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高中數(shù)學(xué) 2.4.1等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式練習(xí) 新人教A版必修5
?基礎(chǔ)梳理
1．(1)等比數(shù)列的定義：________________________．定義的數(shù)學(xué)式表示為__________________________．
(2)判斷下列數(shù)列是不是等比數(shù)列：
①2，4，8，16；
②1，3，5，8，9，10.
2．(1)首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為______________________．
(2)寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
①2，4，8，16，32；
②1，5，25，125，….
3．(1)等比中項(xiàng)的定義：
2、________________________________________________________________________.
(2)判斷下列各組數(shù)是否有等比中項(xiàng)，若有，求出其等比中項(xiàng)．
①2，4；
②－3，9；
③－6，－8.
4．(1)當(dāng)a1＞0，q >1時(shí)，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；
當(dāng)a1＜0，0＜q＜1，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；
當(dāng)a1＞0，0＜q＜1時(shí)，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；
當(dāng)a1＜0，q >1時(shí)，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；
當(dāng)a1＜0，q＜0時(shí)，等比數(shù)列{an}是______數(shù)列；
當(dāng)q＝
3、1時(shí)，等比數(shù)列{an}是____數(shù)列．
(2)判斷下列等比數(shù)列是遞增還是遞減數(shù)列．
①－3，－9，－27，…；
②數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－3 (n∈N*)．
5．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1·qn－1(a1·q≠0)，它的圖象是分布在曲線
________________________________________________________________________上的一些孤立的點(diǎn)．
基礎(chǔ)梳理
1．(1)從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)?。絨(n∈N*，q≠0)
(2)①由定義知是
②不是，不滿足定義
2．(1)an
4、＝a1·qn－1(a1·q≠0)(n∈N*)
(2)①an＝2n，n＝1、2、3、4、5
②an＝5n－1，n∈N*
3．(1)如果a，G，b成等比數(shù)列，則G叫a與b的等比中項(xiàng)
(2)①所求等比中項(xiàng)有兩個(gè)，為±2
②沒有等比中項(xiàng)
③所求等比中項(xiàng)為±4
4．(1)遞增 遞增 遞減 遞減 擺動(dòng) 常
(2)①遞減數(shù)列 ②遞增數(shù)列
5．y＝·qx(q>0)
?自測(cè)自評(píng)
1．已知下列各數(shù)列：①－1，－2，－4，－8；②1，－，3，－3；③a，a，a，a；④，，，.其中成等比數(shù)列的是( )
A．①②③ B．①②
C．①②④ D．①②③④
2．如果－1，a，b，c，－9成
5、等比數(shù)列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
3．(2014·江蘇卷)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，則a6的值是________．
自測(cè)自評(píng)
1．解析：由等比數(shù)列的定義知①②④都成等比數(shù)列．當(dāng)a＝0時(shí)，③不能成等比數(shù)列．故選C.
答案：C
2．解析：∵b是－1，－9的等比中項(xiàng)，∴b2＝9，b＝±3，又因?yàn)榈缺葦?shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中項(xiàng)，故b2＝ac，ac＝9，故選B.
答案：B
3．解析：設(shè)公比為q，因?yàn)閍2＝1，則由a8
6、＝a6＋2a4得q6＝q4＋2q2，q4－q2－2＝0，解得q2＝2，所以a6＝a2q4＝4.
答案：4
?基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
1．(2014·重慶卷)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是( )
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列
B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列
D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
1．解析：因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則a3·a9＝a1·q2·a1·q8＝(a1·q5)2＝a所以，a3，a6，a9一定成等比數(shù)列，故選D.
答案：D
2．在等比數(shù)列中，a1＝，an＝，q＝，則項(xiàng)數(shù)n為( )
A．3 B．4 C．
7、5 D．6
2．解析：由a1qn－1＝an?·＝?n＝4.
答案：B
3．等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比數(shù)列，那么d等于( )
A．3 B．2 C．－2 D．2或－2
3．解析：由a＝a1a5?(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)?
(1＋d)2＝1＋4d?d＝2.故選B.
答案：B
4．(2013·江西卷)等比數(shù)列x，3x＋3，6x＋6，…的第4項(xiàng)等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
4．A
5．已知數(shù)列a1，a2，a3，…，a8為各項(xiàng)都大于零的等比數(shù)列，公比q≠1，則( )
A．a(chǎn)1＋a8＞a4
8、＋a5
B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5
C．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5
D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小不定
5．解析：a1＋a8－(a4＋a5)＝a1＋a1q7－(a1q3＋a1q4)＝a1·(1－q3)·(1－q4)＞0.∴a1＋a8＞a4＋a5.故選A.
答案：A
?鞏固提高
6．設(shè)a1＝2，數(shù)列{1＋2an}是公比為2的等比數(shù)列，則a6等于( )
A．31.5 B．160 C．79.5 D．159.5
6．解析：1＋2an＝(1＋2a1)·2n－1，∴1＋2a6＝5×25.∴a6＝＝79.5.
答案：C
7．三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的和等于14，它們的積等于64，則這
9、三個(gè)數(shù)是________________．
7．解析：設(shè)三數(shù)為，a，aq，則＋a＋aq＝14，
·a·aq＝64，
即a＝14，a3＝64，
解得：a＝4，q＝或2.
故所求三數(shù)為8，4，2或2，4，8.
答案：8，4，2或2，4，8
8．(1)方程x2－17x＋16＝0的兩根的等差中項(xiàng)是______，兩根的等比中項(xiàng)是______．
(2)在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為________．
8．解析：(1)∵x2－17x＋16＝0的二根的x1＝1，x2＝16.
∴x1與x2等差中項(xiàng)為，等比中項(xiàng)為±4.
(2)設(shè)插入的三數(shù)為a，b，c則b2＝
10、ac＝×＝36.又b與第一項(xiàng)同號(hào)，∴b＝6，∴插入的三數(shù)之積abc＝b3＝216.
答案：(1) ±4 (2)216
9．等比數(shù)列{an}中a2＋a7＝66，a3a6＝128，求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
9．解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為d，由題意
??或
∴q5＝＝25或?q＝2或.
∴an＝a2qn－2＝2n－1或.
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n－1或an＝28－n，n∈N*.
點(diǎn)評(píng)：在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時(shí)，除了直接把題意翻譯成數(shù)列之外，如果能合理地利用等比數(shù)列的性質(zhì)，往往可以更簡(jiǎn)單地得到答案．
10．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q(q≠1且q≠
11、0)，且bn＝an＋1－an.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由．
(2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
10．解析：(1)∵等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比為q，
∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0且q≠1)，
由于＝＝＝＝q，
∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝a2－a1＝q－1，公比為q的等比數(shù)列．
(2)由(1)可知，bn＝b1qn－1＝(q－1)·qn－1，
∴bn＝(q－1)qn－1(q≠0且q≠1，n∈N*)．
1．要注意利用等比數(shù)列的定義解題．在很多時(shí)候緊扣定義是解決問題的關(guān)鍵．
2．注意基本量法：在用等比數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，以首項(xiàng)a1，公比q為基本量，其他量用這兩個(gè)量表示出來，再尋求條件與結(jié)論的聯(lián)系，往往使很多問題容易解決．
3．若已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為：aq－1，a，aq.
若已知五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，一般設(shè)為：aq－2，aq－1，a，aq，aq2.
若前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列、后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)四個(gè)數(shù)分別為a－d，a，a＋d，或2aq－1－a，aq－1，a，aq.
具體設(shè)法，要視題設(shè)條件不同而選擇，以便于運(yùn)算為目的．
【人教A版】新編高中數(shù)學(xué) 2.4.1等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式練習(xí) 新人教A版必修5
