2020年中考數(shù)學考點總動員 第15講 三角形及其基本性質（含解析）

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1、第15講　三角形及其基本性質 【考點梳理】 1．三角形的分類 (1)按邊分類 (2)按角分類 2．三角形的基本性質 (1)內角和定理：三角形內角和為180°； (2)內外角關系： 三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和； 三角形的一個外角_大于_任何一個與它不相鄰的內角． (3)三邊關系：三角形的任意兩邊之和_大于__第三邊； 任意兩邊之差_小于第三邊； 3．三角形中的重要線段 (1)角平分線：①如圖，線段AD平分∠BAC，則AD是△ABC的一條角平分線． ②內心：三角形三條角平分線的交點．它到各邊的距離相等． (2)中線：①如圖，E是線段BC的

2、中點，則線段AE是△ABC的一條中線， ②重心：三角形三條中線的交點． (3)高：①如圖，AF⊥BC，則線段AF是△ABC的高線． ②垂心：三條高線的交點． (4)中位線：①連接三角形兩邊中點的一段，叫做三角形的中位線． ②中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半. (5)垂直平分線：①如圖，點D是BC的中點，DE⊥BC，則DE是△ABC的一條垂直平分線． ②外心：三條垂直平分線的交點，它到各頂點的距離相等；銳角三角形的外心在形內，鈍角三角形的外心在形外，直角三角形的外心在斜邊中點． 4．命題 (1)命題：判斷一件事情的語句叫做命題．命

3、題分為題設和結論兩部分．題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項． (2)真命題和假命題：如果題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫做真命題；如果題設成立時，不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題． (3)互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是另一個命題的結論，而第一個命題的結論是另一個命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題. 【高頻考點】 考點1： 三角形三邊關系 【例題1】（2019浙江麗水3分）若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個三角形，則a的值可以是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根據(jù)三角形三邊關系定理得出5﹣3

4、＜a＜5+3，求出即可． 【解答】解：由三角形三邊關系定理得：5﹣3＜a＜5+3， 即2＜a＜8， 即符合的只有3， 故選：C． 歸納：三角形的三邊關系是判斷三條線段能否組成三角形的判定標準，三角形的三邊關系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊． 考點2： 三角形重要線段的計算與應用 【例題2】如圖，CD，CE，CF分別是△ABC的高、角平分線、中線． (1)有四種說法：①BA＝2BF；②∠ACE＝∠ACB；③AE＝BE；④CD⊥AB，則錯誤的說法是③； (2)若∠A＝72°，∠ABC＝28°，求∠DCE； (3)BG是△ABC的高，∠A＝72°，求∠DH

5、B； (4)若M是BC的中點，若∠A＝90°，AB＝16，BC＝20，求FM的長． 【分析】　(1)由三角形高線，角平分線，中線的定義進行判斷即可；(2)先由∠A，∠ABC可求∠ACB，由CE是角平分線，可求得∠ACE，從而可利用∠ACE和∠ACD作差可解決問題；(3)由四邊形內角和是360°，可求得∠DHG，由互補可求得∠DHB；(4)由勾股定理求AC，由中位線定理求AC. 【解答】解：(2)∵∠A＝72°，∠ABC＝28°， ∴∠ACB＝80°. ∵CE是△ABC的角平分線， ∴∠ACE＝∠BCE＝40°. ∵∠A＝72°，CD是△ABC的高， ∴∠ACD＝18°.

6、 ∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝22°. (3)∵BG是△ABC的高，CD是△ABC的高， ∴∠ADC＝∠AGH＝90°. ∵∠A＋∠ADC＋∠DHG＋∠AGH＝360°， ∴∠DHG＝108°. ∴∠DHB＝180°－∠DHG＝72°. (4)∵∠A＝90°，AB＝16，BC＝20， ∴AC＝12. ∵FM是△ABC的中位線， ∴FM＝AC＝6. 歸納：中線和中位線是易混淆的兩個概念，中線是連接頂點與對邊中點之間的線段，中位線是連接兩邊中點之間的線段，中線把三角形面積等分，中位線把三角形面積分為1∶3. 考點3： 三角形內角和與外角性質的綜合應用 【例題3】　如圖

7、：已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于F． （1）如圖1，若∠E=80°，求∠BFD的度數(shù)． （2）如圖2：若寫出∠M和∠E之間的數(shù)量關系并證明你的結論． （3）若設∠E＝m°,直接用含有n、m°的代數(shù)式寫出∠M＝(不寫過程) 【分析】（1）首先作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，利用平行線的性質可得∠ABE+∠CDE=280°，再利用角平分線的定義得到∠ABF+∠CDF=140°，從而得到∠BFD的度數(shù)； （2）先由已知得到∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，由（1）得∠ABE+∠CDE=360°-∠E，∠M=∠ABM+∠CDM，等量代換，即可得； （3）由

8、（2）的方法可得到2n∠M+∠E=360°，將∠E=m°代入可得∠M=. 【解析】（1）作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB， ∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD， ∴∠ABF=∠BFH，∠CDF=∠DFH，∠ABE+∠BEG=180°，∠GED+∠CDE=180°， ∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE=360°， ∵∠BED=∠BEG+∠DEG=80°，∴∠ABE+∠CDE=280°， ∵∠ABF和∠CDF的角平分線相交于E，∴∠ABF+∠CDF=140°， ∴∠BFD=∠BFH+∠DFH=140°； （2）∵∠ABM=∠ABF，∠CDM=∠CDF， ∴∠ABF=3∠ABM，

9、∠CDF=3∠CDM， ∵∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F， ∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，∴6∠ABM+6∠CDM+∠E=360°， ∵∠M=∠ABM+∠CDM，∴6∠M+∠E=360°； （3）由（2）的結論可得， 2n∠ABN+2n∠CDM+∠E=360°，∠M=∠ABM+∠CDM， 解得：∠M=， 故答案為：. 【自我檢測】 一、選擇題： 1. （2018·吉林長春·3分）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（　　） A．44° B．4

10、0° C．39° D．38° 【答案】C 【解答】解：∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于點D， ∴∠DCB=78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°，故選：C． 2. （2018?長沙）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　?。? A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解答】A、∵5+4=9，9=9， ∴該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤； B、8+8=16，16＞15， ∴該三邊

11、能組成三角形，故此選項正確； C、5+5=10，10=10， ∴該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤； D、6+7=13，13＜14， ∴該三邊不能組成三角形，故此選項錯誤； 故選：B． 3. （2019?黑龍江省齊齊哈爾市?3分）如圖，直線a∥b，將一塊含30°角（∠BAC＝30°）的直角三角尺按圖中方式放置，其中A和C兩點分別落在直線a和b上．若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（　?。? A．20° B．30° C．40° D．50° 【答案】C 【解答】解：∵直線a∥b， ∴∠1+∠BCA+∠2+∠BAC＝180°， ∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，∠1＝20°，

12、 ∴∠2＝40°． 故選：C． 4. （2018?長春）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A=54°，∠B=48°，則∠CDE的大小為（　?。? A．44° B．40° C．39° D．38° 【答案】C 【解答】∵∠A=54°，∠B=48°， ∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°， ∵CD平分∠ACB交AB于點D， ∴∠DCB=78°=39°， ∵DE∥BC， ∴∠CDE=∠DCB=39°， 故選：C． 5. （2019?江蘇泰州?3分）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同

13、的小正方形組成，點A.B.C.D.E.F、G在小正方形的頂點上，則△ABC的重心是（　?。? A．點D B．點E C．點F D．點G 【答案】A 【解答】解：根據(jù)題意可知，直線CD經(jīng)過△ABC的AB邊上的中線，直線AD經(jīng)過△ABC的BC邊上的中線， ∴點D是△ABC重心． 故選：A． 二、填空題： 6. （2018湖南郴州）（3.00分）一個正多邊形的每個外角為60°，那么這個正多邊形的內角和是　 　． 【答案】720° 【解答】這個正多邊形的邊數(shù)為=6， 所以這個正多邊形的內角和=（6﹣2）×180°=720°． 故答案為720°． 7. 若三角形的周長是60cm

14、，且三條邊的比為3：4：5，則三邊長分別為　15，20，25?。? 【答案】15，20，25 【解答】解：∵三角形的三邊長的比為3：4：5， ∴設三角形的三邊長分別為3x，4x，5x． ∵其周長為60cm， ∴3x+4x+5x=60，解得x=5， ∴三角形的三邊長分別是15，20，25， 故答案為：15，20，25 8. （2018?白銀）已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數(shù)，則c=　 ?。? 【答案】7 【解答】解：∵a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得a=7，b=1， ∵7﹣1=6，

15、7+1=8， ∴6＜c＜8， 又∵c為奇數(shù)， ∴c=7， 故答案是：7． 9. （2018·遼寧省撫順市）將兩張三角形紙片如圖擺放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，則∠5=　40°?。? 【答案】40°． 【解答】解：如圖所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°， ∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°， ∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°， ∴∠6+∠7=140°， ∴∠5=180°﹣（∠6+∠7）=40°． 故答案為：40°． 三、解答題： 10. 如圖，在△ABC中，點D為邊AC的中點，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.

16、 (1)求DB的長； (2)在△ABC中，求邊BC上的高． 【解析】：(1)∵DB⊥BC， ∴∠DBC＝90°. ∵在Rt△DBC中，BC＝4，CD＝5， ∴DB＝＝＝3. (2)過A作AE⊥BC交線段CB延長線于點E， 則AE∥DB. ∵點D為AC的中點， ∴DB為△ACE的中位線． ∴AE＝2DB＝6. ∴邊BC上的高為6. 11. 如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC邊上的高，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE的度數(shù)； （2）求∠DAE的度數(shù)． 【分析】（1）由∠ABC、∠ACB的度數(shù)結合三角形內角和定理，可求出∠B

17、AC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質可求出∠BAE的度數(shù)； （2）利用三角形的外角性質可求出∠AEB的度數(shù)，結合∠ADE=90°即可求出∠DAE的度數(shù)． 【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=60°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠BAC=30°． （2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°， ∴∠AEB=∠CAE+∠ACB=110°， ∵AD是BC邊上的高， ∴∠ADE=90°， ∴∠DAE=∠AEB﹣∠ADE=20°． 12. 如圖，D是△ABC邊BA延長上一點． (1)①若BC＝3，AC＝6

18、，則AB的長在什么范圍？ ②若AC＝6，則△ABC的周長可能是( ) A．8 B．10 C．12 D．14 (2)①若∠CAB＝36°，∠B＝∠ACB，則∠ACB＝72°； ②若∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7，求∠CAD的度數(shù)； ③若CE是△ABC的角平分線，∠CAD＝∠CEA，∠BCA＝80°，求∠CEA的度數(shù)． 【點撥】(1)可利用三角形三邊大小關系來解；(2)①可利用三角形內角和為180°，通過方程(組)來求解；②設每份為x，利用三角形內角和，求出∠CAB，再利用互補求∠CAD；③需要利用外角與內角之間的數(shù)量關系，再結合已知條件求解． 【解答】解：(

19、1)①由三角形任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，可得，AC－BC＜AB＜BC＋AC，所以3＜AB＜9. (2)②∵∠CAB∶∠B∶∠ACB＝3∶5∶7， ∴設∠CAB＝3x°，∠B＝5x°，∠ACB＝7x°. ∵∠CAB＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴3x＋5x＋7x＝180，解得x＝12.∴∠CAB＝36°. ∴∠CAD＝180°－∠CAB＝144°. ③∵∠CAD＝∠CEA＋∠ECA，∠CAD＝∠CEA， ∴∠CEA＝3∠ECA. ∵CE是△ABC的角平分線，∴∠CEA＝∠BCA＝120°. 13. （2019?河北省?9分）如圖，△ABC和△ADE中，AB＝

20、AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內心． （1）求證：∠BAD＝∠CAE； （2）設AP＝x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值； （3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值． 【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，（如圖1） ∴△ABC≌△ADE（SAS） ∴∠BAC＝∠DAE 即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE ∴∠BAD＝∠CAE． （2）∵AD＝6，AP＝x， ∴PD＝6﹣x 當AD⊥BC時，AP＝AB＝3最小，

21、即PD＝6﹣3＝3為PD的最大值． （3）如圖2，設∠BAP＝α，則∠APC＝α+30°， ∵AB⊥AC ∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α， ∵I為△APC的內心 ∴AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA， ∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA ∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣（∠PAC+∠PCA） ＝180°﹣（90°﹣α+60°）＝α+105° ∵0＜α＜90°， ∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°， ∴m＝105，n＝150． 14. 如圖1，在△ABC中，CD，CE分別是△

22、ABC的高和角平分線，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)． 圖1　　　　　　　　圖2　　　　　圖3 (1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度數(shù)； (2)若∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，則∠DCE＝(用含α，β的代數(shù)式表示)； (3)若將△ABC換成鈍角三角形，如圖2，其他條件不變，試用α，β的代數(shù)式表示∠DCE的度數(shù)并說明理由； (4)如圖3，若CE是△ABC外角∠ACF的平分線，交BA的延長線于點E.且α－β＝30°，則∠DCE＝75°．(直接寫出結果) 【解析】：(1)∵∠BAC＝70°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝70°. 又∵CE是∠ACB的平分線， ∴∠ACE＝∠ACB＝35°. ∵CD是高線，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝90°－∠BAC＝20°. ∴∠DCE＝∠ACE－∠ACD＝15°. (3)∠DCE＝(α－β)．理由： ∵∠ACB＝180°－(∠BAC＋∠B)＝180°－(α＋β)，CE是∠ACB的平分線， ∴∠ACE＝∠ACB＝90°－(α＋β)． ∵CD是高線，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝∠BAC－90°＝α－90°. ∴∠DCE＝∠ACE＋∠ACD ＝90°－(α＋β)＋α－90°＝(α－β)． 13