高等數(shù)學：3-1 中值定理

第三章微分中值定理 與導數(shù)的應(yīng)用 3.1.2 羅爾羅爾( Rolle )定理定理3.1.3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)定理定理 3.1.4 柯西柯西(Cauchy)定理定理 3.1 中值定理 3.1.1 費馬費馬(Fermat)引理引理,)(0有定義在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf證證: 對0000(),()(),xxxf xxf x 有有則則)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xf)(xfy 3.1.1 費馬費馬(Fermat)引理引理幾何意義注：注：通常稱導數(shù)為零的點為函數(shù)的通常稱導數(shù)為零的點為函數(shù)的 駐點駐點（或（或穩(wěn)定點穩(wěn)定點， 臨界點臨界點）。）。Back)(xfy 滿足滿足:(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導內(nèi)可導(3) 在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即 f ( a ) = f ( b ),使得使得. 0)(f證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m.若若 M = m, 則則, ,)(baxMxf此時此時( , ),( )0.a bf 在在 ( a , b ) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點3.1.2、羅爾、羅爾( Rolle )定理定理Back幾何意義若若 M m, 則則 M 和和 m 中至少有一個與端點值不等中至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)不妨設(shè) , )(afM 則至少存在一點則至少存在一點, ),(ba使得使得,)(Mf. 0)(f注注: 若定理條件不全具備若定理條件不全具備, 則結(jié)論不一定成立則結(jié)論不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo故由故由 Fermat 引理引理 得得 1 , 1)(xxxf 1 ,0)(xxxfx1yo1x1yo例例1. f xxxxx( )1234fx( )0 已知已知，判斷判斷方程方程有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。有幾個實根，并指出它們所在的區(qū)間。解：解：顯然顯然( )f x在在1,2上滿足上滿足 Rolle 定理定理 的條件的條件.111,2), .(.()0.s t fxx 類似地類似地, 例例2. 若若12(,),xx 因因此此 0( )( )( )( )xxFe f xe fe f )(xf可導可導, 試證在其兩個零點間一定有試證在其兩個零點間一定有)()(xfxf的零點的零點. 證證:設(shè)設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證欲證:, ),(21xx使得使得0)()(ff只要證只要證0)()(ffee亦即亦即( )0 xxe f x 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù), )()(xfexFx顯然顯然)(xF在在,21xx上滿足上滿足 Rolle 定理定理 的條件的條件. 使得使得求證存在求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使得使得例例3. 設(shè)設(shè) 1 , 0可導，且可導，且,0) 1 (f在在連續(xù)，連續(xù)，) 1 ,0()(xf證證：( )( )nF xx f x , ) 1 ,0(因此至少存在一點因此至少存在一點顯然顯然( )F x在在 上滿足上滿足 Rolle 定理定理 的條件的條件, 1 , 0( )F 即即0)()(ffn設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)使得使得1( )( )nnnff 0 3.1.3 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)定理定理( ) F (1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù))(xfy 滿足滿足:(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導內(nèi)可導至少存在一點至少存在一點, ),(ba使得使得.)()()(abafbffxyoab)(xfy 思路思路: 利用逆向思維逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)顯然顯然,( )F x在在 a , b 上連續(xù)上連續(xù), 在在 ( a , b ) 內(nèi)可導內(nèi)可導, 且且證證: 問題轉(zhuǎn)化為證問題轉(zhuǎn)化為證( )F x )(xfxabafbf)()( )F a由羅爾定理知至少存在一點由羅爾定理知至少存在一點, ),(ba( )0,F 使使得得 即定理結(jié)論成立即定理結(jié)論成立.( ),F b abbfaafb)()(0)()()(abafbffBack注：(1) 此定理的幾何意義是此定理的幾何意義是: 可導函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少可導函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一點處的切線平行于兩個端點的連線有一點處的切線平行于兩個端點的連線(2) 拉格朗日定理拉格朗日定理 結(jié)論結(jié)論 的其他表示形式：的其他表示形式：)()(afbf)(abf),(ba )()(afbf)(ababaf) 1 , 0()()(xfxxfxxxf)() 1 , 0(從式從式 可以看出可以看出,拉格朗日定理將函數(shù)在有限拉格朗日定理將函數(shù)在有限區(qū)間上的區(qū)間上的增量和這一區(qū)間上某點處的導數(shù)聯(lián)系起來增量和這一區(qū)間上某點處的導數(shù)聯(lián)系起來, 從而提供了從而提供了用導數(shù)研究函數(shù)的理論依據(jù)用導數(shù)研究函數(shù)的理論依據(jù). 式式稱為稱為 有限增量公式有限增量公式.推論推論: 若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間 I 上滿足上滿足,0)( xf則則)(xf在在 I 上必為常數(shù)上必為常數(shù).)(xf證證: 在在 I 上任取兩點上任取兩點, )(,2121xxxx12,xx在在上上用用拉格朗日定理 , 得得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由由 的任意性知的任意性知, 21,xx)(xf在在 I 上為常數(shù)上為常數(shù).例例4. 證明恒等式證明恒等式arcsinarccos, 1,1.2xxx 證證:( )arcsinarccos,f xxx設(shè)設(shè) 上則在) 1, 1()(xf由推論可知由推論可知( )arcsinarccosf xxxC (常數(shù)常數(shù)) 令令 x = 0, 得得.2C又又,2) 1(f故所證等式在定義域故所證等式在定義域 上成立上成立. 1, 1211x211x0經(jīng)驗經(jīng)驗: 欲證欲證Ix時時( ),f xC 只需證在只需證在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且0().f xC 使使得得例例5. 證明不等式證明不等式證證: 設(shè)設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(xtf定理的條件定理的條件,即即因為因為故故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此有因此有3.1.4 柯西柯西(Cauchy) 定理定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及及(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù)上連續(xù)(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導內(nèi)可導(3)在開區(qū)間在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)內(nèi)至少存在一點至少存在一點, ),(ba使得使得.)()()()()()(FfaFbFafbf滿足滿足:)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要證要證)()()()()()()(xfxFaFbFafbfxBack幾何意義證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(內(nèi)可導在上連續(xù)在則babax且且, ),(ba使得使得, 0)(即即由羅爾定理知由羅爾定理知, 至少存在一點至少存在一點.)()()()()()(FfaFbFafbf思考思考: 柯西定理的下述證法對嗎柯西定理的下述證法對嗎 ?),(, )()()(baabfafbf),(, )()()(baabFaFbF兩個 不一定相同錯錯! !上面兩式相比即得結(jié)論上面兩式相比即得結(jié)論. )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例6. 設(shè)設(shè)).0() 1 (2)(fff22(1)(0)( )102fff xxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導在上連續(xù)在xf至少存在一點至少存在一點),1,0(使得使得證證: 結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為設(shè)設(shè)則則)(, )(xFxf在在 0, 1 上滿足上滿足 柯西定理定理 條件條件, 因此在因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點 , 使得使得)(f )(F2即即)0() 1 (2)(fff證明證明內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分中值定理之間的相互關(guān)系微分中值定理之間的相互關(guān)系羅爾定理拉格朗日定理柯西定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的應(yīng)用微分中值定理的應(yīng)用(2) 證明恒等式證明恒等式(3) 證明不等式證明不等式(1) 證明有關(guān)中值問題的結(jié)論證明有關(guān)中值問題的結(jié)論關(guān)鍵關(guān)鍵: 利用逆向思維找輔助函數(shù)費馬引理費馬費馬(1601 1665)(1601 1665)Back法國數(shù)學家法國數(shù)學家, 他是一位律師他是一位律師, 數(shù)學數(shù)學只是他的業(yè)余愛好。只是他的業(yè)余愛好。 在數(shù)學上有許多在數(shù)學上有許多重大貢獻重大貢獻. 他特別愛好數(shù)論他特別愛好數(shù)論, 他于他于1637 年年提出的費馬大定理提出的費馬大定理:2,nnnnxyz當正整數(shù)時 方程 無正整數(shù)解到到 1995 年才被年才被英國英國數(shù)學家數(shù)學家 懷爾斯懷爾斯 及其學生及其學生 泰勒泰勒 所證明。所證明。.費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中 提煉出來的提煉出來的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國數(shù)學家法國數(shù)學家. 他在方程論他在方程論, 解析函數(shù)論解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻, 近百近百余年來余年來, 數(shù)學中的許多成就都直接或間數(shù)學中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作, 他是對分析數(shù)學他是對分析數(shù)學 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.柯西柯西(1789 1857)法國數(shù)學家法國數(shù)學家, 他對數(shù)學的貢獻主要集中他對數(shù)學的貢獻主要集中在微積分學在微積分學,柯柯 西全集西全集共有共有 27 卷卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學其中最重要的的是為巴黎綜合學 校編寫的校編寫的分析教程分析教程, 無窮小分析概論無窮小分析概論,微積分微積分在幾何上的應(yīng)用在幾何上的應(yīng)用 等等, 有思想有創(chuàng)建有思想有創(chuàng)建, 廣泛而深遠廣泛而深遠.對數(shù)學的影響對數(shù)學的影響他是經(jīng)典分析的奠基人之一他是經(jīng)典分析的奠基人之一, 為微積分為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展所奠定的基礎(chǔ)推動了分析的發(fā)展. 復變函數(shù)和微分方程方面復變函數(shù)和微分方程方面. 一生發(fā)表論文一生發(fā)表論文800余篇余篇, 著書著書 7 本本, Back00000( )()()( )()yf xxf xfxyf xxf xx 費費馬馬引引理理的的幾幾何何意意義義：若若 在 在以以 為 為中中心心的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，是是最最值值且且 存 存在在，則則曲曲線線 在 在點點，處處有有平平行行于于 軸 軸的的切切線線。0 x0 x Rolle 定理的幾何意義定理的幾何意義 yxOABCAB如果連續(xù)曲線弧如果連續(xù)曲線弧 除端點外處處除端點外處處有不垂直于有不垂直于 x 軸的切線，且軸的切線，且兩端點的縱坐標相等，兩端點的縱坐標相等，上至少存在一異于上至少存在一異于A、B 的點的點ABC，使使 在該點的切線在該點的切線平行于平行于 x 軸（平行于弦軸（平行于弦AB） AB則則Back柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:)()()()()()(FfaFbFafbf)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意到注意到:xyo弦的斜率弦的斜率切線的斜率切線的斜率Back