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1、
新編人教版精品教學(xué)資料
高中數(shù)學(xué) 3.4.2基本不等式(二)練習(xí) 新人教A版必修5
?基礎(chǔ)梳理
1.不等式a2+b2≥2ab?ab≤?ab≤,其中a,b∈R+.
2.不等式a2+b2≥2ab ? ≥ ,其中a,b∈R+.
3.基本不等式≤中,a,b∈R+.
?自測(cè)自評(píng)
1.設(shè)x>1,則當(dāng)x=__________時(shí),y=x+取最小值:____________.
2.設(shè)x>1,則當(dāng)x=____時(shí),y=lg x+logx10取最小值:__________.
3.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是( )
A.18 B.6 C.2 D.2
自測(cè)
2、自評(píng)
1.解析:∵x>1,∴x-1>0.
又y=x+=(x-1)++1≥2+1.
等號(hào)成立的條件是x-1=,即x=1+.
故當(dāng)x=1+時(shí),y取最小值1+2.
答案:+1 2+1
2.解析:∵x>1,∴l(xiāng)g x>0.
又y=lg x+logx10=lg x+≥2.
等號(hào)成立的條件是lg x=,
即lg x=1,x=10.
故當(dāng)x=10時(shí),y取最小值2.
答案:10 2
3.解析:3a+3b≥2=2=2=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立.∴3a+3b的最小值是6.故選B.
答案:B
?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1.若x>0,則函數(shù)y=-x-( )
A.有最大值-2 B.有
3、最小值-2
C.有最大值2 D.有最小值2
1.解析:∵x>0,∴x+≥2.∴-x-≤-2.當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立,故函數(shù)y=-x-有最大值-2.
答案:A
2.(2014·廣州綜合測(cè)試)已知x>-1,則函數(shù)y=x+的最小值為( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.解析:由于x>-1,則x+1>0,所以y=x+=(x+1)+-1≥2-1=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,由于x>-1,即當(dāng)x=0時(shí),上式取等號(hào),故選C.
答案:C
3.lg 9×lg 11與1的大小關(guān)系是( )
A.lg 9×lg 11>1 B.lg 9×lg 11 =1
C.lg 9×lg
4、11<1 D.不能確定
3.解析:lg 9×lg 11≤=<==1,故選C.
答案:C
4.當(dāng)x>0時(shí),不等式x2+mx+4>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.
4.解析:∵x>0,不等式x2+mx+4>0可化為-m<x+,而當(dāng)x>0時(shí),x+≥2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)等號(hào)成立,∴x+的最小值為4.∴-m<4,即m>-4.故m的取值范圍是(-4,+∞).
答案:(-4,+∞)
5.某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金,某顧客要購買10 g黃金,售貨員先將5 g的砝碼放在左盤,將黃金放于右盤使之平衡后給顧客,然后又將5 g的砝碼放入右盤,將另
5、一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客,則顧客實(shí)際所得黃金( )
A.大于10 g B.小于10 g
C.大于等于10 g D.小于等于10 g
5.解析:設(shè)兩臂長分別為a,b,兩次放入的黃金數(shù)是x,y,
依題意有ax=5b,by=5a,∴xy=25.
∵≥,∴x+y≥10,又a≠b,∴x≠y.
∴x+y>10.即兩次所得黃金數(shù)大于10克,故選A.
答案:A
6.函數(shù)f(x)=的最大值為( )
A. B. C. D.1
6.解析:當(dāng)x=0時(shí),f(0)=0;當(dāng)x>0時(shí),x+1≥2>0,∴f(x)≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立.故函數(shù)f(x)=的最大值為.
答案:
6、B
?鞏固提高
7.設(shè)x>1,則函數(shù)g(x)=x+的最小值是________.
7.解析:∵x>1,∴x-1>0.∴g(x)=x+=x+=x+9+=x-1++10≥6+10=16,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=4時(shí),取等.∴g(x)min=16.
答案:16
8.函數(shù)y=3x2+(x>0)的最小值是( )
A.3-3 B.-3
C.6 D.6-3
8.D
9.(1)求函數(shù)y=+x(x>3)的最小值;
(2)求函數(shù)y=x(a-2x)(x>0,a為大于2x的常數(shù))的最大值;
(3)已知x>0,y>0,2x+5y=20,求μ=lg x+lg y的最大值.
9.解析
7、:(1)∵x>3,
∴y=+x=+(x-3)+3≥5,
當(dāng)且僅當(dāng)x-3=,即x=4時(shí)取等號(hào).
∴ymin=5.
(2)∵x>0,a>2x,
∴y=x(a-2x)=·2x·(a-2x)≤
·=,
當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),取等號(hào),
∴ymax=.
(3)∵x>0,y>0,2x+5y=20,
∴2x·5y≤==100,
∴xy≤10,
∴μ=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1,
當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y=10,
即x=5,y=2時(shí)上式取等號(hào),
∴當(dāng)x=5,y=2時(shí),
μ=lg x+lg y取最大值,最大值為1.
10.圍建一個(gè)面積為360 m2的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)
8、地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修),其他三面圍墻要新建,在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2 m的進(jìn)出口,如右上圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為x(單位:m),修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y(單位:元).
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)試確定x,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用.
10.解析:(1)如圖所示,設(shè)矩形的另一邊長為a m,
則y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360.
由已知xa=360,得a=.
所以y=225x+-360(x>0).
(2)∵x>0,∴2
9、25x+≥2=10 800.
∴y=225x+-360≥10 440.
當(dāng)且僅當(dāng)225x=時(shí),等號(hào)成立.
即當(dāng)x=24 m時(shí),修建圍墻的總費(fèi)用最小,最小總費(fèi)用是10 440元.
1.用基本不等式≤求最值時(shí)的三個(gè)要點(diǎn):
(1)式中各項(xiàng)均為正數(shù);
(2)含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值;
(3)等號(hào)能成立.
以上三點(diǎn)可簡記為:“一正、二定、三相等”.
2.用基本不等式解決實(shí)際問題時(shí)應(yīng)按如下步驟進(jìn)行:
(1)理解題意,設(shè)好變量.設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化、抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題;
(3)在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最大值或最小值;
(4)結(jié)合實(shí)際意義求出正確的答案,回答實(shí)際問題.