2020中考數(shù)學熱點專練05 一元二次方程（含解析）

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1、熱點05 一元二次方程 【命題趨勢】 1．用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程． 2．一元二次方程根的判別式，有兩種考查方式：①給出一元二次方程，求方程的根的情況；②給出帶有參數(shù)的一元二次方程和根的情況，求參數(shù)的取值范圍． 3．一元二次方程的根與系數(shù)的關系，主要考查方式：①不解方程，判斷兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩個根；②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數(shù)；③不解方程求關于根的式子的值，如求等等；④判斷兩根的符號．⑤求作新方程；⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值． 4．列一元二次方程解決實際問題，以實際生活為背景，命題比較廣泛（常見的題型是增長率問題

2、）． 【滿分技巧】 一、一元二次方程根的情況 1．一元二次方程有實數(shù)根的前提是b2－4ac≥0． 利用一元二次方程根的判別式（=b2﹣4ac）判斷方程的根的情況． 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與=b2﹣4ac有如下關系： ①當>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根； ②當=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根； ③當<0時，方程無實數(shù)根． 2．一元二次方程根與系數(shù)的特點： （1）若二次項系數(shù)為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反過來可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，

3、后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)． （2）若二次項系數(shù)不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=，x1x2=，反過來也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2． 二、一元二次方程的應用 列一元二次方程解應用題的“六字訣”: 1．審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關系． 2．設：根據(jù)題意，可以直接設未知數(shù)，也可以間接設未知數(shù)． 3．列：根據(jù)題中的等量關系，用含所設未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程． 4．解：準確求出方程的解． 5．驗：檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題． 6．答：寫出答案．

4、 列一元二次方程解應用題中常見問題： （1）數(shù)字問題：個位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個兩位數(shù)表示為10b+a． （2）增長率問題：增長率＝增長數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長百分率）2=后來數(shù)． （3）形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關系列一元二次方程．③利用相似三角形的對應比例關系，列比例式，通過兩內(nèi)項之積等于兩外項之積，得到一元二次方程． （4）運動點問題：物體運動將會沿著一條路線

5、或形成一條痕跡，運行的路線與其他條件會構成直角三角形，可運用直角三角形的性質(zhì)列方程求解． 【限時檢測】（建議用時：30分鐘） 一、選擇題 1．（天津市濱海區(qū)2019屆九年級中考二模數(shù)學試卷）一元二次方程的根為 A． B． C．， D．， 【答案】D 【解析】∵， ∴x（x+1）=0， 即x=0或x+1=0， 解得：x=0或x=–1． 故選D． 2． （2019?河南）一元二次方程（x+1）（x–1）=2x+3的根的情況是 A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 【答案】A 【解析】原方程可化為：x2–2x–4=0

6、，∴a=1，b=–2，c=–4，∴△=（–2）2–4×1×（–4）=20＞0， ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選A． 3．（山東省濟南歷下區(qū)2019屆九年級第三次模擬考試數(shù)學試題）已知關于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 A．m≤2 B．m≥2 C．m≤2且m≠1 D．m≥﹣2且m≠1 【答案】C 【解析】∵關于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1=0有實數(shù)根， ∴， 解得：m≤2且m≠1．故選C． 4．（2019?廣東）已知x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個實數(shù)根，下列結論錯誤的是 A．x1≠x2 B．x12–2x1=0

7、 C．x1+x2=2 D．x1?x2=2 【答案】D 【解析】∵Δ=（–2）2–4×1×0=4＞0，∴x1≠x2，選項A不符合題意； ∵x1是一元二次方程x2–2x=0的實數(shù)根，∴x12–2x1=0，選項B不符合題意； ∵x1，x2是一元二次方程x2–2x=0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2=2，x1?x2=0，選項C不符合題意，選項D符合題意．故選D． 5．（2019年廣西梧州市中考數(shù)學二模試卷）一元二次方程2x2﹣5x﹣4=0根的情況是 A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法判定該方程根的情況 【答案】A 【解析】=（﹣5）2﹣4×

8、2×（﹣4）=57>0， 所以方程有兩個不相等的實數(shù)根． 故選A． 6．（2019?河北）小剛在解關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）時，只抄對了a=1，b=4，解出其中一個根是x=–1．他核對時發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2，則原方程的根的情況是 A．不存在實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根 C．有一個根是x=–1 D．有兩個相等的實數(shù)根 【答案】A 【解析】∵小剛在解關于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）時，只抄對了a=1，b=4， 解出其中一個根是x=–1， ∴（–1）2–4+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，則b2–4ac=16–4×1×5=–4<

9、0，則原方程的根的情況是不存在實數(shù)根．故選A． 7．（2019?廣西）揚帆中學有一塊長30 m，寬20 m的矩形空地，計劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學設計方案如圖所示，求花帶的寬度．設花帶的寬度為x m，則可列方程為 A．（30–x）（20–x）=×20×30 B．（30–2x）（20–x）=×20×30 C．30x+2×20x=×20×30 D．（30–2x）（20–x）=×20×30 【答案】D 【解析】設花帶的寬度為x m，則可列方程為（30–2x）（20–x）=×20×30，故選D． 8．（江蘇省蘇州市部分學校中考2019年5月份數(shù)學模擬試卷）若a、b

10、是關于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的兩根，且等腰三角形三邊長分別為a、b、4，則n的值為 A．8 B．7 C．8或7 D．9或8 【答案】C 【解析】∵等腰三角形三邊長分別為a、b、4， ∴a=b，或a、b中有一個數(shù)為4． 當a=b時，有b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4（n+1）=0， 解得：n=8； 當a、b中有一個數(shù)為4時，有42﹣6×4+n+1=0， 解得：n=7， 故選C． 9．（安徽省池州市貴池區(qū)2019年中考數(shù)學三模試卷）據(jù)池州市統(tǒng)計局發(fā)布，2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元，比上年增長5.7%，若今、明兩年年增長率保持不變，則2020年全年生產(chǎn)總值

11、為 A．（1+5.7%×2）×684.9億元 B．（1+5.7%）2×684.9億元 C．2×（1+5.7%）×684.9億元 D．2×5.7%（1+5.7%）×684.9億元 【答案】B 【解析】∵2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元，比上年增長5.7%，且今、明兩年年增長率保持不變， ∴2020年的生產(chǎn)總值為（1+5.7%）2×684.9億元， 故選B． 10．（2019年天津市南開區(qū)九年級第二學期基礎訓練數(shù)學試題）某校羽毛球隊有若干名隊員，任意兩名隊員之間進行一場友誼賽，共進行了36場比賽．如果全隊有名隊員，根據(jù)題意下列方程正確的是 A． B． C． D． 【答

12、案】C 【解析】設有x名隊員，每個隊員都要賽（x–1）場，但兩人之間只有一場比賽， 故， 故選C． 二、填空題 11．（2019年浙江省紹興市越城區(qū)中考數(shù)學一模試卷）一元二次方程x（x+5）=x+5的解為__________． 【答案】x1=﹣5，x2=1 【解析】方程整理得：x（x+5）﹣（x+5）=0， 分解因式得：（x+5）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣5，x2=1， 故答案為：x1=﹣5，x2=1． 12．（河南省安陽市2019屆九年級中考一模數(shù)學試題）一元二次方程x2+2x﹣4=0的解是__________． 【答案】 【解析】∵x2+2x=4， ∴x2

13、+2x+1=4+1，即（x+1）2=5， 則x+1=， 即x=﹣1， 故答案為：﹣1． 13．（2019年山東省濰坊市中考數(shù)學一模試卷）已知關于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的兩實數(shù)根互為相反數(shù)，則k=__________． 【答案】﹣2 【解析】設方程的兩根分別為x1，x2， ∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1=0的兩實數(shù)根互為相反數(shù)， ∴x1+x2，=﹣（k2﹣4）=0，解得k=±2， 當k=2，方程變?yōu)椋簒2+1=0，=﹣4<0，方程沒有實數(shù)根，所以k=2舍去； 當k=﹣2，方程變?yōu)椋簒2﹣3=0，=12>0，方程有兩個不相等的實數(shù)根； ∴k=﹣2． 故答案

14、為：﹣2． 14．（山東省德州市齊河縣2019年中考數(shù)學二模試卷）若x1，x2分別是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個實數(shù)根，則的值是__________． 【答案】2 【解析】∵x1，x2分別是一元二次方程x2+2x﹣1=0的兩個實數(shù)根， ∴x1+x2=﹣2，x1x2=﹣1， ∴=2． 故答案為：2． 15．（江蘇省南京市高淳區(qū)2019年中考二模數(shù)學試卷）已知關于x的方程x2+mx－3=0的兩個根為x1、x2，若x1+x2=2x1x2，則m=__________． 【答案】6 【解析】∵x1，x2是方程x2+mx?3=0的兩根， ∴x1+x2=–m，x1?x2=–3，

15、 則–m=2×（–3），解得：m=6， 故答案為：6． 16．（黑龍江省哈爾濱市平房區(qū)2019屆中考第三次模擬考試數(shù)學試題）某商品每件元，經(jīng)過兩次降價后，售價為元，若每次降價的百分比相同，則第一次降價后的售價為每件__________元． 【答案】 【解析】設每次降價的百分率為x，根據(jù)題意得：300（1–x）=243， 解得：x=0.1=10%，x=1.9（不合題意，舍去）． 每次降價的百分率為10%． ∴第一次降價后的售價為300–（300×0.1）=270（元）， 故答案為：270． 三、解答題 17．（江蘇省南京市高淳區(qū)第一中學2019屆中考三模數(shù)學試題）解下列一元二

16、次方程： （1）x2﹣4x﹣5=0； （2）（x﹣3）2=2（x﹣3）． 【解析】（1）x2﹣4x﹣5=0， x2?4x=5， 則x2?4x+4=5+4，即（x?2）2=9， 所以x1=5，x2=﹣1． （2）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0， （x﹣3）（x﹣3﹣2）=0， x﹣3=0或x﹣3﹣2=0， 所以x1=3，x2=5． 18．（2019?十堰）已知于x的元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2． （1）求a的取值范圍；[ （2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a為整數(shù)，求a的值． 【解析】（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣6x+

17、2a+5＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2， ∴＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2． （2）由根與系數(shù)的關系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5， ∵x1，x2滿足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30， ∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣， ∵a為整數(shù)，∴a的值為﹣1，0，1． 19．（河北省保定市高陽縣宏潤中學2019屆九年級上學期期末調(diào)研考數(shù)學試題）對于實數(shù)m、n，定義一種運算“※”為：m※n=mn+n． （1）求2※5與2※（﹣5）的值； （2）如果關于x的方程x※（a※x）=﹣有兩個相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的值． 【

18、解析】（1）2※5=2×5+5=15． 2※（﹣5）=2×（﹣5）+（﹣5）=﹣15． （2）x※（a※x）=x※[（a+1）x]=x（x+1）（a+1）=﹣， 整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0． ∵關于x的方程x※（a※x）=﹣有兩個相等的實數(shù)根， ∴， ∴a=0． 20．（2019?南京）某地計劃對矩形廣場進行擴建改造．如圖，原廣場長50m，寬40m，要求擴充后的矩形廣場長與寬的比為3：2．擴充區(qū)域的擴建費用每平方米30元，擴建后在原廣場和擴充區(qū)域都鋪設地磚，鋪設地磚費用每平方米100元．如果計劃總費用642000元，擴充后廣場的長和寬應分別是多少米？

19、【解析】設擴充后廣場的長為3xm，寬為2xm， 依題意得：3x?2x?100+30（3x?2x–50×40）=642000， 解得x1=30，x2=–30（舍去）． 所以3x=90，2x=60． 答：擴充后廣場的長為90m，寬為60m． 21．（2019?山東德州）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為響應我市全民閱讀活動，利用節(jié)假日面向社會開放學校圖書館．據(jù)統(tǒng)計，第一個月進館128人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同． （1）求進館人次的月平均增長率； （2）因條件限制，學校圖書館每月接納能力不超過500人次，在進館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個月的進館人次，并說明理由． 【解析】（1）設進館人次的月平均增長率為x， 根據(jù)題意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608， 化簡得：4x2+12x﹣7=0， ∴（2x﹣1）（2x+7）=0， ∴x=0.5=50%或x=﹣3.5（舍）． 答：進館人次的月平均增長率為50%． （2）∵進館人次的月平均增長率為50%， ∴第四個月的進館人次為：128（1+50%）3=128×=432<500． 答：校圖書館能接納第四個月的進館人次． 9