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1、
新編人教版精品教學(xué)資料
高中數(shù)學(xué) 3.4.2基本不等式（二）練習(xí) 新人教A版必修5
?基礎(chǔ)梳理
1．不等式a2＋b2≥2ab?ab≤?ab≤，其中a，b∈R＋.
2．不等式a2＋b2≥2ab ? ≥ ，其中a，b∈R＋.
3．基本不等式≤中，a，b∈R＋.
?自測自評
1．設(shè)x＞1，則當(dāng)x＝__________時，y＝x＋取最小值：____________．
2．設(shè)x＞1，則當(dāng)x＝____時，y＝lg x＋logx10取最小值：__________．
3．若實數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是( )
A．18 B．6 C．2 D．2
自測
2、自評
1．解析：∵x＞1，∴x－1＞0.
又y＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1.
等號成立的條件是x－1＝，即x＝1＋.
故當(dāng)x＝1＋時，y取最小值1＋2.
答案：＋1 2＋1
2．解析：∵x＞1，∴l(xiāng)g x＞0.
又y＝lg x＋logx10＝lg x＋≥2.
等號成立的條件是lg x＝，
即lg x＝1，x＝10.
故當(dāng)x＝10時，y取最小值2.
答案：10 2
3．解析：3a＋3b≥2＝2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立．∴3a＋3b的最小值是6.故選B.
答案：B
?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．若x>0，則函數(shù)y＝－x－( )
A．有最大值－2 B．有
3、最小值－2
C．有最大值2 D．有最小值2
1．解析：∵x>0，∴x＋≥2.∴－x－≤－2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時，等號成立，故函數(shù)y＝－x－有最大值－2.
答案：A
2．(2014·廣州綜合測試)已知x>－1，則函數(shù)y＝x＋的最小值為( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．解析：由于x>－1，則x＋1>0，所以y＝x＋＝(x＋1)＋－1≥2－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝，由于x>－1，即當(dāng)x＝0時，上式取等號，故選C.
答案：C
3．lg 9×lg 11與1的大小關(guān)系是( )
A．lg 9×lg 11＞1 B．lg 9×lg 11 ＝1
C．lg 9×lg
4、11＜1 D．不能確定
3．解析：lg 9×lg 11≤＝＜＝＝1，故選C.
答案：C
4．當(dāng)x>0時，不等式x2＋mx＋4＞0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．
4．解析：∵x＞0，不等式x2＋mx＋4＞0可化為－m＜x＋，而當(dāng)x＞0時，x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝2時等號成立，∴x＋的最小值為4.∴－m＜4，即m＞－4.故m的取值范圍是(－4，＋∞)．
答案：(－4，＋∞)
5．某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金，某顧客要購買10 g黃金，售貨員先將5 g的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客，然后又將5 g的砝碼放入右盤，將另
5、一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金( )
A．大于10 g B．小于10 g
C．大于等于10 g D．小于等于10 g
5．解析：設(shè)兩臂長分別為a，b，兩次放入的黃金數(shù)是x，y，
依題意有ax＝5b，by＝5a，∴xy＝25.
∵≥，∴x＋y≥10，又a≠b，∴x≠y.
∴x＋y＞10.即兩次所得黃金數(shù)大于10克，故選A.
答案：A
6．函數(shù)f(x)＝的最大值為( )
A. B. C. D．1
6．解析：當(dāng)x＝0時，f(0)＝0；當(dāng)x＞0時，x＋1≥2＞0，∴f(x)≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時等號成立．故函數(shù)f(x)＝的最大值為.
答案：
6、B
?鞏固提高
7．設(shè)x＞1，則函數(shù)g(x)＝x＋的最小值是________．
7．解析：∵x＞1，∴x－1＞0.∴g(x)＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝x－1＋＋10≥6＋10＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝，即x＝4時，取等．∴g(x)min＝16.
答案：16
8．函數(shù)y＝3x2＋(x>0)的最小值是( )
A．3－3 B．－3
C．6 D．6－3
8．D
9．(1)求函數(shù)y＝＋x(x＞3)的最小值；
(2)求函數(shù)y＝x(a－2x)(x＞0，a為大于2x的常數(shù))的最大值；
(3)已知x＞0，y＞0，2x＋5y＝20，求μ＝lg x＋lg y的最大值．
9．解析
7、：(1)∵x＞3，
∴y＝＋x＝＋(x－3)＋3≥5，
當(dāng)且僅當(dāng)x－3＝，即x＝4時取等號．
∴ymin＝5.
(2)∵x＞0，a＞2x，
∴y＝x(a－2x)＝·2x·(a－2x)≤
·＝，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝時，取等號，
∴ymax＝.
(3)∵x＞0，y＞0，2x＋5y＝20，
∴2x·5y≤＝＝100，
∴xy≤10，
∴μ＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝5y＝10，
即x＝5，y＝2時上式取等號，
∴當(dāng)x＝5，y＝2時，
μ＝lg x＋lg y取最大值，最大值為1.
10．圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場
8、地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進(jìn)出口，如右上圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)．
(1)將y表示為x的函數(shù)；
(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用．
10．解析：(1)如圖所示，設(shè)矩形的另一邊長為a m，
則y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.
由已知xa＝360，得a＝.
所以y＝225x＋－360(x＞0)．
(2)∵x＞0，∴2
9、25x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
當(dāng)且僅當(dāng)225x＝時，等號成立．
即當(dāng)x＝24 m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10 440元．
1．用基本不等式≤求最值時的三個要點：
(1)式中各項均為正數(shù)；
(2)含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；
(3)等號能成立．
以上三點可簡記為：“一正、二定、三相等”．
2．用基本不等式解決實際問題時應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)理解題意，設(shè)好變量．設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；
(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題轉(zhuǎn)化、抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
(4)結(jié)合實際意義求出正確的答案，回答實際問題．
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