高等數(shù)學(xué)：7-2 偏導(dǎo)數(shù)

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1、定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，當(dāng)當(dāng)y固固定定在在0y而而x在在0 x處處有有增增量量x 時(shí)時(shí)，相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù)有有增增量量 ),(),(0000yxfyxxf ，如如果果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，則則稱稱此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對(duì)對(duì)y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00

2、000 記記為為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數(shù)同理可以定義函數(shù)),(yxfz 對(duì)自變量對(duì)自變量y的偏導(dǎo)的偏導(dǎo)數(shù)，記作數(shù)，記作yz ，yf ，yz或或),

3、(yxfy.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 例例1 1 求求 223yxyxz 在在點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xu 是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分是一個(gè)整體記號(hào)，不能拆分;有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：、

4、求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx ,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(l

5、im)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在

6、多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，xz y0 ),( yxfz Mxz xyxfyxxfx ),(),(lim00000 Mxz 由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z= f (x,y) 0),(yyyxfzL：L得得曲曲線線= tan .y =y0)( y,x? Myz同理，同理，.MTx固定固定 y =y0偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim z= f (x,y)L)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx.xz y0偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義M ),( yxfz Myz yy,xfyy,xfy )()(lim Myz 由一元

7、函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：z= f (x,y) xxy,xfz)(L得得曲曲線線= tan .)( y,xx =x0固定固定 x =x0Tx Ty.xz y0偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線xTM0對(duì)對(duì)x軸的軸的斜率斜率. 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點(diǎn)所截得的曲線在點(diǎn)0M處的切線處的切線yTM0對(duì)對(duì)y軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義: :),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxf

8、yxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). .二、高階偏導(dǎo)數(shù)二、高階偏導(dǎo)數(shù)例例 6 設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形

9、偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系：例例 7 7 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求二階偏導(dǎo)數(shù)，求二階偏導(dǎo)數(shù). 解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 問題：?jiǎn)栴}：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？.),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(223的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxy

10、xyxyxyxf 例例 8 8解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx2223222)(2)(3),(yxyxxyxyxyxfx ,)(232224222yxyxyxyx ,)(2),(22223223yxyxyxxyxfy ,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yyyfyffxxyxy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 0 xfxffyyxyx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0.

11、 1 ).0 , 0()0 , 0(yxxyff 顯然顯然定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 D D 內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等例例 9 9 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)22ln),(yxyxu 滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程 . 02222 yuxu問題：?jiǎn)栴}：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yx

12、xyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 2222yuxu. 0 2222222222)()(yxyxyxxy 證畢證畢偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）三、小結(jié)三、小結(jié)若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點(diǎn)在 點(diǎn)),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,作作 業(yè)業(yè)習(xí)題習(xí)題7-21（1）（）（4）（）（6）；）；3, 4, 6, 8