四川省開江縣高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)的概念 1.3.2 函數(shù)的奇偶性（1）課件 新人教A版必修1

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1、情景情景1:觀察下列圖形觀察下列圖形,回顧軸對稱與中心對稱概念及其特征回顧軸對稱與中心對稱概念及其特征. 導(dǎo)入導(dǎo)入情景情景2：數(shù)學(xué)中有許多對稱美的圖形，函數(shù)中也有不少數(shù)學(xué)中有許多對稱美的圖形，函數(shù)中也有不少具有對稱特征的美麗圖像具有對稱特征的美麗圖像,比如比如 等函數(shù)圖像等函數(shù)圖像.21,yxyx= = =f(x)=x2 如何從如何從“數(shù)數(shù)”的方面定量刻畫這些函數(shù)圖像的對稱的方面定量刻畫這些函數(shù)圖像的對稱本質(zhì)呢？這就是本課時(shí)學(xué)習(xí)的函數(shù)的奇偶性本質(zhì)呢？這就是本課時(shí)學(xué)習(xí)的函數(shù)的奇偶性.1.3.2 1.3.2 函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性(1)(1)觀察下圖，思考并討論以下問題：觀察下圖，思考并討論以下

2、問題：(1) 這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？(2) 如何利用函數(shù)解析式描述函數(shù)圖象的這個(gè)特征呢如何利用函數(shù)解析式描述函數(shù)圖象的這個(gè)特征呢？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 實(shí)際上，對于實(shí)際上，對于R內(nèi)任意的一個(gè)內(nèi)任意的一個(gè)x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),這時(shí)我們稱函數(shù)這時(shí)我們稱函數(shù)y=x2為偶函數(shù)為偶函數(shù). 定義定義: :一般地一般地, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)

3、的任意一個(gè)x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函數(shù)偶函數(shù) 觀察函數(shù)觀察函數(shù)f(x)=x和和 的圖象的圖象(下圖下圖)，你能發(fā)現(xiàn)兩，你能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？個(gè)函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1) 實(shí)際上，對于實(shí)際上，對于R內(nèi)任意的一個(gè)內(nèi)任意的一個(gè)x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),這這時(shí)我們稱函數(shù)時(shí)我們稱函數(shù)y=x為奇函數(shù)為奇函數(shù).f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)1( )f xx 定義定義: :一般地一般地

4、, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x， 都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇函數(shù)奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù): :一般地一般地, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x， 都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做偶函數(shù)就叫做偶函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù): :一般地一般地, ,對于函數(shù)對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x， 都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做奇函數(shù)就叫做奇函數(shù) 定定 義義 注注 意：意： 1、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性、函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函

5、數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性. 3、由定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，、由定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)對于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則，則x也一定是定義域內(nèi)的也一定是定義域內(nèi)的（即（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）2、定義中、定義中“任意任意”二字，說明函數(shù)的奇偶性在定義域二字，說明函數(shù)的奇偶性在定義域上的一個(gè)整體性質(zhì)，它不同于函數(shù)的單調(diào)性上的一個(gè)整體性質(zhì)，它不同于函數(shù)的單調(diào)性 .例例1.根據(jù)下列函數(shù)圖象根據(jù)下列函數(shù)圖象,判斷函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)奇偶性.112)(2 xxfyxyx0)( xfyx-122 , 1,)(2 xxxfyx-111 , 1,)(

6、3 xxxf偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)例例2、判斷下列函數(shù)的奇偶性：、判斷下列函數(shù)的奇偶性：452(1 ) () ( 2 ) ()11( 3 ) () ( 4 ) ()fxxfxxfxxfxxx (1)定義域?yàn)槎x域?yàn)?-,+) 即即 f(-x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).(2)定義域?yàn)槎x域?yàn)?-,+) 即即 f(-x) = -f(x) f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).(3)定義域?yàn)槎x域?yàn)閤|x0(4)定義域?yàn)槎x域?yàn)閤|x0 即即 f(-x) = -f(x) f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).即即 f(-x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù).

7、解：解： f(-x)=(-x)4=f(x) f(-x)=(-x)5= - x5 = -f(x) f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) f(-x)=1/(-x)2=f(x)(1)、先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；、先求定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；(2)、再判斷、再判斷f(-x)=-f(x)或或f(-x)=f(x)是否恒成立是否恒成立.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：即即 f(-x)f(x)=0或或f(-x)f(x)=0是否恒成立是否恒成立. 練習(xí)練習(xí). 判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷下列函數(shù)的奇偶性：1(3)( )(1)1xf xxx ；(1)( ) |1|1|f xx

8、x；(2)( )0f x ；解：解： (1) f(x)的定義域是的定義域是 R ，且且()|1|1|fxxx |1|1|xx( )f x f(x) 是偶函數(shù)是偶函數(shù). (2) 函數(shù)的定義域是函數(shù)的定義域是R，且且 f(x)=0， f(-x)=0. f(-x)=-f(x) ， f(-x)=f(x).函數(shù)函數(shù)f(x)=0既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).(1) (0)4( )(1) (0).xxxf xxxx （）101xx 函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域-1，1) (3)(1)(1)0(1)xxx 11x 1(3)( )(1)1xf xxx ；解：解：關(guān)于原點(diǎn)不對稱，關(guān)于原點(diǎn)不對稱，函數(shù)函數(shù)f

9、(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(1) (0)4( )(1) (0).xxxf xxxx （）(4)f(x)的定義域是的定義域是(，0)(0，+)，當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x0，f(x)=當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x0，f(x)=故故f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).=x(1+x)=f(x) (x0).=f(x) (x0)，(x)1(x)=x(1x)(x)1 (x)綜上：綜上：f(x)=f(x)解：解：(1) (0)4( )(1) (0).xxxf xxxx （）f(x)的定義域是的定義域是(，0)(0，+)，當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x0，f(x)=當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，x0，f(x)=故故f(x)為奇函數(shù)為

10、奇函數(shù).=x(1+x)=f(x) (x0).=f(x) (x0)，(x)1(x)=x(1x)(x)1 (x)綜上：綜上：f(x)=f(x)法法2： f(x)的定義域是的定義域是(，0)(0，+)，(1) (0)()(1) (0)xxxfxxxx 且且(1) (0)(1) (0)xxxxxx ( )f x 故故f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù).即即f(x)=f(x)例例3、已知函數(shù)、已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象軸右邊的圖象 如下圖，畫出在如下圖，畫出在y軸左邊的圖象軸左邊的圖象.xy0相等xy0練習(xí)練習(xí)、已知函數(shù)、已知函數(shù)y=f(x)是定義在是定義在R上的奇函數(shù)，它在上的奇函數(shù)，它在y軸軸 右邊的圖象如下圖，補(bǔ)全函數(shù)的圖象右邊的圖象如下圖，補(bǔ)全函數(shù)的圖象.)(,0),1()(,0,)(4.的的解解析析式式求求時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是偶偶函函數(shù)數(shù)例例xfxxxxfxxf 的的值值為為奇奇函函數(shù)數(shù)，試試求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)axaxxxf)(1()(練習(xí)：練習(xí)：