題意，設(shè)g(m)＝(x2－x＋1)m－6，則g(

24、m)是關(guān)于m的一次函數(shù)且一次項(xiàng)系數(shù)x2－x＋1＝＋＞0，∴g(m)在[－2，2]上遞增． ∴欲使f(x)＜0恒成立． 需g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6＜0， 解得－1＜x＜2. ∴實(shí)數(shù)x取值范圍是(－1，2)． (2)方法一　∵f(x)＝m＋m－6＜0， 在x∈[1，3]上恒成立． ∴或或 解得m＜. 方法二　要使f(x)＝m(x2－x＋1)－6＜0在[1，3]上恒成立，則有m＜在x∈[1，3]上恒成立． 而當(dāng)x∈[1，3]時(shí)， ＝≥＝. ∴的最小值為. ∴m＜. 點(diǎn)評(píng)：若給出m的取值范圍，則看作是m的一次函數(shù)，若給出x的取值范圍，則看作是x的二次函數(shù)．