數(shù)學分析中值定理

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1、會計學1數(shù)學分析數(shù)學分析 中值定理中值定理2022-5-62內(nèi)內(nèi)有有定定義義，某某鄰鄰域域的的在在點點設設函函數(shù)數(shù) )()(00 xUxxf )( 0有，如果對xUx )()( ( )()(00 xfxfxfxf 或或)(,)(.)(,)( 0000為極小值的極小值點為為極大值的極大值點為稱則xfxfxxfxfx定義1（極值概念）x0 xyo)(xfy 第1頁/共37頁2022-5-63Fermat定理,)(0取得極值在點設函數(shù) xxxf .0)(00 xfx則處可導，并且在定理1（極值的必要條件）（可導函數(shù)取得極值的必要條件）【幾何意義】第2頁/共37頁2022-5-64x0 xyo)(xf

2、y 水平切線【定義】通常稱導數(shù)等于零的點為函數(shù)的駐點（或穩(wěn)定點、臨界點）【幾何意義】1.若曲線在點 處取得極值,0 x2.曲線在點 處具有切線，0 x則該切線必是水平的.第3頁/共37頁2022-5-650)()(00 xfxxf 時時當當 0 x0)()(00 xxfxxf時時當當 0 x0)()(00 xxfxxf由極限的不等式性及可導條件立得0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx所以0)(0 xf證完【證】 )()(0 xfxf 僅證極大值的情形，即僅證極大值的情形，即 )(0時時xUx 則定理證明第4頁/共3

3、7頁2022-5-66研究下面兩例：不不是是極極值值點點；但但時時，當當0, 00. 10 xyxx【注】 . 13xy . 2xy .0,0. 20是是極極值值點點不不存存在在時時，當當 xyxx說明什么問題？是可導函數(shù)取得極值的必要條件是極值點是極值點0 x不存在。不存在。或或)(0)(00 xfxf 0)(0 xf第5頁/共37頁2022-5-67二、羅爾（Rolle）定理如果 f (x)滿足:則 至少存在(a , b)，使得 f ()=0;,)(1 baCxf );,()(2baDxf ).()(3bfaf 第6頁/共37頁2022-5-68【幾何解釋】ab1 2 xyo)(xfy .

4、,的的在在該該點點處處的的切切線線是是水水平平上上至至少少有有一一點點在在曲曲線線弧弧 AB 連續(xù)、可導、端點值相等函數(shù)必有一最值點在區(qū)間內(nèi)部取得。該最值點必為極值點。).()(3);,()(2;,)( 1 bfafbaDxfbaCxf 0)( f第7頁/共37頁2022-5-69例如32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導上可導在在 ),0()3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxfRolle定理 零點定理如果 f (x)滿足:則 至少存在(a , b)，使得 f ()=0;,)(1 baCx

5、f );,()(2baDxf ).()(3bfaf ;,)( 1 baCxf . 0)()(2 bfaf. 0)( f第8頁/共37頁2022-5-610【證】.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf . 取取得得最最值值不不可可能能同同時時在在端端點點),(afM 設設.)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在即 ),( Ux有Mfxf )()( 由Fermat定理立得. 0)( f證完第9頁/共37頁2022

6、-5-611【注意】(1)羅爾定理的條件是充分的，不必要.反例1;2 , 2, xxy, ,)0(2 , 2的的一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( 2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點點能能，但但在在區(qū)區(qū)間間(2)若羅爾定理的三個條件中有一個不滿足,其結論可能成立，也可能不成立.故若不滿足第（2）條：xyo2 xy 2有不可導點無水平切線第10頁/共37頁2022-5-612;0, 01 , 0(,1)( xxxxy .1 , 0, xxy反例2不滿足第（1）條：不滿足第（3）條：xyo11)(xy 有不連續(xù)點兩端點值不相等xyo11xy 反例

7、3無水平切線無水平切線第11頁/共37頁2022-5-613【例1】.1 0155的的正正實實根根于于有有且且僅僅有有一一個個小小證證明明方方程程 xx【證】, 15)(5 xxxf設設,1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于1的正實根.,),1 , 0(011xxx 設設另另有有. 0)(1 xf使使 ,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個至少存在一個),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾

8、,.為唯一實根為唯一實根【分析】（1）有 存在性（2）僅一個唯一性第12頁/共37頁2022-5-614【例2】 設函數(shù)f (x)=(x1)(x2)(x3), 試判斷方程fx【解】因為 f(1)=f(2)=f(3), 且f (x)在1, 2上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導, 由羅爾定理, 1(1, 2),使 f(1;同理, 2(, ), 使 f(2 ;又因f(x 是二次方程, 至多兩個實根,故f(x 有兩個實根, 分別位于(1,2) 和(2,3)內(nèi).(1)修改:f (x)=(x1)(x2)(x3)(x4), 結論如何?(2)修改: 不解方程, 問 (x2)(x3)+(x1)(x3) +(x1)(x2

9、)=0有幾個實根, 分別在何區(qū)間?有幾個實根, 分別在何區(qū)間?(2) 【提示】是補例的導函數(shù)；用零點定理第13頁/共37頁2022-5-615此條件太苛刻),()(2,)(1 )(baDxfbaCxfxf 滿足：如果).()(bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中【注意】【拉氏定理】至少存在一個(a , b)，使得 f(b) f(a)= f ()(ba)()()(),(abfafbfba 則：第14頁/共37頁2022-5-616),()(2,)(1 baDxfbaCxf 滿足：滿足：中值定理中值定理)(xfL)()()(),(abfafbfba .)()()(abaf

10、bff 或或切線斜率弦AB斜率xoy)(xfy ABC1 第15頁/共37頁2022-5-617ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM【幾何解釋】.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點處的切在該點處的切一點一點上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧【證明分析】).()( bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦AB方程為).()()()(axabafbfafy , )(yABxf的縱標的縱標減去弦減去弦曲線曲線 ., 兩端點的函數(shù)值相等兩端點的函數(shù)值相等所得曲線在所得曲線在ba第16頁/共37頁2022-5-618作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF

11、, )(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式【證】（要驗證）.)()()(abafbff 第17頁/共37頁2022-5-619).)()()(abfafbf拉格朗日公式【注意】拉氏公式精確地表達了函數(shù)增量與函數(shù)導數(shù)之間的關系.定理得上用在區(qū)間L,xaxfy )( 即即：同時注意到：xafdyxoxafy )()()( xafdyy )( .的的精精確確表表達達式式增增量量 y 增量y的近似表達式).()()()(axfafxf 微分

12、中值定理微分近似公式第18頁/共37頁2022-5-620L定理又稱為有限增量公式 或 微分中值定理.).10()()()( xxxfxfxxf).,()()()()(之間之間介于介于axaxfafxf ).),()()()(baabfafbf 拉格朗日中值定理幾種等價形式 盡管不知 的精確位置，但已經(jīng)很有用了，見例：第19頁/共37頁2022-5-621.)(,)(上是一個常數(shù)上是一個常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導數(shù)恒為零上的導數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf【推論】【證】2121,xxIxx )()()(1212xxfxfxf )(21xx 由假定0)( f)( )( 21

13、xfxf )(常數(shù)常數(shù) xf證畢在 上應用拉氏定理得,21xx由 的任意性立知 21,xx. 0 )( )( xfCxf第20頁/共37頁2022-5-622【例3】).11(2arccosarcsin xxx證明【證明】1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設設)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx推論的應用證明函數(shù)為常數(shù)函數(shù))1 , 1(0 x.2cotarctan xarcx同理可證第21頁/共37頁2022-5-623例4.)()(),()(Cxg

14、xfxgxf 則則若若)()()(Fxgxfx 令令)()()(xgxfxF .)()(Cxgxf 即即證明：,0 ,)(CxF 第22頁/共37頁2022-5-624拉氏定理應用證明不等式【例5】.)1ln(1,0:xxxxx 時當證明 【分析】據(jù)拉氏定理)()()( fabafbf )(ba 由 的范圍，確定 的范圍 )( f 從而得到 的范圍，變形可得所求不等式 . abafbf )()(【關鍵】將結論寫成 的形式，以找出abafbf )()(, )(baxf及及第23頁/共37頁2022-5-625【證】),1ln()(xxf 觀觀察察可可設設, 0)( 上滿足拉氏定理的條件在xxf)

15、0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得,11)1ln( xx 11.)1ln(1xxxx 即即變形為：10)01ln()1ln(11 xxx（要驗證）.)1ln(1,0:xxxxx 時當證明 x111 第24頁/共37頁2022-5-626【例6】.sinsin:yxyx 證明【證明】)(cossinsinyxyx yxyx cossinsin.yx 第25頁/共37頁2022-5-627)()()()()()( FfaFbFafbf 0)(),(3);,()(),(2;,)(),(1 )()( xFbaxbaDxFxfbaCxFxfxFxf滿足：及如果

16、【Cauchy 中值定理】 使得則),(ba 第26頁/共37頁2022-5-628)()()()()()( FfaFbFafbf 如果 f (x)及F(x)滿足（1）在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a , b）內(nèi)可導；存在(a , b)，使得（3）對任一x(a , b),F (x)0)()()()()()()()(FfabFabfaFbFafbf證明：分子、分母用Lagrange中值定理得：？第27頁/共37頁2022-5-629【幾何解釋】)(1 F)(2 FXOY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM. )(),(ABfFC處的切線平行于弦處的切線平行于弦點

17、點 【證】作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx , )(件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條x )(af)(bf xxFxfdXdY)()(切線斜率弦AB斜率)()()()(aFbFafbf 曲線 )()(為參數(shù)為參數(shù)xxfYxFX 即（要驗證）第28頁/共37頁2022-5-630, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在ba,)(xxF 當當, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFaf

18、bf).()()( fabafbf證完【注意】(1)即為拉氏中值定理第29頁/共37頁2022-5-631(2)柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推廣，又可看作拉氏中值定理的參數(shù)形式.(3)三個中值定理的條件都是充分的，不必要.第30頁/共37頁2022-5-632Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF )()()(bfaf 注意定理成立的條件；2.證明等式與不等式；【中值定理應用】1.證明方程根的存在性、唯一性；3.證明函數(shù)為常數(shù)函數(shù)。第31頁/共37頁2022-5-633).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在

19、一點至少存在一點證明證明內(nèi)可導內(nèi)可導在在上連續(xù)上連續(xù)在在設函數(shù)設函數(shù)【例7】【證】【分析】結論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF 設設,1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xFxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即第32頁/共37頁2022-5-634【證】),0()1(2)()(ffxxfxg 則則),0()1()()(2ffxxfxg 令令)0()0(fg , 0)(10 gRolle），使），使，（定理，定理，由由).0()1(2

20、)(fff ).1 , 0( 利用羅爾定理),1(g 第33頁/共37頁2022-5-635. 0)(),(:, )()()(, 0)()(,)(2 FbaxfaxxFbfafbaxf使使至少存在一點至少存在一點證明證明又又且且上二階可導上二階可導在在設函數(shù)設函數(shù)【例8】【證】上連續(xù)、可導，上連續(xù)、可導，且在且在, 0)()(babFaF 0)(,),( Fba有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點在在. 0)(),(, Fbaa使得使得）（即即)()()()(2)(2xfaxxfaxxF 又又定定理理上上滿滿足足在在而而RolleaxF,)( ).()(3);,()(2;,)(1000 FaFaD

21、xFaCxF第34頁/共37頁2022-5-636).(2)(),(:),()(,)( fbafbabaDxfbaCxf 使使，存存在在試試證證設設函函數(shù)數(shù)【例9】【證】中中值值定定理理得得上上用用在在區(qū)區(qū)間間對對Cauchybaxxgxf,)(),(2 2)()()(22fabafbf 中值定理得中值定理得上用上用在區(qū)間在區(qū)間又對又對Lagrangebaxf,)()()()( fabafbf 2)()()(fbaf 即得即得)(2)()( fbaabafbf第35頁/共37頁2022-5-637.)(,)1 , 0(:1)(),1 , 0(, 1)(0,1 , 0)(xxfxxfxxfDxf 得得使使一點一點內(nèi)有且僅有內(nèi)有且僅有在在，證明，證明對于對于且且設函數(shù)設函數(shù)【例10】【證】,)()(xxfxF 令令21xx、個個另另一一方方面面，如如果果存存在在兩兩0)1(, 0)0(1 , 0)( FFCxF，且且則則0)()(),1 , 0( xxfxFx由零點定理，由零點定理，2211)(,)(xxfxxf 使得使得）（，定定理理由由1 , 0 Lagrange矛盾！矛盾！, 1)()()(1212 xxxfxff 第36頁/共37頁