數(shù)學(xué)分析中值定理

會計(jì)學(xué)1數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析 中值定理中值定理2022-5-62內(nèi)內(nèi)有有定定義義，某某鄰鄰域域的的在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) )()(00 xUxxf )( 0有，如果對xUx )()( ( )()(00 xfxfxfxf 或或)(,)(.)(,)( 0000為極小值的極小值點(diǎn)為為極大值的極大值點(diǎn)為稱則xfxfxxfxfx定義1（極值概念）x0 xyo)(xfy 第1頁/共37頁2022-5-63Fermat定理,)(0取得極值在點(diǎn)設(shè)函數(shù) xxxf .0)(00 xfx則處可導(dǎo)，并且在定理1（極值的必要條件）（可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件）【幾何意義】第2頁/共37頁2022-5-64x0 xyo)(xfy 水平切線【定義】通常稱導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為函數(shù)的駐點(diǎn)（或穩(wěn)定點(diǎn)、臨界點(diǎn)）【幾何意義】1.若曲線在點(diǎn) 處取得極值,0 x2.曲線在點(diǎn) 處具有切線，0 x則該切線必是水平的.第3頁/共37頁2022-5-650)()(00 xfxxf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 x0)()(00 xxfxxf時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0 x0)()(00 xxfxxf由極限的不等式性及可導(dǎo)條件立得0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx所以0)(0 xf證完【證】 )()(0 xfxf 僅證極大值的情形，即僅證極大值的情形，即 )(0時(shí)時(shí)xUx 則定理證明第4頁/共37頁2022-5-66研究下面兩例：不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)；但但時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0, 00. 10 xyxx【注】 . 13xy . 2xy .0,0. 20是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) xyxx說明什么問題？是可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)0 x不存在。不存在。或或)(0)(00 xfxf 0)(0 xf第5頁/共37頁2022-5-67二、羅爾（Rolle）定理如果 f (x)滿足:則 至少存在(a , b)，使得 f ()=0;,)(1 baCxf );,()(2baDxf ).()(3bfaf 第6頁/共37頁2022-5-68【幾何解釋】ab1 2 xyo)(xfy .,的的在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線是是水水平平上上至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn)在在曲曲線線弧弧 AB 連續(xù)、可導(dǎo)、端點(diǎn)值相等函數(shù)必有一最值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部取得。該最值點(diǎn)必為極值點(diǎn)。).()(3);,()(2;,)( 1 bfafbaDxfbaCxf 0)( f第7頁/共37頁2022-5-69例如32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 ),0()3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxfRolle定理 零點(diǎn)定理如果 f (x)滿足:則 至少存在(a , b)，使得 f ()=0;,)(1 baCxf );,()(2baDxf ).()(3bfaf ;,)( 1 baCxf . 0)()(2 bfaf. 0)( f第8頁/共37頁2022-5-610【證】.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都都有有.)2(mM 若若),()(bfaf . 取取得得最最值值不不可可能能同同時(shí)時(shí)在在端端點(diǎn)點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在即 ),( Ux有Mfxf )()( 由Fermat定理立得. 0)( f證完第9頁/共37頁2022-5-611【注意】(1)羅爾定理的條件是充分的，不必要.反例1;2 , 2, xxy, ,)0(2 , 2的的一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( 2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能，但但在在區(qū)區(qū)間間(2)若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能成立，也可能不成立.故若不滿足第（2）條：xyo2 xy 2有不可導(dǎo)點(diǎn)無水平切線第10頁/共37頁2022-5-612;0, 01 , 0(,1)( xxxxy .1 , 0, xxy反例2不滿足第（1）條：不滿足第（3）條：xyo11)(xy 有不連續(xù)點(diǎn)兩端點(diǎn)值不相等xyo11xy 反例3無水平切線無水平切線第11頁/共37頁2022-5-613【例1】.1 0155的的正正實(shí)實(shí)根根于于有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小證證明明方方程程 xx【證】, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于1的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)設(shè)另另有有. 0)(1 xf使使 ,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾,.為唯一實(shí)根為唯一實(shí)根【分析】（1）有 存在性（2）僅一個(gè)唯一性第12頁/共37頁2022-5-614【例2】 設(shè)函數(shù)f (x)=(x1)(x2)(x3), 試判斷方程fx【解】因?yàn)?f(1)=f(2)=f(3), 且f (x)在1, 2上連續(xù),在(1,2)內(nèi)可導(dǎo), 由羅爾定理, 1(1, 2),使 f(1;同理, 2(, ), 使 f(2 ;又因f(x 是二次方程, 至多兩個(gè)實(shí)根,故f(x 有兩個(gè)實(shí)根, 分別位于(1,2) 和(2,3)內(nèi).(1)修改:f (x)=(x1)(x2)(x3)(x4), 結(jié)論如何?(2)修改: 不解方程, 問 (x2)(x3)+(x1)(x3) +(x1)(x2)=0有幾個(gè)實(shí)根, 分別在何區(qū)間?有幾個(gè)實(shí)根, 分別在何區(qū)間?(2) 【提示】是補(bǔ)例的導(dǎo)函數(shù)；用零點(diǎn)定理第13頁/共37頁2022-5-615此條件太苛刻),()(2,)(1 )(baDxfbaCxfxf 滿足：如果).()(bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中【注意】【拉氏定理】至少存在一個(gè)(a , b)，使得 f(b) f(a)= f ()(ba)()()(),(abfafbfba 則：第14頁/共37頁2022-5-616),()(2,)(1 baDxfbaCxf 滿足：滿足：中值定理中值定理)(xfL)()()(),(abfafbfba .)()()(abafbff 或或切線斜率弦AB斜率xoy)(xfy ABC1 第15頁/共37頁2022-5-617ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM【幾何解釋】.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧【證明分析】).()( bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦AB方程為).()()()(axabafbfafy , )(yABxf的縱標(biāo)的縱標(biāo)減去弦減去弦曲線曲線 ., 兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等所得曲線在所得曲線在ba第16頁/共37頁2022-5-618作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF , )(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式【證】（要驗(yàn)證）.)()()(abafbff 第17頁/共37頁2022-5-619).)()()(abfafbf拉格朗日公式【注意】拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)增量與函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.定理得上用在區(qū)間L,xaxfy )( 即即：同時(shí)注意到：xafdyxoxafy )()()( xafdyy )( .的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 增量y的近似表達(dá)式).()()()(axfafxf 微分中值定理微分近似公式第18頁/共37頁2022-5-620L定理又稱為有限增量公式 或 微分中值定理.).10()()()( xxxfxfxxf).,()()()()(之間之間介于介于axaxfafxf ).),()()()(baabfafbf 拉格朗日中值定理幾種等價(jià)形式 盡管不知 的精確位置，但已經(jīng)很有用了，見例：第19頁/共37頁2022-5-621.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf【推論】【證】2121,xxIxx )()()(1212xxfxfxf )(21xx 由假定0)( f)( )( 21xfxf )(常數(shù)常數(shù) xf證畢在 上應(yīng)用拉氏定理得,21xx由 的任意性立知 21,xx. 0 )( )( xfCxf第20頁/共37頁2022-5-622【例3】).11(2arccosarcsin xxx證明【證明】1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx推論的應(yīng)用證明函數(shù)為常數(shù)函數(shù))1 , 1(0 x.2cotarctan xarcx同理可證第21頁/共37頁2022-5-623例4.)()(),()(Cxgxfxgxf 則則若若)()()(Fxgxfx 令令)()()(xgxfxF .)()(Cxgxf 即即證明：,0 ,)(CxF 第22頁/共37頁2022-5-624拉氏定理應(yīng)用證明不等式【例5】.)1ln(1,0:xxxxx 時(shí)當(dāng)證明 【分析】據(jù)拉氏定理)()()( fabafbf )(ba 由 的范圍，確定 的范圍 )( f 從而得到 的范圍，變形可得所求不等式 . abafbf )()(【關(guān)鍵】將結(jié)論寫成 的形式，以找出abafbf )()(, )(baxf及及第23頁/共37頁2022-5-625【證】),1ln()(xxf 觀觀察察可可設(shè)設(shè), 0)( 上滿足拉氏定理的條件在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得,11)1ln( xx 11.)1ln(1xxxx 即即變形為：10)01ln()1ln(11 xxx（要驗(yàn)證）.)1ln(1,0:xxxxx 時(shí)當(dāng)證明 x111 第24頁/共37頁2022-5-626【例6】.sinsin:yxyx 證明【證明】)(cossinsinyxyx yxyx cossinsin.yx 第25頁/共37頁2022-5-627)()()()()()( FfaFbFafbf 0)(),(3);,()(),(2;,)(),(1 )()( xFbaxbaDxFxfbaCxFxfxFxf滿足：及如果【Cauchy 中值定理】 使得則),(ba 第26頁/共37頁2022-5-628)()()()()()( FfaFbFafbf 如果 f (x)及F(x)滿足（1）在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a , b）內(nèi)可導(dǎo)；存在(a , b)，使得（3）對任一x(a , b),F (x)0)()()()()()()()(FfabFabfaFbFafbf證明：分子、分母用Lagrange中值定理得：？第27頁/共37頁2022-5-629【幾何解釋】)(1 F)(2 FXOY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM. )(),(ABfFC處的切線平行于弦處的切線平行于弦點(diǎn)點(diǎn) 【證】作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx , )(件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條x )(af)(bf xxFxfdXdY)()(切線斜率弦AB斜率)()()()(aFbFafbf 曲線 )()(為參數(shù)為參數(shù)xxfYxFX 即（要驗(yàn)證）第28頁/共37頁2022-5-630, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在ba,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf證完【注意】(1)即為拉氏中值定理第29頁/共37頁2022-5-631(2)柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推廣，又可看作拉氏中值定理的參數(shù)形式.(3)三個(gè)中值定理的條件都是充分的，不必要.第30頁/共37頁2022-5-632Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理xxF )()()(bfaf 注意定理成立的條件；2.證明等式與不等式；【中值定理應(yīng)用】1.證明方程根的存在性、唯一性；3.證明函數(shù)為常數(shù)函數(shù)。第31頁/共37頁2022-5-633).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)【例7】【證】【分析】結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF 設(shè)設(shè),1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xFxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即第32頁/共37頁2022-5-634【證】),0()1(2)()(ffxxfxg 則則),0()1()()(2ffxxfxg 令令)0()0(fg , 0)(10 gRolle），使），使，（定理，定理，由由).0()1(2)(fff ).1 , 0( 利用羅爾定理),1(g 第33頁/共37頁2022-5-635. 0)(),(:, )()()(, 0)()(,)(2 FbaxfaxxFbfafbaxf使使至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)證明證明又又且且上二階可導(dǎo)上二階可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)【例8】【證】上連續(xù)、可導(dǎo)，上連續(xù)、可導(dǎo)，且在且在, 0)()(babFaF 0)(,),( Fba有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在. 0)(),(, Fbaa使得使得）（即即)()()()(2)(2xfaxxfaxxF 又又定定理理上上滿滿足足在在而而RolleaxF,)( ).()(3);,()(2;,)(1000 FaFaDxFaCxF第34頁/共37頁2022-5-636).(2)(),(:),()(,)( fbafbabaDxfbaCxf 使使，存存在在試試證證設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)【例9】【證】中中值值定定理理得得上上用用在在區(qū)區(qū)間間對對Cauchybaxxgxf,)(),(2 2)()()(22fabafbf 中值定理得中值定理得上用上用在區(qū)間在區(qū)間又對又對Lagrangebaxf,)()()()( fabafbf 2)()()(fbaf 即得即得)(2)()( fbaabafbf第35頁/共37頁2022-5-637.)(,)1 , 0(:1)(),1 , 0(, 1)(0,1 , 0)(xxfxxfxxfDxf 得得使使一點(diǎn)一點(diǎn)內(nèi)有且僅有內(nèi)有且僅有在在，證明，證明對于對于且且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)【例10】【證】,)()(xxfxF 令令21xx、個(gè)個(gè)另另一一方方面面，如如果果存存在在兩兩0)1(, 0)0(1 , 0)( FFCxF，且且則則0)()(),1 , 0( xxfxFx由零點(diǎn)定理，由零點(diǎn)定理，2211)(,)(xxfxxf 使得使得）（，定定理理由由1 , 0 Lagrange矛盾！矛盾！, 1)()()(1212 xxxfxff 第36頁/共37頁