高等數(shù)學(xué)備課教案：第一章 函數(shù)、極限與連續(xù) 第二節(jié)初等函數(shù)

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1、第二節(jié) 初等函數(shù) 分布圖示 ★ 反函數(shù) ★ 例1 ★ 例2 ★ 基本初等函數(shù) ★ 復(fù)合函數(shù) ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 初等函數(shù) ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 雙曲線和反雙曲線函數(shù) ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 1-2 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 一、反函數(shù)：反函數(shù)的概念；函數(shù)存在反函數(shù)的條件；在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi), 直接函數(shù)和反函數(shù)的圖形關(guān)于直線是對(duì)稱

2、的. 二、基本初等函數(shù)：冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù). 三、復(fù)合函數(shù)的概念 四、初等函數(shù)：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù). 初等函數(shù)的基本特征: 在函數(shù)有定義的區(qū)間內(nèi)初等函數(shù)的圖形是不間斷的. 五、雙曲函數(shù)和反雙曲函數(shù)的概念. 例題選講 求反函數(shù) 例1 (E01) 求函數(shù)的反函數(shù). 解 令則故即 解得 改變變量的記號(hào)，即得到所求反函數(shù): 例2 已知 (符號(hào)函數(shù)) 求的反函數(shù). 解 由題設(shè)，易

3、得 故所求反函數(shù)為 函數(shù)的復(fù)合 例3 (E02) 設(shè) ，，，求 . 解 例4 (E03) 將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合. (1) (2) (3) 解 是由四個(gè)函數(shù)復(fù)合而成; (2) 是由三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成; 是由 六個(gè)函數(shù)復(fù)合在而成. 分段函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算 例5 (E04) 設(shè) 求 解 (1)當(dāng)時(shí), 或或 (2)當(dāng)時(shí),或或 所以 例6 設(shè)求 解法1 令則 取代入得 取同樣可得所以 解法2 因?yàn)樗?

4、 例7 (E05) 某人在2008年欲用1000元投資5年，設(shè)年利率為5%，試分別按單利、復(fù)利和連續(xù)復(fù)利計(jì)算到第5年末，該人應(yīng)得的本利和. 解 按單利計(jì)算 （元）； 按復(fù)利計(jì)算 （元）； 按連續(xù)復(fù)利計(jì)算 （元）. 下表我們比較了利息按單利、復(fù)利和連續(xù)復(fù)利計(jì)算從2008年到2012年的本利和， 總額（元） 總額（元） 總額（元） 年份 年單利率計(jì) 年復(fù)利率計(jì) 連續(xù)利率計(jì) 2008 1050.00 1050.00 1051.27 2009

5、 1100.00 1102.50 1105.17 2010 1150.00 1157.63 1161.83 2011 1200.00 1215.51 1221.40 2012 1250.00 1276.28 1284.03 我們看到，當(dāng)按連續(xù)復(fù)利計(jì)算時(shí)，投資者賺錢最多；按單利計(jì)算時(shí)，投資者賺錢最少. 銀行為了吸引顧客，可以用額外多出來的錢來做廣告——我們按連續(xù)復(fù)利計(jì)算. 例8 (E06) 具有放射性的原子核在放射出粒子及

6、能量后可變得較為穩(wěn)定，這個(gè)過程稱為衰變. 實(shí)驗(yàn)表明某些原子以輻射的方式發(fā)射其部分質(zhì)量，該原子用其剩余物重新組成新元素的原子. 例如，放射性碳—14衰變成氮；鐳最終衰變成鉛. 若是時(shí)刻時(shí)放射性物質(zhì)的數(shù)量，在以后任何時(shí)刻的數(shù)量為 數(shù)稱為放射性物質(zhì)的衰減率. 對(duì)碳—14而言，當(dāng)用年份來度量時(shí)，其衰減率 . 試預(yù)測(cè)886年后的碳—14所占的百分比. 解 設(shè)碳—14原子核數(shù)量從開始，則886年后的剩余量是 即886年后的碳—14中約有89.9%的留存，約有10.1%的碳—14衰減掉了. 例9 (E07) 放射性元素的原子核有半數(shù)發(fā)生衰變時(shí)所需要的時(shí)間稱為半衰期. 事實(shí)上，半衰期是一個(gè)

7、常數(shù)，它只依賴于放射性物質(zhì)本身，而不依賴于其初始所含放射性核的數(shù)量. 證明 設(shè)是放射性物質(zhì)初始所含放射性核的數(shù)量，而表示任何以后時(shí)刻的放射性核的數(shù)量. 我們求出使得此時(shí)的放射性核的數(shù)量等于初始數(shù)量的一半，即 從而 的值就是該元素的半衰期. 它只依賴于的值，而與無關(guān). 釙—210的放射性半衰期是如此之短以致于不能用年而只能用天來度量. 釙—210的衰減率，所以該元素的半衰期為 半衰期 （天）. 例10 (E08) 地震的里氏震級(jí)是用常用對(duì)數(shù)來刻畫. 以下是它的公式 里氏震級(jí) 其中是監(jiān)聽站以微米計(jì)的地面運(yùn)動(dòng)的幅度，是地震波以秒計(jì)的周期，而是由于隨離震中的距離增大時(shí)地震波減弱所允許的一個(gè)經(jīng)驗(yàn)因子. 對(duì)監(jiān)聽站10000千米處的地震來說，. 如果記錄的垂直地面運(yùn)動(dòng)為而周期，那么震級(jí)為 這種強(qiáng)度的地震在其震中附近會(huì)造成極大的破壞. 課堂練習(xí) 1．下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù), 若能, 寫出其解析式、定義域、值域. 2．分析函數(shù) 的復(fù)合結(jié)構(gòu).