高等數(shù)學(xué)：3-1 中值定理

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1、第三章微分中值定理 與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3.1.2 羅爾羅爾( Rolle )定理定理3.1.3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)定理定理 3.1.4 柯西柯西(Cauchy)定理定理 3.1 中值定理 3.1.1 費(fèi)馬費(fèi)馬(Fermat)引理引理,)(0有定義在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 對(duì)0000(),()(),xxxf xxf x 有有則則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 3.1.1 費(fèi)馬費(fèi)馬(Fermat)引理引理幾何意義注：注：通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函

2、數(shù)的通常稱導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為函數(shù)的 駐點(diǎn)駐點(diǎn)（或（或穩(wěn)定點(diǎn)穩(wěn)定點(diǎn)， 臨界點(diǎn)臨界點(diǎn)）。）。Back)(xfy 滿足滿足:(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3) 在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即 f ( a ) = f ( b ),使得使得. 0)(f證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m.若若 M = m, 則則, ,)(baxMxf此時(shí)此時(shí)( , ),( )0.a bf 在在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)3.1.2、羅

3、爾、羅爾( Rolle )定理定理Back幾何意義若若 M m, 則則 M 和和 m 中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點(diǎn)則至少存在一點(diǎn), ),(ba使得使得,)(Mf. 0)(f注注: 若定理?xiàng)l件不全具備若定理?xiàng)l件不全具備, 則結(jié)論不一定成立則結(jié)論不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo故由故由 Fermat 引理引理 得得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo例例1. f xxxxx( )1234fx( )0 已知已知，判斷判斷方程方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間。有幾個(gè)實(shí)根，并指出它

4、們所在的區(qū)間。解：解：顯然顯然( )f x在在1,2上滿足上滿足 Rolle 定理定理 的條件的條件.111,2), .(.()0.s t fxx 類似地類似地, 例例2. 若若12(,),xx 因因此此 0( )( )( )( )xxFe f xe fe f )(xf可導(dǎo)可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn)的零點(diǎn). 證證:設(shè)設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證欲證:, ),(21xx使得使得0)()(ff只要證只要證0)()(ffee亦即亦即( )0 xxe f x 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù), )()(xfexFx顯然顯然)(xF在在,21xx上滿足上

5、滿足 Rolle 定理定理 的條件的條件. 使得使得求證存在求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使得使得例例3. 設(shè)設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且,0) 1 (f在在連續(xù)，連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：( )( )nF xx f x , ) 1 ,0(因此至少存在一點(diǎn)因此至少存在一點(diǎn)顯然顯然( )F x在在 上滿足上滿足 Rolle 定理定理 的條件的條件, 1 , 0( )F 即即0)()(ffn設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)使得使得1( )( )nnnff 0 3.1.3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)定理定理( ) F (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù))(xf

6、y 滿足滿足:(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ),(ba使得使得.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)顯然顯然,( )F x在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù), 在在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證( )F x )(xfxabafbf)()( )F a由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)由羅爾定理知至少存在一點(diǎn), ),(ba( )0,F 使使得得 即定理結(jié)論成立即定理結(jié)論成立.( ),F b abbfaafb)()(0)(

7、)()(abafbffBack注：(1) 此定理的幾何意義是此定理的幾何意義是: 可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線有一點(diǎn)處的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線(2) 拉格朗日定理拉格朗日定理 結(jié)論結(jié)論 的其他表示形式：的其他表示形式：)()(afbf)(abf),(ba )()(afbf)(ababaf) 1 , 0()()(xfxxfxxxf)() 1 , 0(從式從式 可以看出可以看出,拉格朗日定理將函數(shù)在有限拉格朗日定理將函數(shù)在有限區(qū)間上的區(qū)間上的增量和這一區(qū)間上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來增量和這一區(qū)間上某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來, 從而提供了從而提供了用導(dǎo)數(shù)研究

8、函數(shù)的理論依據(jù)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的理論依據(jù). 式式稱為稱為 有限增量公式有限增量公式.推論推論: 若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 I 上滿足上滿足,0)( xf則則)(xf在在 I 上必為常數(shù)上必為常數(shù).)(xf證證: 在在 I 上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn), )(,2121xxxx12,xx在在上上用用拉格朗日定理 , 得得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由由 的任意性知的任意性知, 21,xx)(xf在在 I 上為常數(shù)上為常數(shù).例例4. 證明恒等式證明恒等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 證證:( )arcsinarccos,f xxx設(shè)設(shè) 上則在) 1,

9、1()(xf由推論可知由推論可知( )arcsinarccosf xxxC (常數(shù)常數(shù)) 令令 x = 0, 得得.2C又又,2) 1(f故所證等式在定義域故所證等式在定義域 上成立上成立. 1, 1211x211x0經(jīng)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn): 欲證欲證Ix時(shí)時(shí)( ),f xC 只需證在只需證在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且0().f xC 使使得得例例5. 證明不等式證明不等式證證: 設(shè)設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf定理的條件定理的條件,即即因?yàn)橐驗(yàn)楣使? )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0

10、, )0)(因此有因此有3.1.4 柯西柯西(Cauchy) 定理定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及及(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)(3)在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)內(nèi)至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ),(ba使得使得.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足滿足:)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfxBack幾何意義證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFb

11、Fafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax且且, ),(ba使得使得, 0)(即即由羅爾定理知由羅爾定理知, 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn).)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對(duì)嗎柯西定理的下述證法對(duì)嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個(gè) 不一定相同錯(cuò)錯(cuò)! !上面兩式相比即得結(jié)論上面兩式相比即得結(jié)論. )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例6. 設(shè)設(shè)).0() 1 (2)(fff22(1)(0)( )102fff xxxf)()(2

12、,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),1,0(使得使得證證: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為設(shè)設(shè)則則)(, )(xFxf在在 0, 1 上滿足上滿足 柯西定理定理 條件條件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得使得)(f )(F2即即)0() 1 (2)(fff證明證明內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理之間的相互關(guān)系微分中值定理之間的相互關(guān)系羅爾定理拉格朗日定理柯西定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理的應(yīng)用(2) 證明恒等式證明恒等式(3) 證明不等式

13、證明不等式(1) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維找輔助函數(shù)費(fèi)馬引理費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)(1601 1665)Back法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家, 他是一位律師他是一位律師, 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好。只是他的業(yè)余愛好。 在數(shù)學(xué)上有許多在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn)重大貢獻(xiàn). 他特別愛好數(shù)論他特別愛好數(shù)論, 他于他于1637 年年提出的費(fèi)馬大定理提出的費(fèi)馬大定理:2,nnnnxyz當(dāng)正整數(shù)時(shí) 方程 無正整數(shù)解到到 1995 年才被年才被英國英國數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)家 懷爾斯懷爾斯 及其學(xué)生及其學(xué)生 泰勒泰勒 所證明。所證明。.費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中費(fèi)

14、馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的提煉出來的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家. 他在方程論他在方程論, 解析函數(shù)論解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn)及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn), 近百近百余年來余年來, 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作, 他是對(duì)分析數(shù)學(xué)他是對(duì)分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西柯西(1789 1857)法國數(shù)學(xué)家法國數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué)在微積分學(xué),柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷. 其中最

15、重要的的是為巴黎綜合學(xué)其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫的校編寫的分析教程分析教程, 無窮小分析概論無窮小分析概論,微積分微積分在幾何上的應(yīng)用在幾何上的應(yīng)用 等等, 有思想有創(chuàng)建有思想有創(chuàng)建, 廣泛而深遠(yuǎn)廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影響對(duì)數(shù)學(xué)的影響他是經(jīng)典分析的奠基人之一他是經(jīng)典分析的奠基人之一, 為微積分為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面復(fù)變函數(shù)和微分方程方面. 一生發(fā)表論文一生發(fā)表論文800余篇余篇, 著書著書 7 本本, Back00000( )()()( )()yf xxf xfxyf xxf xx 費(fèi)費(fèi)馬馬引引理理的的幾幾何何意意義義

16、：若若 在 在以以 為 為中中心心的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，是是最最值值且且 存 存在在，則則曲曲線線 在 在點(diǎn)點(diǎn)，處處有有平平行行于于 軸 軸的的切切線線。0 x0 x Rolle 定理的幾何意義定理的幾何意義 yxOABCAB如果連續(xù)曲線弧如果連續(xù)曲線弧 除端點(diǎn)外處處除端點(diǎn)外處處有不垂直于有不垂直于 x 軸的切線，且軸的切線，且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，上至少存在一異于上至少存在一異于A、B 的點(diǎn)的點(diǎn)ABC，使使 在該點(diǎn)的切線在該點(diǎn)的切線平行于平行于 x 軸（平行于弦軸（平行于弦AB） AB則則Back柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意到注意到:xyo弦的斜率弦的斜率切線的斜率切線的斜率Back