2020年中考數(shù)學(xué)考點總動員 第22講 與圓有關(guān)的位置關(guān)系（含解析）

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1、第22講　與圓有關(guān)的位置關(guān)系 1．點和圓的位置關(guān)系(設(shè)d為點P到圓心的距離，r為圓的半徑)： (1)點P在圓上?d＝r； (2)點P在圓內(nèi)?dr． 2．直線和圓的位置關(guān)系 (1)設(shè)r是⊙O的半徑，d是圓心O到直線l的距離． 直線和圓的位置關(guān)系 圖形 公共點個數(shù) 圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系 公共點名稱 直線名稱 相交 2 d＜r 交點 割線 相切 1 d＝r 切點 切線 相離 0 d>r 無 無 (2)切線的性質(zhì)： ①切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑． ②推論

2、1：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。 ③推論2：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點 (3)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． (4)①切線長：經(jīng)過圓外一點作圓的一條切線；這一點與切點之間的線段長度叫做點到圓的切線長． ②切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角． 3．三角形的外接圓和內(nèi)切圓 名稱 圖形 內(nèi)、外心 性質(zhì) 三角形的外接圓 三邊垂直平分線的交點稱為三角形的外心 三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等 三角形的內(nèi)切圓 三條角平分線的交點稱為三角形的內(nèi)心

3、 三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等 考點1：圓的切線的判定與性質(zhì) 【例題1】如圖，AB是⊙O的直徑，且長為10，點P是AB下方的半圓上不與點A，B重合的一個動點，點C為AP的中點，延長CO交⊙O于點D，連接AD，過點D作⊙O的切線交PB的延長線于點E，連CE. (1)若∠ADC＝30°，求的長； (2)求證：△DAC≌△ECP； (3)在點P運動過程中，若tan∠DCE＝，求AD的長． 【點撥】　(1)利用同弧所對圓周角與圓心角之間的關(guān)系，可求得∠DOB＝60°，利用弧長公式求的長；(2)先證得四邊形DCPE是矩形，從而證明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan∠DCE

4、在Rt△DAC中獲得三邊的數(shù)量關(guān)系，在Rt△AOC中建立方程求解． 【解答】　解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°. ∴∠DOB＝60°. ∴l(xiāng)＝＝. (2)證明：連接OP. ∵AO＝OP，點C是AP的中點，∴∠DCP＝90°. ∵DE是⊙O的切線，∴∠CDE＝90°. ∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB＝90°.∴四邊形DCPE是矩形．∴DC＝EP. 又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS)． (3)由(2)知，四邊形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP， ∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE. ∵tan∠DCE＝，∴t

5、an∠ADC＝. ∴設(shè)AC＝x，則DC＝2x，AD＝x. 在Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2， ∴52＝x2＋(2x－5)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝4. ∴AD＝4. 歸納：1.切線的判定：在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點已知，證明方法是“連半徑，證垂直”；若直線與圓的公共點未知，證明方法是“作垂線，證半徑”．這兩種情況可概括為一句話：“有交點，連半徑，無交點，作垂線”． 2．求線段長度時通常在構(gòu)造的直角三角形中(注意直徑所對的圓周角也可得直角三角形)利用三角函數(shù)或勾股定理求解，有時也需根據(jù)圓中相等的角得到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例

6、建立等式進行求解． 考點2：圓的切線綜合應(yīng)用 【例題2】（甘肅蘭州，27，10分）如圖，三角形ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE=DC． （1）求證：CF是⊙O的切線； （2）若⊙O的半徑為5，BC=，求DE的長． 【提示】（1）第一步：連接OC，易知∠A=∠OCA，由OD⊥AB證得∠A＋∠AEO=90°； 第二步：根據(jù)“等邊對等角”有∠DEC=∠DCE，代換得∠OCE+∠DCE=90°，從而證得結(jié)論； （2）第一步：作DH⊥EC，根據(jù)“等角的余角相等”可得∠EDH=∠A，△EDC中根據(jù)

7、三線合一得EH =HC=EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=；第三步：由△AEO∽△ABC得，代入數(shù)據(jù)求得AE，進一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sin∠A= sin∠EDH，從而，進而求得DE的長． 【解答】解：（1）證明：連接OC，則∠A=∠OCA，∵ OD⊥AB，∴∠AOE=90°，∴∠A＋∠AEO=90°， ∵DE =DC，∴∠DEC=∠DCE，∵∠AEO=∠DEC， ∴ ∠AEO= ∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∴CF是⊙O的切線． （2）作DH⊥EC，則∠EDH=∠A，∵DE =DC，∴ EH =HC=EC，∵ ⊙O的半徑為5，BC= ∴AB

8、=10，AC=，∵△AEO∽△ABC，∴， ∴AE=，∴EC=AC-AE==， ∴EH=EC=， ∵∠EDH=∠A，∴sin∠A= sin∠EDH，即， ∴DE=． 歸納：當⊙C與AB相切時，只有一個交點，同時要注意AB是線段，當圓的半徑R在一定范圍內(nèi)時，斜邊AB與⊙C相交且只有一個公共點． 考點3：圓與其它知識的綜合應(yīng)用 【例題3】【例1】　如圖，點C是以AB為直徑的圓O上一點，直線AC與過B點的切線相交于D，點E是BD的中點，直線CE交直線AB于點F. (1)求證：CF是⊙O的切線； (2)若ED＝3，cos∠F＝，求⊙O的半徑． 【分析】　(1)要判斷CF是切線，

9、根據(jù)切線的判定“有切點，連半徑”，連接CB、OC，根據(jù)圓周角定理得∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CE＝BE，所以∠BCE＝∠CBE，根據(jù)角之間的等量代換證得∠OCE＝90°，進而證得CF是切線；(2)由題意得CE＝BE＝DE＝3，在Rt△BFE中，利用cos∠F＝和tan∠F可計算出BF，再利用勾股定理可得EF，由CF＝CE＋EF得CF，最后在Rt△OCF中，利用正切函數(shù)可計算出OC. 【解析】(1)證明：如圖，連接CB、OC， ∵BD為⊙O的切線，∴DB⊥AB， ∴∠ABD＝90°，∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°，

10、 ∵E為BD的中點， ∴CE＝BE，∴∠BCE＝∠CBE，而∠OCB＝∠OBC， ∴∠OBC＋∠CBE＝∠OCB＋∠BCE＝90°， ∴OC⊥CF，∴CF是⊙O的切線； (2)解：CE＝BE＝DE＝3， 在Rt△BFE中，cos∠F＝，tan∠F＝＝， ∴BF＝4，∴EF＝＝5， ∴CF＝CE＋EF＝8，在Rt△OCF中，tan∠F＝＝， ∴OC＝6.即⊙O的半徑為6 一、選擇題： 1. 矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，點P在邊AB上，且BP＝3AP，如果圓P是以點P為圓心，PD為半徑的圓，那么下列判斷正確的是(　　) A．點B，C均在圓P外 B．點

11、B在圓P外、點C在圓P內(nèi) C．點B在圓P內(nèi)、點C在圓P外 D．點B，C均在圓P內(nèi) 【答案】C 【解析】：畫出矩形后求解出DP的長度即圓的半徑，然后求出BP，CP的長度與DP的長度作比較就可以發(fā)現(xiàn)答案．在Rt△ADP中，DP＝＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝＝9. ∵PC＞DP，BP＜DP，∴點B在圓P內(nèi)，點C在圓P外． 答案：C 2. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半徑分別為1 cm,4 cm，則⊙A，⊙B的位置關(guān)系是(　　) A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離 【答案】A 【解析】：如圖所示，由勾股定理可得AB

12、＝＝＝5(cm)， ∵⊙A，⊙B的半徑分別為1 cm,4 cm， ∴圓心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置關(guān)系是外切． 答案：A 3. （2018·重慶市B卷）（4.00分）如圖，△ABC中，∠A=30°，點O是邊AB上一點，以點O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，⊙O恰好與AC相切于點D，連接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，則線段CD的長是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：連接OD ∵OD是⊙O的半徑，AC是⊙O的切線，點D是切點， ∴OD⊥AC 在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2， ∴OD=

13、OB=2，AO=4， ∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD=∠CBD ∴∠ODB=∠CBD ∴OD∥CB， ∴ 即 ∴CD=． 故選：B． 4. （2019?黑龍江哈爾濱?3分）如圖，PA.PB分別與⊙O相切于A.B兩點，點C為⊙O上一點，連接AC.BC，若∠P＝50°，則∠ACB的度數(shù)為（　?。? A．60° B．75° C．70° D．65° 【答案】D 【解答】解：連接OA.OB， ∵PA.PB分別與⊙O相切于A.B兩點， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝1

14、30°， ∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°． 故選：D． 5. (2019湖北仙桃)（3分）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E，連接BD．下列結(jié)論：①CD是⊙O的切線；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正確結(jié)論的個數(shù)有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【答案】A 【解答】解：連結(jié)DO． ∵AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的切線， ∴∠CBO＝90°， ∵AD∥OC， ∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD． 又∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO， ∴∠CO

15、D＝∠COB． 在△COD和△COB中，， ∴△COD≌△COB（SAS）， ∴∠CDO＝∠CBO＝90°． 又∵點D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切線；故①正確， ∵△COD≌△COB， ∴CD＝CB， ∵OD＝OB， ∴CO垂直平分DB， 即CO⊥DB，故②正確； ∵AB為⊙O的直徑，DC為⊙O的切線， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°， ∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠ADE＝∠BDO， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠EDA＝∠DBE， ∵∠E＝∠E， ∴△EDA∽△EBD，故③正確； ∵∠EDO＝∠EBC＝90°，

16、 ∠E＝∠E， ∴△EOD∽△ECB， ∴， ∵OD＝OB， ∴ED?BC＝BO?BE，故④正確； 故選：A． 二、填空題： 6. （2019?江蘇蘇州?3分）如圖，為的切線，切點為，連接，與交于點，延長與交于點，連接，若，則的度數(shù)為 . 【答案】 【解答】切線性質(zhì)得到 7. （2018·山東泰安·3分）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為（3，4），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為 . 【答案】6 【解答】解：∵PA⊥PB， ∴∠A

17、PB=90°， ∵AO=BO， ∴AB=2PO， 若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值， 連接OM，交⊙M于點P′，當點P位于P′位置時，OP′取得最小值， 過點M作MQ⊥x軸于點Q， 則OQ=3、MQ=4， ∴OM=5， 又∵MP′=2， ∴OP′=3， ∴AB=2OP′=6， 8. （2018·山東威?！?分）如圖，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足為D，⊙E是△ACD的內(nèi)切圓，連接AE，BE，則∠AEB的度數(shù)為　?。? 【答案】135° 【解答】解：如圖，連接EC． ∵E是△ADC的內(nèi)心， ∴∠AEC=90°+∠ADC=135°， 在△AEC和

18、△AEB中， ， ∴△EAC≌△EAB， ∴∠AEB=∠AEC=135°， 故答案為135°． 9. （2018年江蘇省泰州市?3分）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'B'C，P為線段A′B'上的動點，以點P為圓心，PA′長為半徑作⊙P，當⊙P與△ABC的邊相切時，⊙P的半徑為　?。? 【答案】或 【解答】解：如圖1中，當⊙P與直線AC相切于點Q時，連接PQ． 設(shè)PQ=PA′=r， ∵PQ∥CA′， ∴=， ∴=， ∴r=． 如圖2中，當⊙P與AB相切于點T時，易證A′、B′、T共線， ∵

19、△A′BT∽△ABC， ∴=， ∴=， ∴A′T=， ∴r=A′T=． 綜上所述，⊙P的半徑為或． 三、解答題： 10. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C為圓心，R為半徑的圓與斜邊AB只有一個公共點，求R的值． 解：當⊙O與AB相切時，AB＝＝5，∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴CD＝＝＝； 如圖，當⊙C與斜邊AB相交時，點A在圓內(nèi)部，點B在圓上或圓外時，此時AC＜R≤BC，即3＜R≤4.故答案為：3＜R≤4或R＝ 11. 如圖，AB是⊙O的直徑，∠BAC＝60°，P是OB上一點，過點P作AB的垂線與AC的延長線交于點Q，過點C的切

20、線CD交PQ于點D，連接OC. (1)求證：△CDQ是等腰三角形； (2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值． 【解析】：(1)證明：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. ∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°. 又∵∠BAC＝60°，OA＝OC， ∴△OAC是等邊三角形，∠ABC＝∠Q＝30°. ∴∠ACO＝60°.∴∠DCQ＝180°－90°－60°＝30°. ∴∠DCQ＝∠Q. ∴△CDQ是等腰三角形． (2)設(shè)⊙O的半徑為x，則AB＝2x，AC＝x，BC＝x. ∵△CDQ≌△COB，∴CQ＝BC＝x. ∴AQ＝AC＋CQ＝(1＋)x.∴AP＝AQ＝x

21、. ∴BP＝AB－AP＝x，PO＝AP－AO＝x. ∴BP∶PO＝. 12. (2018·揚州)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于點O，OE⊥AB于點E，以點O為圓心，OE為半徑作半圓，交AO于點F. (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)若點F是OA的中點，OE＝3，求圖中陰影部分的面積； (3)在(2)的條件下，點P是BC邊上的動點，當PE＋PF取最小值時，直接寫出BP的長． 【解析】：(1)證明：作OH⊥AC于點H. ∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴AO平分∠BAC. 又∵OE⊥AB，OH⊥AC， ∴OH＝OE，即OH為⊙O的半徑． ∴AC是⊙O的切線

22、． (2)∵點F是OA的中點， ∴OA＝2OF＝2OE＝6. 又∵OE＝3， ∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°. ∴AE＝3. ∴S陰影＝S△AOE－S扇形EOF ＝×3×3－ ＝. (3)作F點關(guān)于BC的對稱點F′，連接EF′交BC于點P，此時PE＋PF最?。? ∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′. ∵∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°， ∴∠F′＝30°.∴∠F′＝∠EAF′. ∴EF′＝EA＝3，即PE＋PF最小值為3. 在Rt△OPF′中，OP＝tan30°·OF′＝， 在Rt△ABO中，OB＝tan30°·OA＝2， ∴BP＝2－＝.

23、13. 　(2018·聊城)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于點E，作ED⊥EB交AB于點D，⊙O是△BED的外接圓． (1)求證：AC是⊙O的切線； (2)已知⊙O的半徑為2.5，BE＝4，求BC，AD的長． 【點撥】　(1)證AC是⊙O的切線，可轉(zhuǎn)化為證OE⊥AC；(2)求BC，AD的長可通過證明△BDE∽△BEC和△AOE∽△ABC. 【解答】　解：(1)證明：連接OE. ∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB. ∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE. ∴∠OEB＝∠CBE.∴OE∥BC. 又∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC

24、. 又∵OE是⊙O的半徑，∴AC為⊙O的切線． (2)∵ED⊥BE，∴∠BED＝∠C＝90°. 又∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC. ∴＝，即＝.∴BC＝. ∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC. ∴＝，即＝.∴AD＝. 14. （2019?四川省涼山州?8分）如圖，點D是以AB為直徑的⊙O上一點，過點B作⊙O的切線，交AD的延長線于點C，E是BC的中點，連接DE并延長與AB的延長線交于點F． （1）求證：DF是⊙O的切線； （2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的長． 【分析】（1）連接OD，由AB為⊙O的直徑得∠BDC＝90°，根據(jù)BE

25、＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根據(jù)BC是⊙O的切線得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得證； （2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解答】解：（1）如圖，連接OD，BD， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 在Rt△BDC中，∵BE＝EC， ∴DE＝EC＝BE， ∴∠1＝∠3， ∵BC是⊙O的切線， ∴∠3+∠4＝90°， ∴∠1+∠4＝90°， 又∵∠2＝∠4， ∴

26、∠1+∠2＝90°， ∴DF為⊙O的切線； （2）∵OB＝BF， ∴OF＝2OD， ∴∠F＝30°， ∵∠FBE＝90°， ∴BE＝EF＝2， ∴DE＝BE＝2， ∴DF＝6， ∵∠F＝30°，∠ODF＝90°， ∴∠FOD＝60°， ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°， ∴∠A＝∠F， ∴AD＝DF＝6． 15. （2019湖北省鄂州市）（10分）如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，連接OP交⊙O于E．過A點作AB⊥PO于點D，交⊙O于B，連接BC，PB． （1）求證：PB是⊙O的切線； （2）求證：E為△PAB的內(nèi)心；

27、（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的長． 【分析】（1）連結(jié)OB，根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，證明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根據(jù)切線的判定定理證明； （2）連結(jié)AE，根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，證明EA平分∠PAD，根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念證明即可； （3）根據(jù)余弦的定義求出OA，證明△PAO∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可． 【解答】（1）證明：連結(jié)OB， ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC ∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC， OB＝OC， ∴∠OBC

28、＝∠C， ∴∠AOP＝∠POB， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA為⊙O的切線， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∴PB是⊙O的切線； （2）證明：連結(jié)AE， ∵PA為⊙O的切線， ∴∠PAE+∠OAE＝90°， ∵AD⊥ED， ∴∠EAD+∠AED＝90°， ∵OE＝OA， ∴∠OAE＝∠AED， ∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD， ∵PA、PD為⊙O的切線， ∴PD平分∠APB ∴E為△PAB的內(nèi)心； （3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°， ∴∠PAB＝∠C， ∴cos∠C＝cos∠PAB＝， 在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝， ∴AC＝，AO＝， ∵△PAO∽△ABC， ∴， ∴PO＝＝＝5． 20